- •Определенные интегралы
- •1. Интегральные суммы
- •3. Равномерно непрерывные функции
- •4. Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •6. Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •7. Основные правила интегрирования
- •8. Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры
- •9. Объемы тел вращения
- •10. Несобственные интегралы
- •11. Интегрирование неограниченных функций
- •12. Интегрирование по бесконечному промежутку
- •13. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •14. Формула прямоугольников
- •15. Формула трапеций
Определенные интегралы
1. Интегральные суммы
Пусть функция задана на сегменте,. Обозначим символомразбиение сегментапри помощи некоторых несовпадающих друг с другом точекначастичных сегментов,,,. Точки,,,будем называть точками разбиения. Пусть- произвольная точка частичного сегмента, а- разность, которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента.
Определение. Число , где:
называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции , соответствующей разбиениюсегментаи данному выбору промежуточных точекна частичных сегментах.
Геометрический смысл интегральной суммы – площадь ступенчатой фигуры.
Введем обозначение .
Определение. Число называетсяпределом интегральных сумм при, если для любого положительногоможно указать такое число, что для любого разбиениясегмента, для которого максимальная длиначастичных сегментов меньше, независимо от выбора точек, на сегментахвыполняется неравенство
, т.е. .
Определение.: Функция называетсяинтегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный пределинтегральных сумм этой функции при. Указанный пределназываетсяопределенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:
.
Числа иназываются, соответственно,верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок – интервалом интегрирования. В случаеопределенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось, линиии, а также график функции. Обозначим черезисоответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте.
Определение: Суммы:
называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиениясегмента.
Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиениясегментазаключена между верхней и нижней суммойиэтого разбиения.
Свойства верхних и нижних сумм:
Для любого фиксированного разбиения и для любогопромежуточные точкина сегментахможно выбрать так, что интегральная суммабудет удовлетворять неравенствам. Точкина сегментахможно выбрать также и таким образом, что интегральная суммабудет удовлетворять неравенствам.
Если разбиение сегментаполучено путем добавления новых точек к точкам разбиенияэтого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенстваи.
Пусть и- любые два разбиения сегмента. Тогда если,и,- соответственно нижние и верхние суммы разбиенийи, тои.
Множество верхних сумм данной функциидля всевозможных разбиений сегментаограничено снизу. Множествонижних сумм ограничено сверху.
Обозначим через точную нижнюю грань множестваверхних сумм, а через- точную верхнюю грань множества нижних сумм.
Определение: Числа иназываются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции.
Пусть разбиение сегментаполучено из разбиениядобавлением к последнемуновых точек, и пусть, если,и,- соответственно нижние и верхние суммы разбиенийи. Тогда для разностейиможет быть получена оценка, зависящая от максимальной длинычастичных сегментов разбиения, числадобавленных точек и точных верхней и нижней гранейифункциина сегменте. Именнои.
Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу иот функциипо сегментуявляются соответственно пределами верхних и нижних сумм прии, следовательно,:
, , и при этом.
2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функциябыла интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любогонашлось такое разбиениесегмента, для которого.
Определение: Число называется колебанием функциина сегменте.
Так как , то. Далее запишемв следующей форме:
.
Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функциябыла интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любогонашлось такое разбиениесегмента, для которого.
Другими словами, необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является выполнение условия
, или , где.