uchebnik10

рандомизации, т. е. способом случайного отбора из нормально

распределяющейся совокупности.

Структуру дисперсионного комплекса определяет число гра­

даций регулируемого фактора или факторов, а также число

подразделений или групп, образуемых по результативному

признаку. Форму дисперсионного комплекса задают таблицей,

в которой число строк соответствует числу подразделений ре­

зультативного признака, а число столбцов равно числу града­

ций регулируемого фактора или нескольких факторов с их гра­

дациями.

Если испытывают действие на признак одного регу.lируемо­

го фактора, дисперсионный комплекс будет однофакторным, если одновременно исследуют действие на признак двух, трех

или большего числа регулируемых факторов, комплекс назы­

вают двух-, трех- и многофаКТОРНЬtМ. Числовые значения ре­

зультативного признака, т. е. варианты или даты, могут рас­ пределяться по градациям комплекса равномерно, пропорцио­ нально и неравномерно, поэтому дисперсионные комплексы на­

зывают равномерными, nроnорциональными инеравномерными.

Равномерные и пропорциоиальные комплексы носят общее на­

звание ортогональные, а неравномерные комплексы называют неортогональными.

Вортогональных комплексах осуществляется равенство

Dy=Dx+De ; в двухфакторных-Dу=DА+Dв+DАв+Dе; в не­

ортогональных комплексах это равенство нарушается. Эту осо­

бенность следует учитывать при планировании опытов, а при

проведении дисперсиоиного анализа - стремиться }{ тому, что­

бы в градациях многофакторного комплекса были одинаковые или пропорциоиальные числа вариант, что значительно обле~

чает и упрощает вычислительную работу.

VII.i. АНАЛИЗ ОДНОФАКТОРНЫХ КОМПЛЕКСОВ

Равночисленные комплексы. Однофакторные дисперсионные

комплексы могут быть равномерными и неравномерными. Не­

зависимо от этого техника дисперсионного анализа однофак­

торных комплексов сводится главным образом к расчету по­ казателей варьирования, которыми в области дисперсионного

анализа служат средние квадраты отклонений, или дисперсии,

а также к расчету групповых средних Xi и общей средней ариф­ метической для всего комплекса Х. Обычно дисперсионный ана­ лиз проводят по определенной схеме. дисперсионный анализ

однофакторных равномерных комплексов удобно проводить по

следующей схеме.

1. Первичные данные, подлежащие дисперсионному анали­

зу, группируют в виде комбинационной таблицы, в которой гра­ дации организованного (регулируемого) фактора А обычно

159

располагают по горизонталн в верхней части таблицы, а чнс­ ловые значения признака Х, т. е. варианты Х, или даты, разме­

щают соответственно по градациям фактора А (см. для приме­

ра табл. 59). Можно избрать и другую форму группировки (см.

ниже), но предлагаемая здесь форма очень удобна при вычис­

лении вспомогательных величин, необходимых для расчета де­

виат.

2. Сгруппировав исходные данные, как указано в п. 1, при­

ступают к расчету вспомогательных величин ~Xi, ~ (~Xi)2 И

~Xi2.

3. Затем переходят к расчету девиат:

Повторяемая в этих формулах величина Н= (~Xi)2/N, где Xi-

варианты, или даты, входящие в состав комплекса; N=~n­

общее число наблюдений, илн объем комплекса; n - числен­

ность варнант Xi в каждой из градацнй дцсперсионного комп­

лекса. DA, - факториальная девиата, характеризующая меж­

групповое варьирование не вообще (как девиата Dx), а при­

менительно к конкретному фактору, который здесь обозначен

буквой А. Между Dx и DA существует принципиальная разни­

ца, хотя в однофакторных комплексах она неощутима.

4. Закончив расчет девиат, переходят к определению чисел

степеней свободы k, которые равны: ky =N-1 для общего варьирования;

k A =а -1 для факториального варьирования;

k, =(N - 1) - (а - 1) =N - а для остаточной вариации.

Через а обозначено число градаций фактора А.

Как и равенство Dy=Dx+De, числа степеней свободы на­

ходятся между собой в определенных КОЛичественных соотно­

шениях: ky=kx+ke. Этн равенства позволяют контролировать

правильность расчета как девнат, так и чисел степеней сво­ боды.

