14. Підпростори та лінійні многовиди векторного простору.

Опр. Пусть – век. пр-во над полем Р, - подмножество мн-ва V (), если само по себе образует векторное пр-во над полем Р относительно операции сложения векторов и умножения векторов на скаляры из Р, то говорят, что образует подпространство в векторном пр-ве и тогда можно записывать .

Теорема (о подпр-вах): Пусть – век. пр-во над полем Р,- не пустое подмн-во мн-ва V ( Мн-во образует подпр-во в векторном пр-ве когда

Теорема(о пересечении подпр-в): Пусть – век. пр-во над полем Р, S- произвольное семейство подмножеств множества V, образующих подпр-во в векторном пр-ве , тогда мн-во также образует подпр-во в векторном пр-ве (пересечение любого семейства подпр-в является подпр-вом).

Док-во: Заметим, что - не пусто, т.к. из S, то , поэтому можно применить теорему о подпр-вах. Пусть -любые векторы, а - произвольный скаляр, тогда из того, что следует, что =>=>=> по теореме о подпространствах образует подпр-во в векторном пр-ве V.ч.т.д.

Опр. Пусть – век. пр-во над полем Р, подмн-во L мн-ва V, называется линейным многообразием в век.пр-ве

Если найдется такой вектор и такое подпр-во в век.пр-ве L={c+a|c}=. Линейное многообразие L получается сдвигом подпр-ва на вектор .

Теорема (о линейном многообразии): Каждое линейное многообразие в век.пр-ве может быть получено сдвигом только одного подпр-ва.

Опр. Размерностью линейного многообразия в векторном пр-ве наз. размерность того подпр-ва, сдвигом которого на некоторый вектор получается это линейное многообразие.().

Теорема (о мн-ве решений ослу): Пусть - мн-во всех решений в ослу от переменных , тогда в векторном пр-ве , причем , где n-число неизвестных в ослу, r-ранг матрицы ослу.

Теорема (о решениях n-слу): Мн-во всех решений совместной (имеет хотя бы одно решение) нслу (неоднородной) от n –переменных над полем Р, образует линейное многообразие в векторном пр-ве размерности n-r, где n- число переменных в слу, а r- ранг матрицы системы (Рангом системы строк (столбцов) матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов и это число называется рангом матрицы.).

Заметим, что любое подпр-во явл. обязательно линейным многообразием, но не каждое линейное многообразие является подпр-вом.

Примеры:1) подпр-во в векторном пр-ве V-нулевое подпр-во;

2) векторном пр-ве (совокупность всех векторов на плоскости исходящих из одной точки)- это подпр-во всех векторов лежащих на прямой l, проходящ.через точку О-общее начало всех векторов,т.о. будет состоять из всевозможных векторов век.пр-ва , концы которых будут лежать на прямой, котор. получа.из прямой l параллельным переносом на вектор а.

l

0

15. Лінійний оператор і його матричне зображення.

Опр. Пусть – век. пр-во над полем Р, линейным оператором в век. пр-ве наз. преобразование мн-ва V, удовлетворяющее 2 условиям:

Примеры л.о.:1) в векторном пр-ве (совокупность всех векторов на плоскости исходящих из одной точки)- поворот на любой угол около общего начала всех векторов, симметрия относительно прямой, проходящей через общее начало всех векторов, гомотетия с центром в т.О, где О-общее начало всех векторов; 2) 3) Q-преобраз.мн-ва V, преобр.все вект.в нуль вект., услов.лин.выполн. для Q и Q-л.о.

Пусть л.о. в век.пр-ве над полем Р, х-произв. век. , пусть далее - базис , тогда и кроме того . Возникает след задача, выяснить каким образом скаляры выраж. через корд. вект.х.

Опр.Пусть –век.пр-во над полем Р, -базис в , -л.о. в . Матрицей л.о. в базисе называется матрица : выполняются р-ва

Опр. Пусть – век. пр-во над полем Р, - базис х – произвольный вектор . Координатной строкой век. х в базисе наз. упорядоченная n-ка чисел , : х=. Обозначается . Координатами вектора х в базисе называются коэффициенты разложения это вектора по векторам базиса. Координатная строка -это элемент .

Замечание: 1)матрица тождественного л.о. равна единичной матрице.2) матрица нулевого л.о.-нулевая матрица.

Теорема(о связи корд. вект. с корд. вект.х): Пусть –век.пр-во над полем Р, -базис в , -л.о. в . матрица л.о. в базисе , тогда для любого век. справедливо равенство

Док-во: Пусть [x]=, []=, где коорд. столбец вычисл.в базисе => x=

Применим к обеим частям равенства:=(вместо подставляем правые части равенств из опред матр. л.о.)=

Т.к. единственным образом расклад. по базису => имеем систему

Полученные равенства можно записать используя умножение матр.

==

Пояснение: чтобы найти корд. столб. век. достаточно умножить корд. столбца век.х слева на матрицу л.о.