s2_matan_kol_shpore_html_pdf
.pdf
к.
Для будь-яких двох сіткових розбиттів P1 , P2 |
бруса |
I |
||||
виконується нерівність: |
|
|
||||
, S P1 ( f ) |
|
( f ) |
(2) |
|
||
S P2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нехай |
f : |
I |
|
R - |
|
обмежена функція, що визначена на брусі I . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Числа fdx |
|
|
fdx sup SP ( f ) називаються відповідно верхнім та |
||||||||||
inf |
SP |
( f ) , |
|
||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
P |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нижнім інтегралом Дарбу від функції f на брусі I .
Лема (Зв’язок інтегралів Дарбу)
2.
Якщо
то
f : I R - обмежена функція, що визначена на брусі I ,
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
fdx fdx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обмежена функція f : |
I |
R називається інтегрованою у розумінні |
||||
Дарбу на брусі I , якщо виконується рівність: 
fdx 
fdx . Це спільне
значення верхнього та нижнього інтегралів Дарбу для функції f називається m - кратним ( m - вимірним) інтегралом Дарбу
#59
#60. Деякі застосування потрійного інтеграл
1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою
областю G , що має об'єм V , то згідно з формулою
V |
dxdydz |
|
G |
Застосування у механіці. Нехай G – обмежена замкнена область
простору R3 , яку займає деяке матеріальне тіло з густиною |
(x, y, z) , |
|
де (x, y, z) – неперервна функція в області G , тоді: |
|
|
а)маса цього тіла |
|
|
m |
dV |
|
|
G |
|
б)моменти інерції Ix , I y , Iz тіла відносно координатних осей Ox,Oy,Oz
відповідно дорівнюють
Ix |
(y2 z2 ) dV; I y |
(x2 z2) dV ; Iz |
(x2 |
y2) dV |
|
G |
|
G |
|
G |
|
Моменти інерції Ixy ,Ixz ,Iyz тіла відносно координатних площин |
|||||
Oxy,Oxz,Oyz обчислюються за формулами |
|
|
|||
Ixy |
z2 dV ; Ixz |
y2 dV ; I yz |
x2 dV |
|
|
G |
G |
|
G |
|
|
Момент інерції тіла відносно початку координат
I0 |
(x2 |
y2 |
z2 ) dV ; |
|
G |
|
|
в) статичні моменти Mxy ,Mxz ,M yz тіла відносно координатних
площин Oxy,Oxz,Oyz обчислюються за формулами
M xy |
z dV ; M xz |
y dV ; M yz x dV |
G |
G |
G |
г) координати xc , yc , zc центра маси тіла визначаються за формулами
|
M yz |
|
|
x dV |
Mxz |
|
|
y dV |
|
Mxy |
|
z dV |
||
xc |
|
G |
|
; yc |
|
G |
|
; |
zc |
|
G |
|||
m |
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
dV |
||||
|
|
|
dV |
|
|
dV |
|
|
||||||
|
|
|
G |
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
G |
#61
#62
#63
#64
#65