160

5. делением девиат на соответствующие числа степеней

свободы получают выборочные дисперсии:

6. Наконец определяют дисперсионное отношение Р=5А2/

5е2 (при SA 2;;;:':S( 2 ), по которому судят о действии фактора А на

результативный признак. Так как фактически полученное дис­

персионное отношение (FФ=SА2j5е2 ) является величиной слу­

чайной, его необходимо сравнить с табличным (стандартным)

значением критерия Фишера Fst для принятого уровня значи­

мости а и чисел степеней свободы kA и ke• При этом число

степеней свободы для большей дисперсии находят в верхней

строке, а для меньшей - в первом столбце таблицы Фишера

(см. табл. VI Приложений).

ТаБJlнца 57

Нулевую гипотезу отвергают и эффективность действия фак­ тора А на результативный признак Х признают статистически

достоверной, если Fф;;;:.:Fst; в противном случае отвергать нуле­

вую гипотезу нельзя.

Обычно результаты дисперсионного анализа сводят в таб­

лицу, общий вид которой представлен в табл. 57.

Лрим.ер 1. На учебно-опытном участке агростанции изуча­

ли влияние различных способов внесения в почву органиче­ ских удобрений на урожай зеленой массы кукурузы. Опыт про­

водили на десятиметровых делянках в трех вариантах, не счи­

тая контроля. Каждый вариант опыта имел трехкратную пов­

торность. Результаты опыта приведены в табл.. 58.

Из данных табл. 58 видно, что полученные результаты Bapl--

ируют как по вариантам, так и по повторностям. Чтобы УСТа

u

новить, случаины или достоверны различия между средним}.

Таб.llица 5:

арифметическими групп, подвергнем эти данные дисперсионн(,­

личин уменьшим каждую варианту комплекса на 20, т. е. BMel

то Xi будем оперировать значениями Xi-2О=Хi*, что не пt· влияет на конечные результаты дисперсионного анализа. Дш

удобства расчетов вспомогательных величин сгруппируем прt-·

образованные данные так, чтобы градации фактора А помещс

лись в верхней части комбинационной таблицы (табл. 59).

162

Переходим к определению девиат. Предварительно найдем величину Н=822/12=560,33. Затем определяем общую девиа­

ту: Dy=!.Xi2-Н=672,88-560,33= 112,55; факториальную де­

виату:

наконец, остаточную девиату: De=Dy-DА = 112,55-20,23 =

=92,32.

Определяем числа степеней свободы. Так как комплекс со­

держит 12 вариант, число степеней свободы для общей диспер­

скольку при выяснении влияния фактора А на результативный

признак Х используется отношение факториальной дисперсии к

остаточной дисперсии; общая дисперсия в таком случае приме­

нения не находит.

В данном случае оказалось SA 2 <Se2• Это означает, что меж­

групповая вариация не превышает внутригруппового случайно­ го уровня и, следовательно, считать достоверным влияние фак­ тора на исследуемый признак нет оснований. С другой сторо­

ны, обнаруженное соотношение двух дисперсий может вызы­ вать недоумение, так как по теории должно быть SA2~Se2. Од­

нако в связи с влиянием случайностей выборок при справед­

ливости нулевой гипотезы может наблюдаться не только не­

большое (незначимое) превышение уровня SA 2 над Se 2, но И

обратное соотношение, как это обнаружено в рассматриваемом

примере. С другой стороны, значительное уменьшение SA 2 по

сравнению с Se2 может свидетельствовать о серьезных наруше­

ниях требований случайностей образования выборок или о дру­

гих нарушениях условий корректности методики получения

экспериментальных данных. Какова ситуация в данном случае?

Если уменьшение SA2 по сравнению с Se2 имеет случайный в

рамках справедливости нулевой гипотезы характер, то приме­

тать, что различия в двух величинах дисперсий отсутствуют и

проверяемая гнпотеза сохраняется.

пример 2. На одной из опытных станций испытывали урс.

жайность шести местных сортов пшеницы. Опыт проводили Е

четырехкратной повторности по каждому сорту. Полученны~

результаты приведены в табл. 60.

