Lections_V
.pdfЕсли PP0 >> л , то |
Ç |
Ç |
|
|
|
|
||
[cos( n, r) − cos( n,S)] ≈ 2 cos д , гдед – угол между PP0 и норма- |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
лью к экрану (рис. 14.3). Тогда |
r → r′, s → s' и |
|
→ |
|
. Из уравнения (14.17) следует: |
|||
rs |
r′s' |
|||||||
U(P) = - iA |
cos д |
ò exp{ ik (r + s)}dS |
|
|
|
(14.18) |
||
¢ |
|
|
|
|||||
л |
r s' |
|
A |
|
|
|
|
|
Переход из сферической системы координат в декартову, осуществляется по формулам:
ì |
2 |
= (x 0 - о) |
2 |
+ (y0 - з ) |
2 |
|
+ z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
r¢ |
2 = x2 |
+ y2 |
+ z2 |
ü |
|
|
||||||||||||||||||
ïr |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(14.19) |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
ï |
(14.20) |
|||||||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
+ (y - з )2 + z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ý |
|||||||||||||||||
ïS2 = (x - о)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s'2 = x2 + y2 + z2 ï |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
||
r |
2 |
= r |
¢2 |
- 2(x 0 о + y 0 з ) + о |
2 |
+ |
з |
2 |
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.21) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ý |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
s |
2 |
= s' |
2 |
-2(xо |
|
+ yз ) + |
|
о |
2 |
+ з |
2 |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Поскольку линейные размеры отверстия малы по сравнению с r′ |
и S′ , разложим r и S в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ì |
|
|
» r ¢ - |
|
x0ξ + y0η + |
ξ |
2 |
+ η |
2 |
|
- ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ï r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ряд: íï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 r ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
r ¢ |
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.22) |
|
||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
xξ + yη |
|
|
|
2 + η 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ï s |
» s '- |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
- ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
s ' |
|
|
|
|
2 s ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда: |
|
U (P) = − |
i cos δ |
|
|
A exp( ik (s'+ r′)) |
ò exp{ ikf (ξ ,η )}dξdη |
|
(14.23) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ξ + y η |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r′s' |
|
|
A |
|
|
|
о+ y |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xξ + yη |
|
ξ2 +η2 |
|
ξ2 +η2 |
|
(x |
з)2 |
(xо+ yз)2 |
|
|||||||||||||||||||
, где f (ξ,η) = − |
0 |
|
0 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
− − |
|
0 |
|
0 |
|
|
− |
|
... |
|||||||||||
r′ |
|
|
|
|
|
|
|
s' |
|
|
|
2r′ |
|
2s' |
|
|
2r′3 |
|
|
2s'3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(14.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Итак, мы свели дифракционную задачу к вычислению интеграла (14.23). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если в уравнении (14.24) пренебречь членами, содержащими о2 , з 2 |
и выше, то будем |
иметь дело с дифракцией Фраунгофера. Если в (14.24) учитывать квадратичные члены – дифракция Френеля.
Вообще говоря, члены высших порядков исчезают в (14.23), только при r′ → ∞ , S′ → ∞ . То есть когда источник и точка наблюдения находятся на бесконечности.
Очевидно, что вклад членов в интеграл (14.23) мал,
1 |
|
æ 1 |
|
1 |
ö |
|
(e ξ + m η )2 |
|
(eξ + mη )2 |
|
|
|
||
|
K |
ç |
|
+ |
|
÷(ξ 2 |
+ η 2 ) - |
0 |
0 |
- |
|
|
<< 2π |
(14.25) |
2 |
r¢ |
|
|
r¢ |
S ¢ |
|||||||||
|
è |
|
s' ø |
|
|
|
|
|
|
, где |
e 0 , m0 |
|
– направляющие косинусы для r ;e , |
m – направляющие косинусы для |
|||||||||||||||||
поверхности S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Найдём условие, при котором (14.25) имеет решения. Поскольку второй и третий |
||||||||||||||||||||
член в (14.25) значительно меньше первого, если e |
|
0 |
, m0 , e , |
m <1, то: |
|||||||||||||||||
|
| r ¢ | >> |
|
ξ 2 + η 2 |
|
, |
| S ¢ | >> |
|
о 2 |
|
+ з 2 |
|
|
(14.26) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
max |
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
max |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
, m02 , e2 , m 2 << |
| r′ | |
λ |
|
|
|
|
|
|||||||
если: |
|
+ |
= 0 , |
|
e02 |
|
|
max |
(14.27) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
(ξ |
2 |
+ η |
2 |
) |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
r¢ |
S¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие (14.26) позволяет оценить расстояния, на которых выполняется приближение дифракции Фраунгофера. Условие (14.27) указывает на то, что дифракция Фраунгофера имеет место и тогда, когда точка наблюдения находится в плоскости, параллельной плоскости отверстия и при условии, что точка наблюдения и источник света достаточно близки к оси Z.
