Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2_semestr мех мат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

468.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

6) P1 1 : n=1 2pn

2. Використовуючи ознаки Д’Аламбера або Кошi, дослiдити збiжнiсть рядiв:

	nP					P	n
1)	1 1000n			;	3)	1	2n ¢nn!	;
	=1 n!					n=1	n
	nP					P
2)	1	n!	;		4)	1 3 ¢nn!;
2)	1	n	;		4)	1 3 ¢nn!;
	=1	n				n=1	n
	=1					n=1

	nP				2
5)	1	(n!)22				;
	=1	2		n
	=1	2
	1			n
	nP
6)	nP	¡	2 +			n	¢	n :
	=1

3. Використовуючи iнтегральну ознаку Маклорена -- Кошi, дослiдити збiжнiсть ряду

P1 1p :

n=2 n ln n

4. Використовуючи ознаки Раабе, логарифмiчну або Гаусса, дослiдити збiжнiсть рядiв:

	P	µ	(2n 1)!!	¶	p		P
	1		(2n 1)!!		p		1 n! en
1)	n=1		(2¡n)!!		;	2)	n=1 nn+p :

Д1. Довести, що для будь-якого збiжного ряду з невiд’ємними членами й залишками frn : n ¸ 1g iснує збiжний ряд з невiд’ємними членами й залишками frn0 : n ¸ 1g, що задовольняють умову rn = o(rn0 ); n ! 1:

Д2. Нехай послiдовнiсть невiд’ємних чисел fan : n ¸ 1g монотонно не зростає. Довести, що ряд P1 an збiгається тодi й лише тодi, коли збiгає-

n=1

2na2n .

ться ряд

Б17

1. За допомогою ознак порiвняння дослiдити збiжнiсть рядiв:

nP1

;

sin2 n®;

1 tg

;

n=1 n2 + 1

n=1

;

n=1

n + 1

=1 n

5n¡1

2. Використовуючи ознаки Кошi або Д’Аламбера, дослiдити збiжнiсть рядiв:

n+1

n 1

n=1

3n ¢

;

n=1 arcsin

n=1 n tg

2n+1

;

n + 1

n=1 ³

2n ¡ 1

;

n=1

2n + 3n

;

n=1 n2

;

1 n4 p

+ ( 1)n n

4n ¡

;

10)

n=1

n=1 nn ;

n=1

8 : : : (3n

;

12)

(n!)

¢ 4

¢ 7 : : : (3n ¡ 2)

(n!)

¢ 9 : : : (4n

¡ 3)

;

11)

;

(2n

1)!!

n=1 (2n)!

3. Використовуючи iнтегральну ознаку Маклорена -- Кошi, дослiдити збiжнiсть рядiв:

1)	1	ln n	;
1)	=2	n2	;
	=2	n2
	nP
	nP
2)	1	np	1	;
2)	=1	np	n + 1	;

3)	1	1			;
3)		p		q	;
	=2	n (ln n)
	nP1		1
4)	nP
	nP	n(ln n)p(ln ln n)q :
	=3	n(ln n)p(ln ln n)q :
	=3

4.Використовуючи ознаки Раабе або Гаусса, дослiдити збiжнiсть ряду

nP
1	n! n¡p	(q > 0).
=1	q(q + 1) : : : (q + n)	(q > 0).
=1

ЗАНЯТТЯ 18 АБСОЛЮТНО ТА УМОВНО ЗБIЖНI РЯДИ

Контрольнi запитання

1.Означення абсолютно та умовно збiжних рядiв.

2.Ознаки Лейбнiца, Дiрiхле, Абеля.

А18

1. Дослiдити абсолютну та умовну збiжнiсть рядiв:

( 1)n¡1

(

1)n

;

n=1

x + n

µ1 +

¶;

(

( 1)

n=2 ln

¡np

n=2

(n +¡(¡1)n)p

;

(

1)n¡1

sin

( 1)n n ¡ 1

1001 :

n + 1

n=1

2. Довести умовну збiжнiсть рядiв на iнтервалi (0; ¼): 42

nP	sin nx			P	cos nx
1			;	1			:
1)	n			2)	n
=1				n=1

3. Для рядiв				P
nP	sin nx				cos nx
1			;	1			;
1)	n	p		2)	n	p
=1				n=1

де x 2 (0; ¼), знайти множини параметрiв (x; p), для яких вони збiгаються: а) абсолютно; б) умовно.

4. Дослiдити збiжнiсть рядiв:

sin n ¢nsin n

1 ( 1)n pn

;

1 sin

;

¡ln n

n + n .

n=1

n=2

n=3

ln(ln n)

5. Довести, що для кожного p > 0 сума ряду

1 ( 1)n+1

лежить в

¡np

iнтервалi ³

2; 1´.

