2_Kinematyka

Розділ 2

ОПИС МЕХАНІЧНОГО РУХУ (КІНЕМАТИКА)

2.1. Кінематика точки

Кінематика (від грецького κίνήματος (kinématos) - рух, зміна) - розділ механіки, в якому розглядаються способи математичного опису механічного руху тіл не торкаючись його причин.

Відповідний рівень абстракції в кінематиці такий, що матеріальний характер точок, які рухаються,

не має ніякого значення. Замість матеріальної точки в кінематиці можна оперувати поняттям точки відомим з геометрії і кінематика, таким чином, зводиться до вивчення геометричних властивостей руху тіл.

Залежно від характеристик об’єкту, рух якого вивчається, можна говорити про кінематику точки (відповідає моделі матеріальної точки), кінематику абсолютно твердого тіла та кінематику неперервно деформованих тіл, рідин та газів.

Основна задача кінематики точки та абсолютно твердого тіла1, які будуть розглянуті в цьому та наступному параграфах, є кількісний опис (за допомогою аналітичних виразів, графіків,

таблиць тощо) рухів, що їх здійснюють точки або тверді тіла відносно обраної системи відліку, і

визначення всіх кінематичних характеристик цих рухів. Кінематика розглядає також рухи віднос-

но систем відліку, що рухаються одна відносно одної, і зв’язок між кінематичними характеристиками руху відносно цих систем відліку.

Нижче ми розглянемо три способи опису руху точки: векторний, координатний та так званий природний.

2.1.1. Векторний спосіб

Нехай нас цікавить рух деякої точки A відносно деякої наперед заданої системи відліку.

Оберемо деяку точку O нерухому відносно цієї системи відліку. Назвемо її початком відліку.

Проведемо відрізок прямої з початку O до точки A . Напрямлений відрізок OA , тобто такий, для

1Надалі ми будемо вживати терміни тверде тіло та тіло , маючи на увазі тіла, що не деформується в процесі руху, замість більш довгого виразу абсолютно тверде тіло, якщо спеціально не вказано на деформованість цих тіл.

28

Підкреслимо, що радіус-вектор r є геометричний об’єкт, що існує незалежно від того, чи обрано

якусь систему координат чи ні. Тим більше радіус-вектор r не залежить від того, яку саме систему

набори координат. Наприклад, будемо по черзі обирати системи координат, в яких одна з координатних

маємо x y, y r, z 0 ; при r Oz маємо x 0, y 0, z r .

Таким чином, систему відліку та систему координат не можна ототожнювати, як це іноді роблять.

Система відліку – це поняття суто фізичне, яке ґрунтується на виборі певних матеріальних об’єктів. Поняття системи координат – абстрактно-математичне. В одній і тій же фізичній системі відліку можна ввести безліч систем координат різних типів по-різному з нею пов’язаних, у тому числі й таких, що рухаються відносно цієї системи відліку. З огляду на це немає жодних підстав для включення системи координат до означення системи відліку як це іноді трапляється.

2.1.3. Природний спосіб

Якщо траєкторія руху точки наперед відома, то рух точки можна описати в такий спосіб. У

деякій точці траєкторії обирають початок відліку O , а також виділений напрям уздовж траєкторії.

(Рис. 2.3). Тоді положення точки A відносно початку O можна однозначно описувати дуговою координатою s – відстанню вздовж траєкторії від точки A

до початку O , взятою зі знаком плюс або мінус, залежно від того, в якому напрямку, у виділеному (додатному) чи у протилежному (від’ємному), треба рухатись вздовж

траєкторії з точки O , щоб досягти точки A .

Саме в такий природний спосіб найчастіше характеризують положення об’єкту або місце події в повсякденному житті, прив’язуючись до мережі транспортних

магістралей на поверхні Землі. Коли ми читаємо в газеті повідомлення про пригоду на такому-то кілометрі

часу. Точка 2, що визначає кінець вектора (Рис. 2.4), буде наближатися до точки 1. Можна r

t до нуля, а отже і при нескінченному наближенні точки 2 до точки 1. Ця границя буде характеризувати рух частинки в момент часу t1 , коли вона знаходиться в точці траєкторії 1, і

називається вектором швидкості або миттєвою швидкістю або просто швидкістю. Таким чином,

вектор швидкості в момент часу t визначається як границя

що здійснюється за нескінченно малий проміжок часу dt , тобто по дотичній до траєкторії в точці,

де знаходиться частинка в момент часу t . Отже вектор швидкості частинки направлений по дотичній до її траєкторії в напрямі руху. Модуль швидкості визначається як модуль вектора

швидкості :

31

Таким чином, модуль швидкості дорівнює похідній шляху за часом, яка в свою чергу може

Ці співвідношення можуть бути використані для обчислення переміщення і шляху частинки за скінченні проміжки часу шляхом інтегрування (послідовного додавання) елементарних переміщень чи шляхів.

