zadachi_teorver
.doc
Гіпергеометричний розподіл. Дана сукупність об’єктів, серед яких об’єктів є відміченими. Обирається навмання об’єктів. Нехай - випадкова величина, яка дорівнює кількості відмічених об’єктів серед обраних. Ймовірність того, що , задається формулою
, .
Набір таких ймовірностей називається гіпергеометричним розподілом.
Позначення: .
Біноміальний розподіл. Нехай - випадкова величина, яка дорівнює кількості успіхів в серії незалежних випробувань. Якщо ймовірність успіху при одному випробуванні дорівнює (ймовірність невдачі ), ймовірність того, що має вигляд
, .
Такий набір ймовірностей має назву біноміального розподілу.
Позначення: .
Геометричний розподіл. Нехай є серія незалежних випробувань. Результатом кожного окремого випробування може бути або успіх з ймовірністю , або невдача з ймовірністю . Випробування тривають до появи першого успіху. Випадкова величина визначає кількість невдач, які відбулись в серії випробувань. Тоді ймовірність того, що , дорівнює
, .
Цей набір ймовірностей визначає геометричний розподіл.
Позначення: .
Від’ємний біноміальний розподіл. Якщо серія незалежних випробувань триває до появи - го успіху, ймовірність того, що при цьому кількість невдач буде дорівнювати (), задається виразом
, .
Набір відповідних ймовірностей має назву від’ємного біноміального розподілу.
Позначення: .
Розподіл Пуассона. Випадкова величина , яка приймає значення , розподілена за законом Пуассона з параметром , якщо
.
Позначення: .
Показниковий (експоненціальний) розподіл. Випадкова величина має показниковий розподіл, якщо
Позначення: .
Гама-розподіл. Якщо розподіл густини ймовірності випадкової величини має вигляд
кажуть, що випадкова величина розподілена за гама-законом.
Позначення: .
Бета-розподіл. Випадкова величина розподілена за бета-законом, якщо
Позначення: .
Нормальний розподіл (розподіл Гаусса). Випадкова величина розподілена нормально, якщо
.
Позначення: .
Логнормальний розподіл. Випадкова величина розподілена логнормально, якщо
Позначення: .
Розподіл (розподіл Пірсона). Випадкова величина розподілена за законом з ступенями вільності, якщо
Позначення: .
Розподіл Ст’юдента. Випадкова величина розподілена за законом Ст’юдента з ступенями вільності, якщо
.
Позначення: .
ЗАДАЧІ
7.14 Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини , якщо задана густина розподілу ймовірності випадкового вектора .
7.15 Випадкові величини та незалежні та розподілені рівномірно на відрізку . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини .
7.16 Випадкові величини та незалежні та розподілені за показниковим законом з густиною розподілу ймовірності , . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини .
7.17 Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини , якщо задана густина розподілу ймовірності випадкового вектора .
7.18 Випадкові величини та незалежні та розподілені рівномірно на відрізку . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини .
7.19 Випадкові величини та незалежні та розподілені за показниковим законом з густиною розподілу ймовірності , . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини .
7.20 Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини , якщо задана густина розподілу ймовірності випадкового вектора .
7.21 Випадкові величини та незалежні та розподілені рівномірно на відрізку . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини .
7.22 Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини , якщо задана густина розподілу ймовірності випадкового вектора .
7.23 Випадкові величини та незалежні та розподілені рівномірно на відрізку . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини .
7.24 Випадкові величини та незалежні та розподілені за показниковим законом з густиною розподілу ймовірності , . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини .
7.25 Випадкові величини та незалежні та розподілені за законом та відповідно. Знайти розподіл випадкової величини .
7.26 Випадкові величини та незалежні та розподілені за законом . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини .
7.27 Випадкові величини та незалежні, причому розподілена за законом , а величина . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини .
7.28 Випадкові величини та незалежні та розподілені за законом та відповідно. Знайти розподіл випадкових величин та .
7.29 Випадковий вектор має розподіл густини ймовірності
, , .
Знайти , . Чи є незалежними випадкові величини та ?
7.30 Випадковий вектор має розподіл густини ймовірності
, , .
Визначити сталу . Чи є незалежними випадкові величини та ?
7.31 Випадкова точка рівномірно розподілена в області . Чи будуть незалежними полярні координати цієї точки? Чи будуть незалежними декартові координати ?
7.32 Випадкові величини та незалежні та мають показниковий розподіл з параметром (). Довести, що випадкові величини та є незалежними.
7.33 Випадкові величини та незалежні та розподілені за законом . Довести, що випадкові величини та також є незалежними.
7.34 Випадкові величини та незалежні та розподілені за законом та відповідно. Чи будуть незалежними випадкові величини та ?
7.35 Випадкова величина має функцію розподілу . В серії з незалежних випробувань значення випадкової величини розмістили в порядку зростання . Знайти функції розподілу випадкових величин та .
7.36 Випадкова величина розподілена за законом . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини , якщо .
7.37 Випадкова величина розподілена за законом . Знайти розподіл густини ймовірності випадкової величини , якщо .
8.1 Випадкова величина розподілена за гіпергеометричним законом. За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.2 Випадкова величина розподілена за біноміальним законом. За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.3 Випадкова величина розподілена за геометричним законом. За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.4 Випадкова величина розподілена за від’ємним біноміальним законом. За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.5 Випадкова величина розподілена за законом Пуассона. За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.6 Випадкова величина розподілена за показниковим законом. За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.7 Випадкова величина розподілена за законом . За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.8 Випадкова величина розподілена за законом . За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.9 Випадкова величина розподілена за законом . За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.10 Випадкова величина розподілена за законом . За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.11 Випадкова величина розподілена за законом Стьюдента. За означенням обчислити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.12 Площина розграфлена паралельними прямими, відстань між якими дорівнює . На площину кидають голку довжиною . Знайти математичне сподівання кількості перетинів голки з прямими.
8.13 Площина розграфлена паралельними прямими, відстань між якими дорівнює . На площину кидають випуклий??? замкнений контур довжиною , найбільший розмір якого . Знайти ймовірність перетину такого контуру з однією із прямих.
8.14 Якій умові повинні задовольняти незалежні випадкові величини та , щоб ?
8.15 Дискретна випадкова величина приймає тільки додатні значення, найбільше з яких дорівнює . Довести, що
та .
8.16 Розподіл випадкового вектора заданий за допомогою таблиці
Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.17 У випадкового вектора , , , , коефіцієнт кореляції . Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини .
8.18 Розподіл випадкового вектора заданий за допомогою таблиці