uchebnik10

~OB ряда зависимой переменной У от средней арифметической

;ряда незавнсимой переменной Х [см. формулу (188)]. Прuмер 7. Наблюдения над физическим развитием макак­

,езусов в первый год их жизни показали, что масса тела малы­

~истеме прямоугольных координат.

Соответствующие данные приведены в табл. 117.

Определяем среднюю арифметическую ряда независимой пе­

.еменноЙ: Х=78/12=6,5. Эту величину можно получить и по

IOлусумме крайних значений ряда: х= (1+112)/2=6,5. Откло­ !ения от этой величины членов ряда зависимой переменной (с _'четом знаков) помещены в третьей графе табл. 117. Остальные

iействия понятны из ЭТОй таблицы.

Подставляя известные величины в формулы (189) и (190), lпределяем параметры линейной регрессии: а= 14,40/12= 1,20 ( Ь= 15,790/143,00=0,1104. Отсюда эмпирическое уравнение

_,!ассы тела У по возрасту Х детенышей макак-резусов

Уу= 1,20+0, 1104(xi - х).

10дставляя вместо (Xi-X) их значения, находим ожидаемые

_выравнивающие) значения зависимой переменной У:

УХ= 1,20+0, 1104 (-5,5)= 1,20 - 0,61 =0,59;

ух=I,20+0,1104(-4,5)=l,20-0,50=О,70 и т. д.

269

Рассчитанные таким образом значения Ух приведены в после.z;­

нем столбце табл. 117. Видно, что они хорошо согласуются ~

эмпирически найденными значениями этого ряда.

Прuмер 8. На протяжении 9-летнего периода обучения про­

цент отличных оценок, получаемых студентами на экзаменаЦIi

онных сессиях по курсу дарвинизма, колебался следующим 06-

уравнение ряда динамики отличных оценок знаний студеНТОЕ

по курсу дарвинизма за десятилетний период оказывается след}­

ющим: Yx=28,44+1,883(xi-x)

~70

Рассчитанные по этому уравнению значения ух зависимой

переменной помещены в последнем столбце табл. 118. Они не­

плохо согласуются с эмпирическими членами этого ряда. Бо­

лее наглядное представление об этом дает рис. 29, на котором

изображены эмпирическая (ломаная) и вычнсленная (плавно

идущая) линии регрессии этого ряда.

Ч и с л о в ы е х а р а к т е р и с т и к и р я Д о в Д и н а м и к и. К числу основных обобщающих числовых характеристик рядов

динамики относят среднюю геометрическую Xg и близкую к ней

среднюю арифметическую х величины, о которых речь шла в гл. 11. Они характеризуют среднюю скорость, с какой изменяется

величина зависимой переменной за определенные периоды вре­

мени. Так, судя по данным табл. 117, средняя месячная при­

бавка массы тела макак-резусов за первый год их жизни опре­

деляется следующим образом [см. Формулу (12)]:

= 0,52369 =0,047608.

11

Отсюда Xg=O,11 мг. Эта величина получается и при вычисле­

нии средней арифметической Х из месячных абсолютных при­

бавок массы тела макак-резусов за первый год их жизни (чи­ тателю предлагается рассчитать эту величину).

Оценкой изменчивости членов ряда динамики служит сред­ нее квадратическое отклонение. Примеры такой оценки будут

рассмотрены ниже. При выборе уравнений регрессии для опи­

сания рядов динамики учитывают форму тренда, которая мо­

жет быть линейной (или приведена к линейной) инелинеЙноЙ.

О правильности выбора уравнения регрессии обычно судят по

сходству эмпирически наблюденных и вычисленных значений

зависимой переменной. Более точным в решении этой задачи

•

сопоставлять динамику параллельно идущих временных рядов,

связанных друг с другом некоторыми общими условиями, на­

пример выяснять связь между производством сельскохозяйст­

венной продукции и ростом поголовья скота за определенный

промежуток времени, определять влияние агротехники возделы­

вания сельскохозяйственных культур на их урожайность и т. д.

В таких случаях характеристикой связи между переменными Х

и У служит коэффициент корреляции Гху (при наличии линей­

ного тренда).

Известно, Что главное направление изменчивости, или тренд

рядов динамики, как правило, затушевывается колебаниями

членов ряда зависимой переменной У. Отсюда возникает зада­

ча ДВОякого рода: измерение зависимости между сопоставляе-

271

мыми рядами, не исключая тренд, и измерение зависимосп

между соседними членами одного и того же ряда, исключаf

тренд. В первом случае показателем тесноты связи межд'

сопоставляемыми рядами динамики служит коэффициен:~

корреляции (если связь линейна), во втором - коэффициен" автокорреляцuи. Эти показатели имеют разные значения, хотя 1"_

вычисляются ПО одним и тем же формулам [см. формулы (144,

Пример 9. В табл. 119 приведены данные об увеличении з, 8 лет черного пара в одном из колхозов РСФСР и сборе зерн<.