Вопрос № 41
Дифракция Фраунгофера плоской волны на круглом отверстии
п а д а ю |
щ |
а я |
X |
|
|
|
|||
п л о с к а я |
k |
э к р а н |
|
|
в о л н а |
|
|
||
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( x ` , y ` , z ` ) |
|
|
|
r |
α |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
Z |
|
|
А |
а п е р т у р а |
|
|
|
n |
||
|
|
|
S |
|
Р и с . 1 5 . 1 . Д и ф р а к ц и я п л о с к о й в о л н ы н а к р у г л о м о т в е р с т и и в б е с к о н е ч н о м э к р а н е .
Рассмотрим задачу, когда плоская монохроматическая волна падает на непрозрачный экран с круглым отверстием. Будем считать, что волна падает под углом γ к поверхно-
сти экрана рис. 15.1. В соответствии с выбранной геометрией чертежа: ∂∂n ≡ − ∂∂z .
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
Выберем плоскую волну в виде:ψ = U (x, y, z)exp(iωt - ik × r ) , причем согласно геомет- |
||||||||
рии рисунка: |
∂ψ |
= − |
∂ψ |
= ik zψ = ikψ cos γ (15.1) |
||||
∂n |
|
|
||||||
|
|
∂z |
|
z − z′ |
|
|||
Производная от r равна: |
∂r |
= − ∂r = |
= cos α . (15.2) |
|||||
∂n |
|
|||||||
|
|
|
|
∂z |
r |
Первое приближение, которое почти всегда справедливо для оптических задач, осно- вано на малости длины волны света. В большинстве задач, представляющих практиче- ский интерес точка ( x′, y′, z′), в которой вычисляется функция ψ, удалена от S – по-
верхности на много длин волн. Поэтому справедливо предположение: k >> 1r . Тогда
можно пренебречь производной от 1/r по сравнению с производной от exp(ikr) и запи- сать приближенное выражение интеграла (14.13):
|
1 |
æ ¶ψ |
|
¶r |
ö e− ikr |
|
|
|||
ψ ( x¢, y¢, z¢) = |
|
ç |
|
+ ik |
|
ψ ÷ |
|
dS |
(15.3) |
|
4π |
¶n |
¶n |
r |
|||||||
|
òS è |
|
ø |
|
|
Второе приближение связано с длиной r: r = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 + (z′ − z)2 , более про-
стого выражения.