6. Оцiнити залишок ряду

(¡1)n+1

i вказати, скiльки доданкiв треба

=1 pn2 + 1

взяти, щоб обчислити його суму з точнiстю до " = 10¡8.

7. Довести збiжнiсть ряду

1 + 12 ¡ 14 + 18 + 161 ¡ 321 + : : :

i знайти його суму.

P1 (¡1)n

8. Довести розбiжнiсть ряду p . n=1 n n

Д1. Дослiдити збiжнiсть рядiв:

1)11p ¡ 21q + 31p ¡ 41q + 51p ¡ 61q + : : : ;

2)1 + 31p ¡ 21p + 51p + 71p ¡ 41p + : : : :

Д2. Нехай послiдовнiсть fan : n ¸ 1g перiодична з перiодом p 2 N. Знайти необхiднi й достатнi умови збiжностi ряду

P1 ann :

n=1

Б18

1. Встановити, якi зi знакозмiнних рядiв збiгаються абсолютно, умовно або розбiгаються:

1 (¡1)n+1

;

1 (¡1)n ln n;

=1 np3 n

n=2

( 1)

n+1

(n + 2)

(

cos

n=1

;

n+1

(¡1)

;

(¡1)

sin n

;

n=1

(2n

¡n

1 (¡1)

;

(¡1)

1 ¢ 4 ¢ 7 ¢ : : : ¢ (3n ¡ 2)

;

n 1

9 11

: : :

(2n + 5)

¢1

n=1

1 (¡1) ¡ (2n + 1)

;

10)

(¡1) ¡ (2n + 1)!!

n=1

n(n + 1)

: : :

(3n

2.Переконатися в тому, що доданки рядiв

1)p21¡ 1 ¡ p21+ 1 + p31¡ 1 ¡ p31+ 1 + : : : +

+pn1¡ 1 ¡ pn1+ 1 + : : : ;

2)22=31¡ 1 ¡ 22=31+ 1 + 32=31¡ 1 ¡ 32=31+ 1 + : : : +

+n2=31¡ 1 ¡ n2=31+ 1 + : : :

не задовольняють умови ознаки Лейбнiца. Чи збiгаються цi ряди?

3.Нехай ряд умовно збiгається. Чи збережеться його збiжнiсть, якщо для деякого числа N переставити першi N доданкiв? Чи збережеться при цьому його сума?

4.Дослiдити збiжнiсть рядiв:

( 1)n¡1

sin n¼

p ;

n + (

;

sin n¼¡

n=2

ln n

;

cos

nP n

+ sin

n=2

ЗАНЯТТЯ 19

ВЛАСТИВОСТI ЗБIЖНИХ РЯДIВ. ДОБУТОК РЯДIВ. НЕСКIНЧЕННI ДОБУТКИ

Контрольнi запитання

1.Теорема про арифметичнi дiї зi збiжними рядами.

2.Перестановка членiв абсолютно та умовно збiжних рядiв.

3.Добуток рядiв за Кошi. Теореми про достатнi умови збiжностi добутку рядiв.

4.Означення нескiнченного числового добутку, його часткового добутку. Означення збiжного числового добутку.

А19

1. Знайти суми рядiв:

(¡1)n

+ 1

+ (¡1)n+1

;

n=1

µ3n+1

n=1

21n +

¡3n

(

1 ( 1)n+1

= ln 2¶, зна-

2. Вважаючи, що сума ряду Лейбнiца вiдома

µn=1

¡ n

йти суми рядiв:

1) 1+

+: : : ;

2) 1¡

3 ¡ 2 +

+ 7

¡ 4

+ 3

¡ 6 ¡

8 +: : : :

1 ( 1)n+1

3. Переставити доданки збiжного ряду n=1

¡p

таким чином, щоб

розбiжним до + .

одержаний ряд: а) був розбiжним; б) бувP

4. Використовуючи множення рядiв за Кошi, обчислити добуток

1 (¡1)n :

=0 n!

¢ n=0 n!

5.Використовуючи множення рядiв за Кошi, довести рiвнiсть

µP1 qn¶2 = P1 (n + 1) qn, де jqj < 1:

n=0	n=0
		1 ( 1)n+1
6. Довести, що квадрат у розумiннi Кошi збiжного ряду			¡p		є
6. Довести, що квадрат у розумiннi Кошi збiжного ряду		=1	¡p	n	є
розбiжним рядом.		nP
	45

7. Знайти частковi добутки й довести рiвностi:

sin x

n=2

³1 ¡

= 2;

n=1 cos

;

1 + x

= 1 ¡ x;

n=0

j j

= 4.

