Lab_1_2

1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. ИЗУЧЕНИЕ СПОСОБОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ В ЭВМ

1.1 Цель и задачи лабораторной работы

Цель: изучение способов представления числовых, текстовых данных, основных

арифметических и логических операций над ними.

Задачи:

исследование представления в ЭВМ целых чисел;

исследование представления в ЭВМ вещественных чисел с плавающей запятой;

анализ стандарта IEEE 754 для организации хранения вещественных чисел

сплавающей запятой;

исследование особенностей операций над числами с плавающей запятой;

анализ представления текстовых данных

1.2Краткие теоретические сведения

1.2.1 Порядок байт при хранении многобайтного представления числа

M может быть использовано многобайтное в этом случае будет представлено в виде ряда в

MAi·256i A0·2560 A1·2561 A2·2562 An·256n

i0

Коэффициенты представляют собой последовательность байтов,

образующих исходное число M . Коэффициент A0 называется младшим байтом, а An –

старшим байтом числа M.

По порядку записи байтов многозначного числа выделяют следующие варианты:

1. Порядок от старшего к младшему (big-endian)

Запись многобайтного числа начинается со старшего и заканчивается младшим байтом:

An, , A0

Порядок используется:

в стеке протокола TCP/IP (сетевым порядком байтов); 1

в процессорах IBM, Motorola, SPARC.

во многих форматах файлов (PNG).

2.Порядок от младшего к старшему (little-endian)

Запись многобайтного числа начинается с младшего и заканчивается старшим байтом:

A0, , An

Порядок используется:

при организации памяти x86-процессоров;

в протоколах и форматах USB, конфигурациях PCI.

Преимущества:

возможность «неявной типизации» целых чисел при чтении меньшего объёма байт.

3. Переключаемый порядок

Многие процессоры могут работать и в порядке от младшего к старшему, и в обратном, например, ARM, PowerPC.

4. Смешанный порядок

Иногда используется при работе с числами, длина которых превышает машинное слово (представление 4-байтных целых чисел на 16-битных процессорах семейства PDP-11).

Доступ к 4-байтному числу в оперативной памяти может производиться как к 32-

разрядному слову, так и побайтно.

Если исходное число представлено в шестнадцатеричной записи, то: 0xA1B2C3D416 = D4*0x01 + C3*0x100 + B2*0x10000 + A1*0x1000000

Хранение вещественных чисел с плавающей запятой при использовании используются формата IEEE 754 со знаком и порядком числа в старших байтах также зависит от порядка байт.

В языке С/С++ возможно использование переменных, содержащих в разные моменты времени объекты различных типов и размеров. Данный механизм обеспечивается использованием объединений (union). Фактически, объединение представляет собой структуру, все элементы которой имеют нулевое смещение относительно ее начального адреса. Размер структуры позволяет разместить в ней самый большой элемент с соответствующим механизмом выравнивания. Для прямого доступа к полям внутри слова может быть использовано битовое поле – набор соседних бит внутри слова.

Объединения позволяют определить порядок байт при хранении многобайтного целого числа. Пример программного кода на языке С/С++, который позволяет осуществить подобную проверку, приведен ниже:

//Представление двухбайтного беззнакового целого в виде числа и массива байт.

//integerValue = 1 = 0x0001

//Если порядок от младшего к старшему (little-endian), то будет:

//[00000001] [00000000] = [0x01] [0x00]

//Елси порядок от старшего к младшему (big-endian), то будет:

//[00000000] [00000001] = [0x00] [0x01]

union ByteOrder {

unsigned char bytesArray[2];

unsigned short integerValue;

};

//Представление двухбайтного беззнакового целого в виде числа и массива байт.

