Lections_V
.pdf1 |
|
N |
2 |
|
+ |
1 |
|
|
|
N 2 + |
1 |
|
|
|
|
N |
2 |
= 0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
. |
(12.19) |
||||||||||||||
1− nx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− ny2 |
|
|
|
|
|
|
1− nz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Nx2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
Ny2 |
|
|
|
+ |
|
|
|
Nz2 |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|||||||||||
|
|
1 |
− |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(12.20) |
||||
|
|
|
n2 |
nx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
ny2 |
|
|
|
n2 |
nz2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Разделим (12.20) на с и учтём vi(P) |
= |
|
|
c |
, следовательно: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
|
|
|||||
|
|
|
Nx2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
Ny2 |
+ |
|
Nz2 |
= 0 . |
|
|
(12.21) |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
vP − vx |
|
|
|
|
|
vP − vy |
|
|
|
vP − vz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения (12.20) и (12.21) эквивалентны между собой и называются уравнения-
ми волновых нормалей Френеля, где nx, ny, nz –константы данного кристалла. Покажем, что одному и тому же направлению волновой нормали соответствуют
два значения фазовой скорости волны. Запишем уравнение (12.21) в виде:
Nx2 (v2y − vP2 )(vz2 − vP2 ) + Ny2(vx2 − vP2 )(vz2 − vP2 ) + Nz2 (vx2 − v2p )(vy2 − v2p ) = 0(12.
22)
Пусть фронт волны распространяется в x направлении, тогда: Nx = 1, Ny = Nz = 0. Следовательно:
(vy2 − vP2 )(vz2 − vP2 ) = 0 . Или: vP(1) = vy , v(2)p = vz ; (12.23)
Таким образом, одному направлению волновой нормали соответствуют две ско-
рости v(Py) ¹ v(Pz) , направленные вдоль компонент вектора смещения Dy || vP( y) ,
Dz || v(Pz) .
Точно также как для единичного вектора волновой нормали было получено урав- нение (12.21), можно получить аналогичное уравнение для единичного вектора направ- ления вектора Пойтинга P :
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
Py2 |
|
|
|
P2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
z |
|
= 0 |
|
||
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
(12.24) |
||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
. |
||
|
|
v2 |
v2 |
|
|
|
v2 |
v2 |
|
|
|
|
v2 |
v2 |
|
|
|
|||
|
|
Λ |
|
x |
|
|
|
Λ |
|
y |
|
|
Λ |
|
z |
|
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Наша задача связать компоненты p и N . |
||||||||
где vЛ – скорость вдоль луча p |
Поскольку каждому направлению волновой нормали соответствует две фазовые
скорости v(p1,2) , то следовательно для каждого направления волновой нормали имеется
два направления луча. Каждому из этих лучей соответствует своё направление линей- ной поляризации.
Рассогласование направления колебаний напряжённости и индукции электрического поля в оптических кристаллах
Скорости вдоль волновой нормали могут быть определены вспомогательным методом поверхности волновых нормалей (оптической индикатрисы). Найдём эту поверхность.
Запишем выражения для плотности энергии в кристалле:
|
1 |
r r |
1 |
æ |
D 2 |
|
D y2 |
|
D 2 |
ö |
|
w = |
|
( D E ) = |
|
ç |
x |
+ |
|
+ |
z |
÷ |
(12.25) |
|
|
|
|||||||||
|
8π |
|
|
ç |
ε x |
|
ε y |
|
ε z |
÷ , |
|
|
|
8π è |
|
|
ø |
|
При заданной интенсивности света ω величина постоянная:
D2 |
Dy2 |
D2 |
|
|
|
|
|
x + |
|
+ |
z = const |
12.26) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
εx |
εy |
εz |
|
|
r |
||
|
r |
|
|||||
Заменим Dx2 |
/ const → x2 и т.д., |
Z |
N |
||||
D |
|
||||||
получим уравнение оптической |
|
|
|
||||
индикатрисы (эллипсоид волновых |
|
|
|
||||
нормалей): |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
X |
||||||
2 |
+ |
2 + |
2 = 1. (12.27) |
|
||||
|
|
|||||||
|
nx |
|
ny |
nz |
|
|
||
|
|
Чтобы определить показатель |
Y |
|||||
преломления света, распростра- |
|
|
||||||
няющегося в заданном направлении, |
|
|
||||||
необходимо рассмотреть сечение |
|
|
||||||
оптической индикатрисы, |
Рис. 12.4. Оптическая индикатриса (эллипсоид |
|||||||
перпендикулярное этому |
|
волновых нормалей). |
||||||
направлению и проходящему через |
|
|
начало координат (рис. 12.4). Сечение это представляет собой эллипс, направление главных осей которого указывает направление колебаний вектора D. Показатель пре- ломления равен длине полуоси этого сечения, измеренного в направлении вектора ин-
дукции. |
|
Аналогично получаем поверхность для лучей: |
|
ε x x2 + ε y y2 + ε z z2 = 1. |
(12.28) |
Вопрос №38
Одноосные и двухосные кристаллы
Пусть из некоторой точки внутри анизотропного кристалла распространяется свет по разным направлениям. Отложим из этой точки в произвольном направлении отрезки,
Y
Z
v x
v y
v z |
X |
X |
о п т и ч е с к и е о с и |
о п т и ч е с к а я о с ь |
а ) |
б ) |
Р и с . 1 3 .1 . Д в у хо с н ы й ( а ) и о д н о о с н ы й ( б ) к р и с т а л л ы .