< 1

Д1. Нехай fan : n ¸ 1g ½ (0; +1); an ! 0 i ряд an розбiгається. n=1

			s				послiдовнiсть	"		2 f¡	g
			s				послiдовнiсть	"		1; 1	,
Довести, що для довiльного числа				iснує			P		n
		1
n ¸ 1, для якої n=1 "nan = s.
Д2. Довести	рiвносильнiсть тверджень:
Д2. Довести		P			1
nP					1
1
1) ряд		an збiгається абсолютно;
=1				1P
				1P
2) 8 f"n : "n 2 f¡1; 1g; n ¸ 1g :					n=1		"nan збiгається;
3) 8 f"n : "n 2 f0; 1g; n ¸ 1g :				nP		"nan збiгається.
				=1
			Б19

1.Довести, що доданки умовно збiжного ряду можна, не змiнюючи їх порядку, згрупувати таким чином, що одержаний ряд буде абсолютно збiжним.

2.Нехай члени ряду P1 an задовольняють наступнi умови:

n=1

1)an ! 0; n ! 1;

2)для деякої строго зростаючої послiдовностi натуральних чисел fpn : n ¸ 1g, що задовольняє умову sup(pn+1 ¡ pn) < 1,

1			n¸1
1			pn+1¡1
1 P		=	iPn
збiгається ряд	An, де An	=	ai.
n=1			=p
Довести, що ряд P an збiгається.

n=1

3. Нехай перестановка ¾ : N ! N задовольняє умову sup j¾(n) ¡ nj < 1.

n¸1

Довести, що ряди P1 an i P1 a¾(n) одночасно або розбiгаються, або

n=1 n=1

збiгаються до тiєї самої суми.

4.Що можна стверджувати про суму двох рядiв, з яких

1)один ряд збiгається, а iнший розбiгається;

2)обидва ряди розбiгаються?

5. Довести, що

	1 1						2			1 2n
1)	µn=0					¶	= n=0 n! ;
				n!
	1P n					1		5	nP		1
2)		2			¢					=
	n=0 n!					n=0 n!					=0
	P1		n			P1		(		2)nnP
3)	nP	3			¢	P		¡			=
	=0 n!					n=0			n!

7nn! ;

P1 1 .

n=0 n!

6. Знайти частковi добутки й довести рiвностi:

¡ 1

;

cos

= ¼ ;

n=2 n + 1

n=1

n(n

n=2

n=1

n(n + 2)

;

1 +

= 2.

³ ´

+ 1)

µ1 + 2

¶ = 2;

n=0

ЗАНЯТТЯ 20

ЗБIЖНIСТЬ НЕСКIНЧЕННИХ ДОБУТКIВ

Контрольнi запитання

1.Необхiдна умова збiжностi нескiнченного добутку.

2.Достатнi умови збiжностi нескiнченних добуткiв. Зв’язок зi збiжнiстю числових рядiв.

3.Абсолютна збiжнiсть нескiнченних добуткiв.

А20

1. Чи випливає зi збiжностi добуткiв Q1 pn i Q1 qn збiжнiсть добуткiв:

	Q	n=1	n=1
	Q	nQ
1)	1 (pn + qn) ;	2)	1 pn2 ?
	n=1		=1

2. Дослiдити збiжнiсть нескiнченних добуткiв:

1) Q1 (n + 1)2 ; n=1 n(n + 2)

2) Q1 ³1 + 1p ´;

n=1 n

3) Q1 ³1 + xn ´;

n=1 2n

	1	x	x
4)	n=1	¡1 + n¢e¡n ;
	Q1
5)	Q (1 ¡ xn) ;
	n=1
	Q	xn	xn
	1	xn	xn
6)	n=1	³1 + np	´cos nq	;

(jxj · 1; q > 0):

3. Нехай ряд

1 an2

збiгається. Довести, що тодi збiгається нескiнченний

добуток

cos an.

n=1

Дослiдити абсолютну й умовну збiжнiсть добуткiв:

¶;

(

1)n+1

n=1 µ1 +

¡np

n=2 pn + (¡1)n :

Д1. Нехай fan : n ¸ 1g ½ (0; +1) i ряд

ln an збiгається абсолютно.

Довести, що добуток

an не залежить вiд порядку множникiв.

: n

n=1

(0; + )

Д2. Нехай

¸ g ½

an1+1 ¡ a1n = O(1); n ! 1.

Довести, що добуток Q1 (1 + an) розбiгається.

n=1

Д3. Довести формулу Стiрлiнга

n! » p2¼n nne¡n; n ! 1:

Вказiвка. Границю вiдношення лiвої i правої частин подати у виглядi нескiнченного добутку i для знаходження його числового значення використати формулу Валлiса.