//integerValue = 1 = 0x0001

//Если порядок от младшего к старшему (little-endian), то будет:

//[00000001] [00000000] = [0x01] [0x00]

//Елси порядок от старшего к младшему (big-endian), то будет:

//[00000000] [00000001] = [0x00] [0x01]

union ByteOrder {

unsigned char bytesArray[2]; unsigned short integerValue;

);

1.2.4 Представление вещественных чисел в формате с плавающей запятой

Десятичное число 155,625 в нормализованном экспоненциальном виде:

нормализованным. Экспонента представлена основанием системы исчисления – 10 – и

порядком – 2. Порядок экспоненты может иметь отрицательное значение, например число:

0,0155625·10 2 1,55625·10 2

Десятичное число 155,625 в денормализованном экспоненциальном виде:

0,155625·103 0,155625·103

Если мантисса находится в диапазоне 0,1 M 1, то число считается денормализованным.

Для представления всех вещественных чисел кроме нуля используется нормализованная форма, когда нулевой разряд мантиссы M0 равен 1. При таком представлении нулевой разряд опускается, и хранятся только разряды M1 ... Mn. Таким образом, мантисса M удовлетворяет неравенству 1 <= M < 2.

Машинное представление вещественных чисел содержит конечное число элементов. Только некоторые вещественные числа могут быть точно представлены описанным выше способом. Такие вещественные числа называются точно представимыми или просто представимыми в используемой машинной арифметике.

Даже простые на вид рациональные числа, такие как 0.1, оказываются непредставимыми. Непредставимое число заменяется ближайшим представимым числом.

Преобразование десятичного числа в двоичное число с плавающей запятой.

Необходимо представить десятичное число с плавающей запятой в виде

двоичного числа с плавающей запятой в экспоненциальном нормализованном виде.

Осуществим разложение числа 155,62510 в двоичный степенной ряд:

155,625 1·27 0·26 0·25 1·24 1·23 0·22 1·21 1·20 1·2 1 0·2 2 1·2 3

155,625 128 0 0 16 8 0 2 1 0,5 0 0,125

155,62510 10011011,1012

Полученное число необходимо привести к нормализованному виду:

1,55625·102 1,0011011101·2111

Внимание следует обратить на показатель степени основания системы счисления

– он также представлен в двоичном виде.

Ассоциацией IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) разработан стандарт IEEE 754, который используется для представления чисел с плавающей запятой в двоичном коде в архитектуре микропроцессоров x86.

Преобразование двоичного нормализованного числа в 32 битный формат

IEEE 754.

Алгоритм преобразования в 32 битный формат IEEE 754:

1.Отводится 1 самый старший бит в 32 битной последовательности для обозначения знака числа:

0-положительное

1-отрицательное

2.Используется понятие смещенной экспоненты, что позволяет не выделять отдельный бит для хранения знака. Исходный диапазон возможных значений экспоненты сдвигается из диапазона [-127; 128] в диапазон [0; 255] путем прибавления

кзначению экспоненты смещения, равного 127. Для хранения смещенной экспоненты предназначен следующий байт (8 бит). Для определения знака экспоненты добавляют смещение к экспоненте в половину байта +127(0111 1111).

Если экспонента равна 710 = 1112, то смещенная экспонента равна 7 + 127 = 13410.

Если экспонента равна -7 , то смещенная экспонента равна 127 - 7 = 12010.

При обратном преобразовании смещенной экспоненты в экспоненту двоичного нормализованного числа необходимо вычесть из данного байта значение 127.

3. Последние 23 бита предназначены для хранения мантиссы числа. Так как в нормализованной двоичной записи первый бит мантиссы равен 1, то в 23 бита записывается остаток от мантиссы.

Десятичное число 155,625 в 32-х битном формате IEEE754 представляется следующим образом:

Преобразования числа формата 32 бит IEEE 754 в десятичное число

Чтобы восстановить число, необходимо иметь три параметра:

S - бит знака (31-й бит)

E - смещенная экспонента (30-23 биты)

M - остаток от мантиссы (22-0 биты)

Каждый параметр представляет собой целое в двоичном виде.