равные vst, где vs – лучевые скорости в данном направлении, а t – время распростране- ния света внутри кристалла. Геометрические места концов отрезков образуют лучевую поверхность. Двухполостная лучевая поверхность обладает четырьмя точками встречи внешней и внутренней полости. Две линии, соединяющие эти четыре точки, обладают особым свойством, вдоль них свет распространяется с единственной лучевой скоро- стью. Аналогичным образом строится поверхность нормалей, представляющих гео- метрическое место концов отрезков, равных в данном направлении vNt, где vN – скоро- сти по нормали. Если скорости вдоль осей x, y, z различны (например, vx>vy>vz), то се- чение лучевой поверхности плоскостью xy будет иметь вид см. рис. 13.1,а. Эллипс
расположен внутри окружности и имеется две оптические оси. Такой кристалл является двухосным.
Для одноосного кристалла две из трех главных скоростей равны между собой, поэтому трехосный лучевой эллипсоид превращается в эллипсоид вращения. У одно- осного кристалла двухполостная лучевая поверхность переходит в совокупность эл- липсоида вращения и шара с двумя точками касания, расположенными на оптической оси рис.13.1,б.
Интерференция поляризованного света в одноосных кристаллах
Запишем уравнение Френеля:
N2x (v2p − v2y )(v2p − v2z ) + N2y (v2p − v2x )(v2p − v2z ) + N2z (v2p − v2x )(v2p − v2y ) = 0
(13.1)
Оптическая ось ориентирована вдоль оси z (рис. 13.1,а) и vx = vy = vo , где vo –
ordinary velocity (обыкновенная скорость). Тогда из (13.1) следует:
[N 2x (v 2p - v 2z ) + N 2y (v 2p - v 2z ) + N 2z (v 2p - v 02 )] × (v 2p - v 20 ) = 0 ,
гдеv2z = ve2 ; е – extraordinary velocity (необыкновенная скорость).
δ = 2π (n |
e |
|
- n ) sin2 |
υρ |
|
|
|
|
|
(13.14) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с sin 2 х = const = c |
|
||||
Поверхность равной фазы д = const примет вид: |
(13.15) |
|||||||||||||||||||||||||||||
Что это за поверхность? Исследуем вид такой поверхности. Ниже представлен пример |
||||||||||||||||||||||||||||||
наиболее распространённого метода анализа интерференционных картин. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
В декартовых координатах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ì |
|
2 |
= x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ïс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
í |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.16) |
|
ï |
|
sin |
х |
= x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
îс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Из условия (13.15) с учетом (13.16) следует: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(x2 + y2 )2 |
|
= c2 (x2 + y2 + z2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
(13.17) |
|
|||||||||||||||||||
Поверхность (13.17) можно получить при вращении кривых. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пусть у=0, тогда из (13.17): |
x 4 |
= c2 (x 2 |
+ z2 ) |
|
|
(13.18) |
|
|||||||||||||||||||||||
Вращая кривую (13.18) вокруг оси z получим: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
для z2 |
>> x2 - уравнение параболы: x2 ≈ cz |
|
|
(13.19) |
|
|||||||||||||||||||||||||
для z вблизи оси x получим уравнение гиперболы: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
2 |
æ |
|
z |
2 ö |
|
2 |
|
2 |
|
|
||
c = |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 = |
|
|
|
2 |
» x |
|
ç |
- |
|
÷ |
» x - z |
|
|
|
||||||||
x |
+ z |
|
|
z |
|
ç1 |
x |
2 ÷ |
|
(13.20) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, теперь можно просто изобразить все линии равной разности фаз, |
||||||||||||||||||||||||||||||
взяв сечения полученной поверхности плоскостями, находящимися на разных рас- |
||||||||||||||||||||||||||||||
стояниях от начала координат (рис.13.7). Кривые, вдоль которых разность фаз посто- |
||||||||||||||||||||||||||||||
янная, называется изохроматами. Для нашего случая: изохроматы имеют вид окружно- |
||||||||||||||||||||||||||||||
стей. Изохромата разрезана по двум взаимно перпендикулярным направлениям. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Кривые, для которых sin 2ц = 0 – главные изотермы. Картина интерференции, |
||||||||||||||||||||||||||||||
представленная на экране имеет название мальтийский крест. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п а р а б о л а |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ги п е р б о л а |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
а ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б ) |
|
|
|
Р и с . 1 3 .7 . П о л у ч е н и е к р и в ы х п о в е р х н о с те й р а в н ы х ф а з (а ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М а л ь ти й с к и й кр е с т (б ) . |
|
|
|
|
|
Вопрос № 39
Дифракция света.