Б20

1. Чи випливає зi збiжностi добуткiв Q1 pn i Q1 qn збiжнiсть добуткiв:

n=1

1 pnqn;

n=1

2. Дослiдити збiжнiсть наступних нескiнченних добуткiв:

n=2 ³1 ¡ n´;

n=2 ³n2 +¡

1´ ;

1 p

1 n

+ an + b

де n

+ cn + d > 0 при n ¸ n0;

+ cn + d;

n=1 pn2 + 1;

n=1 ³1 ¡ c + n´en ;

Q q

де c > 0;

¼ ¼

sin n

1 +

;

n=1 µ

n=1

´ ряд

3. Нехай

для

послiдовностi fan

: n

¸ 1g ½ ³¡ 4 ; 4

n=1 an

збiгається абсолютно. Довести, що тодi збiгається нескiнченний

добуток

n=1 tg ³4 + an´.

4. Дослiдити абсолютну й умовну збiжнiсть наступних добуткiв:

µ1 +

¶;

(

1)n+1

(

1)n

n=1

¡ n

n=1 n

;

(

1)n+1

µ1 +

¶;

Q n

¡p

n=1 pn(¡1)

n=1

n=2

µ1 + ¡ln n ¶

;

(

1)n

3) fn(x) = sin nx; 4) fn(x) = arctg nx;

5) fn(x) = x arctg nx:

ЗАНЯТТЯ 21

ПОТОЧКОВА Й РIВНОМIРНА ЗБIЖНIСТЬ ПОСЛIДОВНОСТI ФУНКЦIЙ. ГЕОМЕТРИЧНА IНТЕРПРЕТАЦIЯ

Контрольнi запитання

1.Означення поточкової збiжностi послiдовностi функцiй.

2.Означення рiвномiрної збiжностi послiдовностi функцiй.

3.Теорема про зв’язок поточкової та рiвномiрної збiжностi.

4.Критерiй Кошi рiвномiрної збiжностi функцiональної послiдовностi.

А21

1. Для послiдовностi ffn(x) = xn; 0 < x < 1 : n ¸ 1g i фiксованого x 2 (0; 1) визначити найменший номер N = N("; x); починаючи з якого вiдхилення членiв послiдовностi в точцi x вiд граничної функцiї не пере-

10			p10		p10		2 N
вищує 0:001; якщо 1) x =	1	; 2) x =	1	; 3) x =	1	; m		: Чи
					m

збiгається ця послiдовнiсть функцiй рiвномiрно на iнтервалi (0; 1)?

2.Дослiдити послiдовнiсть функцiй ffn(x); x 2 A : n ¸ 1g на поточкову й рiвномiрну збiжнiсть на заданiй множинi A; якщо:

1)fn(x) = sinn x; A = [0; ¼];

2)fn(x) = xn ¡ xn+1; A = [0; 1];

3)fn(x) = xn ¡ x2n; A = [0; 1]:

3.Дослiдити послiдовнiсть функцiй ffn(x); x 2 Ai : n ¸ 1g на поточкову й рiвномiрну збiжнiсть на кожнiй iз заданих множин Ai; якщо:


			xn
1)	fn(x) =			; A1 = [0; 1 ¡ "]; A2 = [1 ¡ "; 1 + "];
		1	+ xn
	A3 = [1 + "; +1); де " 2 (0; 1);
			2nx
2)	fn(x) =				; A1 = [0; 1]; A2	= (1; +1).
		1	+ n2x2

4. Дослiдити послiдовнiсть функцiй ffn(x); x 2 R : n ¸ 1g на поточко-

ву й рiвномiрну збiжнiсть на множинi A = R; якщо: q

1) fn(x) = x2 + n12 ; 2) fn(x) = sinnnx;

5. Дослiдити послiдовнiсть функцiй ffn(x); x 2 R : n ¸ 1g на поточкову й рiвномiрну збiжнiсть на заданих множинах Ai; i = 1; 2; якщо:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.20161.92 Mб527w.doc
#
19.03.2015303.1 Кб529 мая.doc
#
19.03.2015939.17 Кб122_Kinematyka.pdf
#
19.03.2015124.34 Кб202_modul.doc
#
21.08.201937.6 Кб22_New1.docx
#
19.03.2015468.78 Кб82_semestr мех мат.pdf
#
19.03.2015299.01 Кб112_Робоча навчальна програма_АБП_НОВА.doc
#
19.03.2015313.34 Кб52_Робоча навчальна програма_АТП_НОВА.doc
#
12.11.20193.25 Mб22А ЕКОЛОГІЧНА БЕЗПЕКА, ТЕКСТ, 2 видання (переро...doc
#
19.03.201572.53 Кб82Екочинники, адаптації.docx
#
26.11.2018261.63 Кб33 курс-работа.doc