В нашем случае апертура отверстия на экране мала по сравнению с расстоянием от нее до экрана, на котором исследуется поле. Тогда удобно для величины r использовать
|
|
|
r ≈ z − z′ + |
1 |
|
(x |
′ |
− x) |
2 |
+ (y |
′ |
− y) |
2 |
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
разложение в ряд Тейлора: |
|
|
|
|
|
(15.4) |
||||||||||
|
|
|
z′ − z |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставим в уравнение (15.3) выражения из (15.1) и (15.2) получим: |
|
|||||||||||||||
ш(x ′, y′, z′) = ik |
Aò |
(cos г + cos б)ш(x, y, z) e − ikr |
dS |
|
|
|
(15.5) |
|||||||||
р |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
, где J1(z) – функция Бесселя первого порядка (см. рис. 15.4). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ψ ( x ¢, |
y ¢, z ¢) |
= |
æ |
a |
ö |
|
|
e − ikr 0 |
J |
|
æ |
k |
ρ |
a |
ö |
|
||
Следовательно: |
|
i ç |
|
÷ψ |
0 |
1 |
ç |
|
÷ |
(15.13) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
ρ |
÷ |
|
|
|
è |
|
z ¢ |
|
ø |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если смотреть из отверстия, то точка поля Р будет видна под углом α: |
|
|
||||||||||||||||||||
α |
≈ |
ρ |
|
≈ |
ρ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.14) |
|
|
|
z ′ |
|
r 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В окончательном варианте имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
e − ikr0 |
1 |
|
æ |
|
a |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ ( x¢, y¢, z¢) = |
ia ψ |
0 |
r0 |
α |
J 1 |
ç 2π |
λ |
α ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
(15.15) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
J0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J1 (x) = 0 при: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = 3,8317 ; |
|
|
||||
0,5 |
|
|
J1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
= 7,0156 ; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
= 10,1735 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
6 |
|
8 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 15.3. Функции Бесселя нулевого -J0 и первого -J1 порядков.
½y/y0½2 10
5
а) |
-0,8 |
-0,4 |
0 |
0,4 |
0,8 |
a , раз |
б) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 15.4. Дифракционная картина, создаваемая плоской волной, проходящей через круглое отверстие в непрозрачном экране (а). Дифракционная картина за круглым отверстием (б).
Дифракционная картина, на больших расстояниях для поля за круглым отверстием представлена на рис.15.4, а. Эта картина – решение уравнения (15.15).
Первый ноль соответствует:
x1 |
= 2р |
a |
б = 3,832 |
т.е. угловая ширина первого максимума: |
||||||
л |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
α = |
3,832 λ |
= 1,22 |
|
λ |
(15.16) |
|||||
2π |
|
a |
|
2a |
||||||
|
|
|
|
|
|
Дифракционная картина за круглым отверстием состоит из концентрических кругов
(рис. 15.4, б).
Тогда поле дифракции за экраном примет вид: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ψ (x′, z′) = |
ψ0 |
∞ |
sin kx x exp{−i(kx x′ + |
k2 − kx2 )z}dkx |
|
|
(16.10) |
|||||||
|
π −∞ò |
kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интеграл (16.10) точно не вычисляется. Чтобы выбрать разумные приближения будем |
||||||||||||||
рассматривать поле дифракции в дальней зоне. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Обратим внимание на подинтегральное выражение в (16.10). При достаточно больших |
||||||||||||||
z′ экспоненциальная функция быстро осциллирует – т.е. принимает в равной мере по- |
||||||||||||||
ложительные и отрицательные значения рис. 16.2. Площадь, охватываемая кривой |
||||||||||||||
Re(exp{−i(kx x′ + |
k2 − kx2 )z}) → 0 . Если |
Re(expδ |
|
|
|
|
|
|||||||
вторая функция, на которую умножается |
|
|
|
|
|
|
||||||||
экспонента, очень медленно меняется, то |
|
|
|
|
|
|
||||||||
интегральный вклад от произведения будет |
|
|
|
|
|
|
||||||||
очень мал. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратим внимание на осцилляции |
|
|
|
|
kx |
|||||||||
функции. Быстрые изменения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