Наприклад, якщо відома залежність модуля швидкості від часу, то шлях, який проходить частинка за проміжок часу t2 t1 , можна обчислити за формулою, що безпосередньо випливає з

(2.11)

32

Це дає можливість записати формули для відшукання швидкості в такому вигляді

приросту вектора швидкості до нескінченно малого проміжку часу, за який цей приріст набуто,

напрямом самого вектора швидкості .

Підставляючи в (2.16) вираз для швидкості з (2.6) отримаємо

звідки випливає, що прискорення частинки є другою похідною за часом від її радіус-вектора.

Отже, якщо відомий закон руху частинки, поданий як залежність її радіус-вектора від часу,

, то шляхом послідовного диференціювання радіус-вектора за часом можна знайти r r (t)

швидкість і прискорення частинки в будь-який момент часу.

Наведені вище співвідношення між прискоренням, швидкістю і радіус-вектором частинки можуть бути записані і в координатній формі. Наприклад, проектуванням відповідних векторних рівностей на осі декартової системи координат отримаємо для компонент радіус-вектора, швидкості та прискорення такі вирази

33

Таким чином, якщо задано закон руху частинки в координатній формі, як залежність її координат від часу, можна знайти проекції векторів швидкості і прискорення на координатні осі, а отже й самі вектори.

Наприклад, модуль вектора :

При цьому напрям вектора швидкості визначається кутами, які він утворює з осями Ox,Oy,Oz

(Рис. 2.7) і які можна знайти за напрямними косинусами:

cos x , cos y , cos z . (2.20)

На практиці часто виникає обернена задача: за відомою залежністю прискорення частинки від часу

визначають так званий механічний стан частинки. Ця задача може бути розв’язана однозначно лише тоді, Рис. 2.7.

коли відомі так звані початкові умови, а саме швидкість та радіус-вектор частинки в деякий

початковий момент часу t 0 , відповідно (0) та r (0) , тобто її початковий механічний стан.

Дійсно, за відомим прискоренням a(t) ми можемо, користуючись означенням прискорення (2.16),

отримати лише приріст швидкості за проміжок часу (0,t) :

t

(t) a(t)dt

Щоб знайти саму швидкість у момент часу t треба до цього приросту додати початкову швидкість

Така обернена задача є практично важливою і розв’язується, наприклад, у так званих інерціальних системах навігації різноманітних рухомих об’єктів, таких як літаки, підводні човни, балістичні та крилаті ракети. В таких системах шляхом двократного інтегрування безперервно вимірюваних на борту компонент вектора прискорення за відомими координатами старту (початкова умова) визначають поточні координати рухомого об’єкта без спостереження яких би то не було зовнішніх орієнтирів.

2.1.5. Прискорення частинки, що рухається по криволінійній траєкторії

Вектор швидкості частинки може бути поданий у вигляді добутку модуля швидкості на

dt

тобто вектор прискорення частинки в загальному випадку можна подати у вигляді двох

складових, одна з яких, , направлена так само як швидкість, тобто по дотичній до траєкторії, а

друга, , як ми покажемо нижче, перпендикулярна до першої.

Друга складова існує лише тоді, коли частинка рухається по криволінійній траєкторії. Ми дослідимо її більш детально, обмежившись випадком плоскої траєкторії, тобто такої, яка повністю лежить в одній площині. У випадку довільної гладенької плоскої кривої в будь-якій її точці (наприклад, у точці 1 на Рис. 2.8) можна побудувати так зване стичне коло (круг кривини),

яке найщільніше прилягає до кривої в точці 1 порівняно з будь-якими іншими колами, що дотикаються до кривої в тій самій точці 1. Центр стичного кола називають центром кривини, а

радіус - радіусом кривини R кривої в даній точці.5 Апроксимація (наближення) ділянки траєкторії

5Іноді користуються оберненою до радіусу кривини величиною R 1 , яка зветься просто кривиною кривої в даній точці.