пшеницы с паровых полей. Вычислим коэффициент корреляцИl

между этими рядами исходя из того, что зависимость межд'

ними следует закону линейной регрессии. Чтобы упростить pat-

четы, каждый член ряда независимой перемениой Х умеНЬШИl\

на 260, а члены ряда зависимой переменной у- на 50. Такс·

го рода преобразование чисел не сказывается на значении Kt·-

эффициента корреляции, которое будет одним и тем же прг вычислении его по значениям Xi и Yi или же по преобразоваh­

ным значениям x*=xi-260 и Y*=Yi-5О.

затель, свидетельствующий о весьма сильной положительноf

272

~вязи между количеством собранного зерна пшеницы и увели­

;ением парового клина в общей структуре посевных площадей

{олхоза.

Вычислим коэффициент автокорреляции как меру сопряжен­

юсти .между членами одного и того же ряда динамики. Для

'того необходимо сдвинуть члены ряда на принятую единицу

IDемени, в данном случае равную одному году, что позволит

lбразовать ряды двух переменных У и Х. При этом число пар­

IblX значений двойного ряда n уменьшается на единицу. Сдвиг

_Iяда динамики на единицу времени оправдывается и тем, что

Jлияние пара на урожай сказывается обычно через год.

-

iеобходимые данные и расчет вспомогательных величин при­

1Ового клина между членами независимой переменной Х су­

цествует высокая положительная автокорреляция.

Нетрудно заметить, что на значении коэффициента автокор­ lеляции сказывается изменчивость членов ряда зависимой пе­ lеменной: чем меньше члены ряда отклоняются от тренда, тем lыше коэффициент автокорреляции, и наоборот. В этом легко

'бедиться на примерах рядов динамики с разной изменчиво­ :тью членов ряда. Так, рассмотренный выше ряд динамики от­

.ичных оценок знаний студентов по курсу дарвинизма (см.

'абл. 118) отличается сильной изменчивостью его членов и ха­ lактеризуется коэффициентом автокорреляции, равным 0,171, 'огда как слабоколеблющийся ряд возрастных изменений мас-

273

сы тела макак-резусов (см. табл. 117) характеризуется коэф­

фициентом автокорреляции, равным 0,992 (читателю предлага­

ется вычислить эти показатели).

1)(,2. НЕПИНЕJilНАЯ РЕfРЕССИЯ

Регрессия, выражаемая уравнением параболы второго по­

рядка. Как уже было показано, наряду с линейными корреля­ циями в биологии встречаются и нелинейные корреляции между

переменными величииами. Хорошо известна, например, нели­

нейная зависимость между сроками лактации и удоем коров,

логистическая закономерность возрастания численного состава

популяции в замкнутой среде обитания и многие другие явле­

ния подобного рода. Все оии отражают те или иные биологиче­

ские закономерности и могут быть описаиы соответствующими корреляционными уравнениями, формулами или выражены в

виде эмпирических или теоретически построенных линий рег­

рессии и динамики.

Нередко зависимость между переменными величинами У и Х выражается уравнением параболы второго порядка

(192)

,

Отысканию параметров а, Ь и с этого уравнения удовлетворяет. следующая система нормальных уравнений:

а~x+b ~x2+c ~хз=~ху;

а~x2+b ~x3+c ~x4=~yx2.

Чтобы решить эту систему относительно параметров а, Ь и С,

нужно предварительно рассчитать ~x, ~y, ~xy, ~x2, ~yx2, ~ХЗ

И ~x4.

Пример 10. Наблюдеиия показали, что удой У группы ко­

ров ярославской породы изменяется по срокам лактации Х

следующим образом (табл. 121).

Из табл. 121 видно, что значения зависимой перемеиной У

сначала возрастают, а с седьмого месяца лактации иачинают

убывать. Это признак параболической зависимости между пе­

ременными У и Х. Найдем эмпиричеСl5Pе уравнеиие этой зави­

симости. Предварительно рассчитаем вспомогательные величи­

ны !'у, !.ху, !.ух2 И др. Расчет приведен в табл. 121.

274

Составим систему нормальных уравнений:

9а +45Ь + 285с = 203,3;

45а+285Ь +2025с = 1030,0;

285а+2025Ь+ 15 333с=6439,6.