происходят вдали от точек экстремумов. В |
|
|
|
|
|
|
||||||||
точке, скажем, max, первая производная по |
|
|
|
|
|
|
||||||||
kx обращается в нуль. Такая точка max или |
Рис. 16.2. Быстро осциллирующая функция. |
|||||||||||||
min определяет малую область, внутри ко- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
торой аргумент стационарен. Другими словами, он не изменяется в первом порядке при |
||||||||||||||
изменении kx . Очевидно, что такая область даёт максимальный вклад в интеграл по |
||||||||||||||
сравнению с другими областями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Чтобы получить приближение для дальнего поля, используем метод стацио- |
||||||||||||||
нарных фаз. Метод стационарной фазы состоит в нахождении точки или точек, где |
||||||||||||||
аргумент быстро осциллирующей функции имеет стационарное значение. Аргумент |
||||||||||||||
разлагается в ряд Тейлора в окрестности этой точки: разложение производится до чле- |
||||||||||||||
нов второго порядка. Функция, взятая в стационарной точке выносится из под знака ин- |
||||||||||||||
теграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin kx d = e |
ik |
|
−ik |
|||
Присвоим в (16.10): |
sin k |
|
x ≈ sin k |
|
d |
|
x 2 |
- e |
|
x 2 |
||||
|
|
x |
|
x |
2 , |
2 |
|
|
2i |
|
|
|||
Перепишем интеграл (16.10) в удобном виде: |
|
|
|
|
|
|
¢ ¢ |
|
|
ψ0 |
|
|
∞ æ |
|
|
−iθ− |
|
1 |
|
ö |
|
|||||
|
|
|
|
ç 1 |
|
|
|
−iθ+ ÷ |
|
||||||||||
ψ (x , z ) |
= |
|
|
|
|
|
òç |
|
|
e |
|
|
|
- |
|
e |
÷dkx |
(16.11) |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
kx |
|||||||||
|
|
|
|
|
−∞è kx |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||
, где θ− = (x′ − |
d |
|
|
+ |
|
|
|
|
z′ |
|
|
|
|
|
|||||
|
)kx |
|
k2 |
− kx2 |
|
|
|
|
(16.12) |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ+ = (x′ + |
d |
|
+ |
|
|
|
z′ |
|
|
|
|
|
|||||||
)kx |
|
k 2 |
− kx2 |
|
|
|
|
(16.13) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти точку стационарной фазы и− , надо отыскать её экстремум:
, где α ≈ tg α = x′ |
≈ x′ |
|
|
(16.24) |
|
|||
|
|
z′ |
r |
|
|
|
|
|
Физический смысл метода стационарной фазы заключается в уничтожении вкладов |
|
|||||||
противофазных волн. Точка k (xm) определяет ту область на оси k x , которая даёт мак- |
||||||||
симальный вклад в интеграл. |
|
|
|
|
||||
Так как интеграл определяет сумму плоских волн, то выражение (16.15) показывает, ка- |
||||||||
кая часть этих волн вносит наиболее существенный вклад в процесс дифракции. Отно- |
||||||||
шение k−x / k определяет синус угла между направлениями распространения волны и |
||||||||
осью Z. С учётом приближения дальнего поля: |
|
|
|
|
||||
(−) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
kx |
= |
x |
|
= sinα ≈ α |
|
|
(16.25) |
|
k |
|
z′2 + |
x′2 |
|
|
|
|
|
Таким образом, найдено, что направление плоских волн, вносящий наибольший |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
вклад в процесс дифракции, совпадает с направлением, под которым точка поля (x , z ) |
||||||||
видна из щели. Т.е. плоские волны, распространяющиеся в других направлениях, можно |
||||||||
не учитывать рис 16.3. |
|
|
∙Р |
|
||||
Поле дифракции (16.23) имеет форму цилин- |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
дрической волны (рис. 16.4), спадающей с расстоя- |
|
|
α |
|
||||
нием как r−1/ 2 . Волна промодулирована по углу |
|
d |
|
|
||||
множителем: |
|
|
|
|
|
|
||
d α |
|
|
|
|
|
|||
sin |
π |
|
|
|
|
|
||
|
|
λ |
|
(16.26) |
|
|
|
|
|
α |
|
|
Рис. 16.3. |
Направления плоских |
|
||
|
|
|
|
|
||||
Т.е. имеется максимум при α = 0. Ширина главного |
|
|
||||||
|
|
волн, вносящих |
|
|||||
лепестка излучения α , при котором функция |
|
|
наибольший вклад. |
|
||||
(16.26) обращается в нуль: |
|
|
|
|
||||
απ d |
= π , следовательно: |
|
|
|
|
|||
|
λ |
λ |
|
|
|
|
|
|
α = |
|
1 |
|
|
|
|
||
(16.27) |
d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,4 |
0 |
0,4 |
α |
|
|
|
|
|
Рис. 16.4. Дифракционная картина, |
|
|
||
|
|
|
|
создаваемая плоской волной, |
|
|||
|
|
|
|
проходящей через щель. |
|
|