Дифференциальная геометрия_3_курс_вопросы
.docВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ.
-
Вектор-функция одного скалярного аргумента и ее предел. Критерий существования предела (теорема 1).
-
Вектор-функция одного скалярного аргумента и ее предел. Правила вычисления пределов (теорема 2).
-
Производная вектор-функции одного скалярного аргумента. Критерий существования и правила вычисления производных.
-
Кривая как вектор-функция одного скалярного аргумента. Гладкие, регулярные кривые. Пример окружности.
-
Вычисление длины регулярной кривой. Пример.
-
Натуральная параметризация регулярной кривой. Теорема о существовании натуральной параметризации. Пример.
-
Натуральная параметризация регулярной кривой. Теоремы о натуральной параметризации (теоремы 3 и 4).
-
Сопровождающий базис Френе. Формулы Френе (без доказательства).
-
Вспомогательные леммы для вывода формул Френе и их доказательство.
-
Вывод формул Френе.
-
Нахождение базиса Френе, кривизны и кручения в произвольной параметризации. Доказательство предложения о первой и второй производных вектор-функции и соприкасающейся плоскости.
-
Локальное поведение кривой в пространстве.
-
Геометрический смысл кривизны и кручения. Теорема Серре.
-
Поверхность как вектор-функция двух скалярных аргументов. Гладкие и регулярные поверхности. Координаты точки на поверхности.
-
Кривая на поверхности, координатные кривые. Координатная сетка. Геометрический смысл частных производных вектор-функции.
-
Поверхности вращения. Регулярность поверхности вращения. Координатные кривые на поверхности вращения.
-
Линейчатые поверхности. Поверхность касательных, цилиндрические и конические поверхности. Регулярность поверхности касательных.
-
Внутренняя геометрия поверхности.
-
Длина кривой на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности.
-
Первая квадратичная форма и внутренняя геометрия регулярной поверхности. Критерий изгибаемости поверхности на поверхность.
-
Касательная плоскость, вектор нормали и нормаль поверхности. Кривизна нормального сечения. Полная кривизна поверхности.
-
Главные кривизны поверхности. Теорема Эйлера. Примеры поверхностей с нулевой, положительной и отрицательной кривизной.
-
Формула для вычисления полной кривизны поверхности. Теорема Гаусса. Инвариантность полной кривизны при изгибаниях поверхности.
-
Геодезическая на поверхности. Два определения геодезической.
-
Свойства геодезической. Геодезические на сфере и цилиндре.
-
Геодезические треугольники. Теорема Гаусса-Бонне. Примеры развертывающихся поверхностей, сферы, псевдосферы.
-
Геодезические на поверхностях вращения. Теорема Клеро. Геодезические на эллипсоиде вращения.
-
Понятие о римановой геометрии.