'ешая эту систему (описанным выше способом) ОТносительно ;оэффициентов а, Ь и С, находим: а= 13,466; Ь=4,587 и с= -=-0,436. Отсюда эмпирическое уравнение параболы второго

roрядка таково:

УХ= 13,466 +4,587х-О,436х2.

lодставляя в это уравнение вместо х значения независимой пе­ lеменной Х, можно рассчитать ожидаемые величины удоя ко­

-lОв данной группы за любую лактацию:

ух=03,466+4,587-0,436= 17,6;

Ух= 13,466 +4,587.2 - 0,436.22=20,9;

Ух= 13,466+4,587·3 - 0,436·32=23,3 и т. д.

~ти величины приведены в последнем столбце табл. 121. Они :орошо согласуются с фактическими данными. Более наглядно

~TO показано на рис. 30, где изображены эмпирическая и вы­ rисленная (более плавно ИДУLЦая) линии регрессии. Равенство

:'y='J:.!Jx указывает на то, что расчет значений !Jx произведен

Iравильно.

Вычисление параметров параболы второго порядка эначи­

'ельно упрощается, если воспользоваться следуюLЦИМИ форму-

275

лами, найденными путем решения системы нормальных урав­

нений:

а= ~ (~y~x4-~x2~yx2); Ь= ;;;

иC=п1(n~yx2-~x2~y),

роды и рассчитаем с помощью указанных формул эмпирическое

уравнение этой связи. Расчет вспомогательных величин приве­

ден в табл. 122. Среднюю (х) вычисляют, как и в предыдущих

сии удоя коров по срокам лактации, выраженное в отклонениях

членов независимой переменной от их средней,

ух=24,473+0,225х - 0,4326х2•

Подставляя в это уравнение вместо Х конкретные значения

независимой переменной Х, выраженные в виде отклонений их

от средней арифметической i данного ряда, можно определить

ожидаемые значения зависимой переменной У:

ух=25,473+0,22Б (-4)-0,4326 (16)=25,473-7,822= 17,6;

Ух .25,473+0,225 (-3) - 0,4326 (9)=25,473-4,568=20,9 и т. д.

276

)ычисленные таким образом значения УХ зависимой переменной iOмещены в последнем столбце табл. 122. Как н в предыдущем

~лучае, они хорошо согласуются с члеиами эмпирического ряда.

Расчет параметров а, Ь и с еще более упрощается, если каж­

хый член зависимой переменной У уменьшить на некоторое

1РОИЗВОЛЬНО взятое число К т. е. значеиия Yi заменить иа Yi*=

шчину К которую прибавляют к а*, т. е. а=а*+к. При вы­

'ислеиии параметров Ь и с поправки ие иужиы. Этот прием эиа­

'ительно облегчает вычнсление вспомогательных величин, осо­

)енно в тех случаях, когда эависимая перемеиная представлеиа

)ядом миогозначиых чисел.

277

Пример 12. Как и в предыдущих случаях, воспользуемся

фактическими данными о корреляционной зависимости между

удоем У и сроками лактации Х у коров ярославской породы и

найдем эмпирическое уравнение регрессии У по Х. Предвари­

тельно каждый член ряда зависимой переменной У уменьшим

на величину ](=20, т. е. вместо значений Yi примем Yi*= =Yi-20. Исходя из преобразованных таким образом членов

ряда зависимой переменной, рассчитаем вспомогательные ве­

личины (табл. 123).

Подставляя известные суммы в формулы, находим: а=а'+]( =

чились те же результаты, что и выше.

Если к параметру а прибавить (СХ2 - ЬХ), параметр Ь ум-

А ; 1..2

ножить на (!!..- - 2сх ) , а параметр с разделить на квадрат ин-

л1..2

тервала ').,2 между членами ряда независимой переменной, т. е.

вместо с взять cj').,2, то получатся следующие коэффициенты уравнения параболы второго порядка (учитывая, что в данном

случае ').,=1): а' = 25,4727+ (-0,4326·25) - (0,225·5) =

=25,4727-11,940=13,533; Ь'=0,225-2(-О,4326·5) = 0,225- -2 (2,163) =4,551; с'=-0,43257. Отсюда эмпирическое уравне­

ние регрессии удоя коров по срокам лактации, в котором пере­

менная х обозначает не отклонения членов ряда Х от их сред­ ней х, а непосредственные значения членов этого ряда, будет

таковым:

Ух= 13,53+4,55х -0,4326х2•

Подставляя в это уравнение значения независимой перемен­

ной Х, находим выравнивающие значения зависимой перемен­ ной У:

Остальные действия объяснены выше.

Регрессия, выражаемая уравнением параболы третьего по­ рядка. Среди различных форм параболической зависимости

между переменными величинами встречаются и такие, которые

наилучшим образом описываются уравнением параболы треть-

его порядка: .

(193)

278