Рисунок 1. Представление вещественного числа в формате с плавающей запятой

Для получения десятичного числа из числа IEEE754 одинарной точности необходимо:

где F - десятичное число

Восстановим число 1,55625·102 1,0011011101·2111 :

мантиссы в десятичном виде находим отношением двух целых чисел – остатка мантиссы к целому.

В IEEE754 число «0» представляется значением с порядком, равным E = -127 и

нулевой мантиссой.

Также в IEEE754 предусмотрено представление для специальных чисел, работа с которыми вызывает исключение. К таким числам относится бесконечность (±∞) и

неопределенность (NaN).

Неопределенность или NaN (от not a number) – это представление, придуманное для того чтобы арифметическая операция могла всегда вернуть осмысленное значение.

NaN можно получить: ∞+(- ∞)

0 × ∞ 0/0, ∞/∞

sqrt(x), где x<0

По определению NaN ≠ NaN, поэтому, для проверки значения переменной необходимо сравнить ее саму с собой.

Представление специальных чисел в стандарте IEEE754

1. число IEEE754=00 00 00 00hex считается числом +0

число IEEE754=80 00 00 00hex считается числом -0

2. число IEEE754=7F 80 00 00hex считается числом +∞

число IEEE754=FF 80 00 00hex считается числом -∞

При сравнении +0=-0. Если бы у нуля не было знака, выражение 1/(1/x)=x не выполнялось бы верно при x=±∞, так как 1/∞ и 1/-∞ равны 0.

Пример:

(+∞/0) + ∞ = +∞, тогда как (+∞/-0) +∞ = NaN

Если в арифметическом выражении появился NaN, результатом всего выражения всегда будет NaN. Если же в выражении встретилась бесконечность, то результатом может быть ноль, бесконечность или обычное число с плавающей запятой. Например, 1/∞=0.

1.2.5 Особенности использования чисел с плавающей запятой

Величина относительной ошибки в языке С/С++ имеет размерность для типа данных float 10-6 , для double 10-14

Величины абсолютных ошибок могут быть достигать для float величины 1031 и

для double 10292:

float a, b, f;

a=123456789;

b=123456788;

f=a-b;

printf("Result: %f\n", f);

Result: 8.000000 (Ответ должен быть 1.000000)

Абсолютная ошибка равна +7.

123456789 в float = 4CEB79A316 = 12345679210 абсолютная ошибка представления равна +3.

123456788 в float = 4CEB79A216=12345678410 абсолютная ошибка представления равна -4.

Относительная погрешность исходных чисел приблизительно равна 3,24e-6%. В

результате одной операции относительная погрешность результата увеличилась в

2,5e+8 раз.

Во-первых, работать с вещественными числами с плавающей запятой можно только в узком диапазоне числовой оси, где мантиссы пересекаются.

Во-вторых, для каждого исходного вещественного числа с плавающей запятой

существует предел выполнения цикла.

Если существует цикл, в котором исходное число прибавляется к сумме, то существует численный предел суммы для этого числа. То есть, сумма, достигнув определённой величины, перестает увеличиваться от сложения её с исходным числом.

Пусть имеется фармацевтический цех, производящий таблетки весом 10мг.

Состоящий из:

формовочной машины,

накопительного бункера на 500 кг,

фасовочной машины,

автоматической системы управления.

Формовочная машина подает в бункер по 10 таблеток одновременно.

Фасовочная машина забирает по одной таблетке.

Автоматическая система управления учитывает таблетки, поступившие в бункер от формовочной машины и взятые из бункера фасовочной машиной, а также показывает заполнения бункера продукцией в кг. Когда в бункере будет более 500 кг продукции, формовочная машина встает на паузу до тех пор, пока в бункере не станет

200 кг продукции. Фасовочная машина остановится, если в бункере будет менее 10 кг и запустится, когда в бункере будет более 100 кг продукции.

Обе машины могут периодически останавливаться для обслуживания не зависимо друг от другу (благодаря бункеру).