Из табл. 60 видно, что на одни и те же условия выраЩИВ2 ния различные сорта реагируют по-разному. Подвергнем эт[

данные дисперсному анализу. Как и в предыдущем примерt чтобы облегчить вычислительную работу, преобразуем дроt·-

Таблица 6

Сорта пшеннцы (градация фактора А)

ные числа следующим образом: каждую варианту комплекс..

уменьшим на одно и то же число А=22, близкое к xml n =23,C

Затем полученные разности умножим на К= 10, что позволи~

избавиться от дробей. В результате получим преобразованны~

164

Рассчитываем суммы квадратов отклонений (девиаты), при­

~')дя их делением на /(2 = 102 = 100 к исходным величинам:

Iстаточнои дисперсии и сводим результаты дисперсионного ана-

iиза в заключительную таблицу (табл. 62).

Таблица 62

F.t

'аблицы). Посколы<у Fф>Fst, нулевую гипотезу отвергают на

%-ном уровне значимости (Р<О,ОI). Следовательно, с вероят­

юстью более 99% можно заключить, что разница в урожайно­

·ти между сортами не случайна.

Неравночисленные комплексы. Дисперсионный аналцз одно­

DaKTopHblX неравномерных комплексов, т. е. комплексов, в гра­ ~ациях которых содержатся разные числа вариант Xi, принци­ rиально не отличается от анализа равномерных комплексов.

'днако в связи с тем, что групповые среднне неравномерных

165

комплексов имеют разный статистический вес щ, факториаль­

ную девиату следует вычислять по формуле

Прuм,ер 3. Испытывали влияние различных доз минеральных

удобрений на урожайность озимой ржи. Результаты испытаний

приведены в табл. 63.

Здесь результативным признаком Х является урожайность ржи, а регулируемым фактором А - дозы удобрений. Фактор А

имеет четыре градации, т. е. а=4. Подвергнем эти данные дис­ персионному анализу. Предварительно рассчитаем вспомога­ тельные величины, построив таблицу таким образом, чтобы гра­

дации фактора А располагались по вершинам столбцов, а

значения результативного признака Х распределялись по града­

=SA 2/Se 2 =9,1/0,52=17,5. Эта величина значительно превышает

критическую точку Fst =6,2 для kA =3 (находим по горизонтали

166

-рупповыми средними комплекса не являются случайными, они

Jызваны действием испытываемых доз удобрений на урожай

IЗИМОЙ ржи.

Применение корреляционных таблиц. довольно часто, осо­

JeHHo в выборках большого объема, отдельные варианты неод­

юкратно повторяются, что позволяет распределять такие вы-

u u

юрки в вариационныи ряд или в ряд ранжированных значении

lризиака. В подобиых случаях удобной формой группировки

Таблица 64

дозы удобреннй (градации фактора А)

~CXOДHЫX данных, подвергаемых дисперсионному анализу, бу­

-..:ет корреляционная решетка, образуемая сочетанием строк и 'толбцов, число которых равно числу групп или классов сопря­

хенных рядов. Классы располагаются в верхней строке и в lервом (слева) столбце корреляционной таблицы; общие часто­

"Ы, обозначаемые символом fху, распределяются по ячейкам

lешетки.

Классы, или значения признаков, помещаемые в верхней

:троке таблицы, располагаются обычно слева направо в возра­ ~тающем порядке, а в первом столбце таблицы - в убывающем

юрядке, т. е. сверху вниз. При этом промежутки между класса­

.IИ могут быть равио- и неравиовеликими. При наличии нерав-

167

комплексов имеют разный статистический вес щ, факториаль­

ную девиату следует вычислять по формуле

Прuм.ер 3. Испытывали влияние различных доз минеральных

удобрений на урожайность озимой ржи. Результаты испытаний приведены в табл. 63.

ржи, а регулируемым фактором А - дозы удобрений. Фактор А

имеет четыре градации, т. е. а=4. Подвергнем эти данные дис­ персионному анализу. Предварительно рассчитаем вспомога­ тельные величины, построив таблицу таким образом, чтобы гра­

дации фактора А располагались по вершинам столбцов, а

значения результативного признака Х распределялись по града­

критическую точку Fst =6,2 для kA=3 (находим по горизонтали

ностью, большей 99%. можно утверждать. что различия между

166