Дифракция является характерной чертой явления распространения волн. Если рассмат- ривать свет с точки зрения геометрической оптики, то следует ожидать появления за краем непрозрачного препятствия резких теней. Однако из волновой оптики следует, что резких теней не может быть, потому что часть света проникает в область геометри- ческой тени. Дифракция объясняет появление света в области тени.
Поляризация световой волны играет важную роль при отражении и преломлении свето- вых волн; при рассмотрении дифракции ее влияние можно не учитывать. Особенно это справедливо, если длина света существенно короче любого линейного размера предме- та, на который падает свет. По этой причине при описании дифракции достаточно ис- пользовать скалярное волновое уравнение, игнорируя векторный характер световой
волны. Принцип Гюйгенса - Френеля. Интеграл Киргофа.
Световое возмущение в точке Р возникает вследствие суперпозиции вторичных волн, испускаемых поверхностью волнового фронта. Будем рассматривать монохроматичное
скалярное поле: V ( x , y , z , t ) = U ( x , y , z )e − iω t |
(14.1) |
Тогда волновое уравнение принимает вид: (Ñ2 + k2 )U = 0 , где k = 2π / λ . |
(14.2), |
Уравнение (14.2) – приведенное волновое уравнение или уравнение Гельмгольца. Предположим, что U′ также удовлетворяет волновому уравнению: (Ñ2 + k 2 )U ¢ = 0 (14.3) Умножим (14.2) на U′ , а (14.3) на U и вычтем уравнения друг из друга:
|
|
¢ |
2 |
- UÑ |
2 |
U |
¢ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
(14.4) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
U |
Ñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Окружим точку наблюдения Р (рис. 14.1) гладкой поверхностью S, охватывающий объ- |
|||||||||||||||||||||||||||
ём и проинтегрируем U по всему объёму : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ò(U¢Ñ 2 U - UÑ 2 U¢)dV = const |
(14.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
n |
|
||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (14.3) симметрично относительно коор- |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
динат x,y,z и ему всегда удовлетворяет сферическая |
|
|
|
|
r` |
|
|
V |
|
||||||||||||||||||
волна: |
|
|
U ′ |
|
= |
|
|
e ik r ′ |
|
|
(14.6) |
|
S |
|
|
|
P |
S` |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
r ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но эта функция в точке Р обращается в беско- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
нечность. Чтобы при решении задачи избежать не- |
|
Поверхность S окружает току |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
Рис. 14.1 |
|
|||||||
определённостей, окружим точку Р, сферой S дос- |
|
наблюденияР. Поверхность S` |
|
||||||||||||||||||||||||
таточно малого радиуса r′ . А теперь воспользуемся |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
для левой части уравнения (14.5) теоремой Грина: |
|
принадлежитповерхности S. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ò(UÑ |
2 |
¢ |
|
¢ |
|
2 |
|
|
|
|
|
æ |
¶U¢ |
|
-U |
¢ ¶U ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
-U Ñ |
U )dV = - ò |
çU |
¶n |
|
÷dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S +S′ è |
|
|
¶n ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(14.7), где n – внутренняя нормаль по отношению к пространству V. Этот вектор |
|||||||||||||||||||||||||
направлен наружу от объема. Тогда из (14.5) следует: - |
æ |
¶U |
¢ |
- |
U ¢ |
¶U ö |
= |
||||||||||||||||||||
ç U |
¶n |
|
¶n |
÷dS = 0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(14.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S+òS′ è |
|
|
|
|
ø |
|
|||||
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
¶U¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
æ |
|
¶U |
- U¢ |
¶U |
ö |
|
|
|
òS |
æ |
-U |
¢ |
¶U |
ö |
(14.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
çU |
¶n |
|
¶n |
÷dS¢ = - |
çU |
¶n |
¶n |
÷dS |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Sò′ è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдём в (14.9) к пределу, устремляя радиус r′ → 0 . Правая часть (14.9) не из- меняется. В этом случае: