Учебник по теориии вероятности
.pdf/(jc) = 0,l е-**-'* в интервале (О, оо); вне этого интервала
У к а з а н и е . Для определенности |
принять случайные |
числа: |
||||
0,80; |
0,33; |
0,69; |
0,45; |
0,98. |
|
|
689. |
Найти явную формулу для разыгрывания непре |
|||||
рывной |
случайной |
величины X, |
распределенной |
по за |
кону Вейбулла, заданного плотностью вероятности/(х) = = (п/А:о)А:''-^е-^''/^« при л:>0; f{x) = 0 при х<0.
699. Найти явную формулу для разыгрывания не прерывной случайной величины X, распределенной по закону Релея, заданного плотностью вероятности f(x) =
=XA:/a^)e-^V2a« при л:>0; f{x) = 0 при л: < 0.
700.Найти явную формулу для разыгрывания непре рывной случайной величины X, заданной плотностью
вероятности /(jc) = ^[l—(Kx)l2] в |
интервале (0;2/А,); вне |
||||||
этого интервала f{x) = 0. |
|
|
|||||
701. |
Разыграть четыре возможных значения непрерыв |
||||||
ной случайной |
величины X, заданной плотностью веро |
||||||
ятности |
/(х)==1—х/2 |
в интервале (0; 2); |
вне этого ин |
||||
тервала |
f(x) = |
0. |
|
|
|
||
У к а з а н и е . |
Для |
определенности |
принять |
случайные числа: |
|||
0,35; |
0,96; |
0,31; |
0,53. |
|
|
|
702.Найти явную формулу для разыгрывания непре рывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности /(л:) = (V2)sinjc в интервале (О, я); вне этого интервала /(х) = 0.
703.Найти явную формулу для разыгрывания не прерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности /(лг) = се-^*/(1—е-^^) в интервале (0,6); вне этого интервала / (х) = 0.
704.Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения F(x)=l — (7з)(2е"'2*+ +е~зх)(о<л:<оо).
Р е ш е н и е . В соответствии с правилом 3 иредставим заданную функцию в виде
/^W = (V3)(l-e-3^) + (V3)(l~e-2^).
Функции, заключенные в, скобках, являются функциями распределе ния показательного закона, поэтому можно принять: Fi (х) = I —е"*^-^.
Введем в рассмотрение вспомогательную дискретную случайную величину Z с законом распределения
Z 1 2 р 1/3 2/3
300
Выберем |
независимые случайные |
числа |
г^ и ГгРазыграем Z |
|
по случайному числу /-j, для чего по |
правилу § 1 построим частич |
|||
ные интервалы Aj—(О, ^/з) и Ag—(Va» |
О- |
Если Гх < 7з» то Z = l ; |
||
если /"li^Vs» |
то Z = 2. |
|
решая относительно х |
|
Итак, возможное значение X находят, |
||||
уразнение |
1_е-ЗА: = ;.2^ если |
Гх < |
Vs. |
|
или |
||||
1—е""^^ = Г2, если /'i ^ |
Vo» |
|||
|
Решив эти уравнения, получим:
д:=[ —1п(1—Г2)]/3, если r-i < 1/3; дг=[—.jn(l—/'2)]/2, если Г1^1/3.
Приняв во внимание, что случайные величины /? и I —/? в ин тервале (О, 1) распределены одинаково, окончательно имеем более
простые формулы: |
если |
Гх < 1/3, |
д^ = ( — 1пг2)/3, |
||
х={ — \пг2)/2, |
если |
/-1:^1/3. |
705. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, задай-
ной |
функцией |
распределения F (х) = |
1 —0,25 (е""*^ + |
|||
+ 3е - ^)(0<л:<оо) . |
|
|
|
|
||
У к а з а н и е . |
Принять Fi (л:)== 1 — е-^-^, |
/^2 (^) = 1 —-е-^. |
||||
706. Найти |
методом |
суперпозиции |
явные |
формулы |
||
для разыгрывания непрерывной случайной величины X, |
||||||
заданной функцией распределения F (х) = |
1 — (Vs) (2е~'*+ |
|||||
+ 3е-*^)(0<л:< сх>). |
|
|
|
|
||
У к а з а н и е . |
Принять Fi(x)=l—е-^^, |
р2(х) = 1 — е^^^. |
||||
707. Найти |
методом |
суперпозиции |
явные |
формулы |
||
для разыгрывания непрерывной случайной величины X, |
||||||
заданной функцией распределения F{x)=\—(V?) |
(^"""^ + |
|||||
+ 2е-^^ + 4е-8^) (О < л: < |
со). |
|
|
|
||
У к а з а н и е . |
Принять |
fi(x)=l—е--^, |
|
^2(А:) = 1—е""^-^, |
||
F^ (А:) = |
1 —е-зх. |
|
|
|
|
|
708. а) Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X,
заданной плотностью вероятности |
/ (х) = (4/27) f 1 + (х— I )^J |
||||
в интервале (О, 3); вне этого интервала f{x) = 0. |
требует |
||||
б) Показать, |
что |
метод обратных функций |
|||
решения |
уравнения |
четвертой |
степени (х^—1)* + 4л:/ — |
||
- ( 2 7 г , + |
1)==0. |
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Принять /i(x) = V9» /2 W = (^/9)(-^—О'*» |
^ t ^ V s , |
|||
С2 = 2/з. |
|
|
|
|
|
301
709. а) Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f {х) = (5/12)[1+{х—1)*] в интервале (О, 2); вне этого интервала f{x) = 0.
б) Показать, что метод обратных функций требует решения уравнения пятой степени {х^—1)^4-5х/ — (12г;—
— 1) = 0.
У к а з а н и е . Принять /,(JC) = V2. f2(x)=(V2)(x—l)\ |
Ci = Ve, |
C2-Ve. |
|
§ 4. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины
Требуется приближенно разыграть нормальную случайную ве личину.
Правило. Для того чтобы приближенно разыграть возможное значение х/ нормальной случайной величины X с параметрами а = 0
и 0 = 1 , надо сложить 12 |
независимых случайных |
чисел и из полу* |
||
ценной суммы вычесть 6: |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = | |
|
|
З а м е ч а н и е . |
Если |
требуется |
приближенно |
разыграть нор- |
мальную случайную |
величину Z с |
математическим ожиданием а и |
средним квадратическим отклонением а, то, разыграв возможное значение Х( по приведенному выше правилу, находят искомое воз можное значение по формуле
710. Разыграть четыре возможных значения нормаль ной случайной величины с параметрами: а) а = 0, а = 1 ; б) а = 2, а = 3.
Р е ш е н и е , а) В соответствии с правилом разыграем возмож ное значение дг] нормальной случайной величины X с параметрами а = 0 и а = 1 по формуле
12
/=i
Выберем из второй строки таблицы приложения 9 первых 12 слу чайных чисел: 0,37; 0,54; 0,20; 0,48; 0,05; 0,64; 0,89; 0,47; 0,42; 0,96; 0,24; 0,80. Сложив эти числа, получим 5i=6,06. Искомое возможное значение JCI=5I — 6=6,06 — 6=0,06 .
Аналогично, выбрав из третьей, четвертой и пятой строк таб лицы по 12 первых случайных чисел, получим: 52=4,90, 5з=4,48, 54=6,83. Следовательно, JC2=4.90—6=—1,10; ;сз = 4,48—6=—1,52; Ж4 =6.83—6=0,83.
б) Найдем возможные значения нормальной случайной величины Z с параметрами а = 2 , а = 3 по формуле z/=0X/-f-a. Подставив воз можные значениях{=0,06, а = 2 . а = 3 . получим ei=3 - 0,06+2=2 . 18 .
302
Аналогично найдем остальные возможные значения: 22=*—1,3, Z8 = — 2,56, 24=4.49.
711. Разыграть пять возможных значений нормаль ной случайной величины с параметрами: а)а = 0, а = 1 ; б) а= 10, а = 2.
У к а з а н и е . Для определенности выбрать по 12 первых дву значных чисел последних пяти строк таблицы приложения 9 и ум ножить каждое двузначное число на 0,01.
712. Разыграть пять возможных значений нормаль ной случайной величины с параметрами: а) а = 0, а==1; б) а = 4, 0 = 0,1.
У к а з а н и е . Для определенности выбрать по 12 первых трех значных чисел из первых пяти строк таблицы приложения 9 и умно жить каждое трехзначное число на 0,001.
713. Разыграть 50 возможных значений нормальной случайной величины X с параметрами а = 0 , а = 1 и оце нить параметры разыгранной величины.
У к а з а н и е . |
Для |
определенности при разыгрывании возмож |
ного значения Х{ |
выбрать первые 12 двузначных чисел i-Pi строки |
|
таблицы приложения 9 |
и умножить каждое двузначное число на 0,01. |
§5. Разыгрывание двумерной случайной величины
А.Дискретная двумерная случайная величина. Разыгрывание дис кретной двумерной случайной величины (X, К) сводится к разыг рыванию ее составляющих—одномерных дискретных случайных вели чин X и Y.
Пусть задан закон распределения двумерной случайной вели
чины (X, У). Если |
составляющие X |
и Y н е з а в и с и м ы , |
то |
нахо |
дят законы их распределения и по ним разыгрывают X иУ |
по |
пра |
||
вилу § 1. |
|
то находят закон распределе |
||
Если составляющие з а в и с и м ы , |
||||
ния одной из них, условные законы |
распределения другой и по ним |
|||
разыгрывают Л и К |
по правилу § 1. |
|
|
|
714. Дискретная двумерная случайная величина (X, У), составляющие которой независимы, задана законом распределения:
|
|
X |
|
Y |
Xt |
Xt |
Хг |
|
|||
Ух |
0,18 |
0.30 |
0,12 |
У2 |
0,12 |
0,20 |
0,08 |
Разыграть случайную величину (X, Y).
303
Р е ш е н и е . Найдем закон распределения составляющей X:
Pi = P ( X = X i ) = 0 , 1 8 + 0 , l 2 = 0 , 3 0 . р,==:Р (Х=Жа)= 0,30+0,20 =0,50, Рз=::Р(Х=Хз)=0,12 + 0.08=0.20.
Таким образом, искомый закон распределения имеет вид
X Xi х% Ж)
р0,30 0,50 0,20
Аналогично найдем закон распределения К:
УУх У%
р0,60 0,40
0>ставляющие X и У разыгрывают по правилу § I.
715, Разыграть пять пар возможных значений дву мерной случайной величины (X, К), составляющие кото рой независимы, зная закон ее распределения:
|
|
X |
|
Y |
Xt |
Xt |
1 ^ |
|
|||
У\ |
0,20 |
0,08 |
0,12 |
У2 |
0,30 |
0,12 |
0,18 |
У к а з а н и е . Для определенности принять при разыгрывании X случайные числа: 0,98; 0,52; 0,01; 0,77; 0,67, а при разыгрывании К—числа 0,11; 0,80; 0,50; 0,54; 0,31.
716. |
Дискретная |
двумерная |
случайная |
величина |
|||||
(X, V) задана |
законом распределения: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
*| |
Xt |
<s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ух |
0,10 |
0,30 |
0.20 |
|
|
|
|
|
|
Уг |
0,06 |
0,18 |
0,16 |
|
|
|
Разыграть пять пар возможных значений (X, Y). |
|
||||||||
У к а з а н и е . |
Найти |
закон |
распределения составляющей |
X |
|||||
и разыграть ее. Найти условные законы распределения |
р (yj \ Х{) |
а |
|||||||
Р(^/. У/) |
|
|
|
|
определенности |
||||
= — |
> |
>— составляющей У и разыграть ее. Для |
|||||||
Р |
\*i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
принять случайные числа, приведенные в задаче 715. |
Разыгрывание |
||||||||
Б. Непрерывная двумерная случайная |
величину. |
||||||||
непрерывной двумерной случайной |
величины (X, У) |
сводится к ра |
зыгрыванию ее составляющих—одномерных случайных величин X и К.
304
Пусть задан закон распределения двумерной случайной вели чины (X, У). Если составляющие X и К н е з а в и с и м ы , то нахо дят законы их распределения и по ним разыгрывают X и Y по пра вилам § 3.
Если составляющие X иУ |
з а в и с и м ы , |
то находят закон рас |
|
пределения одной |
из них, условный закон |
распределения другой |
|
и по ним разыгрывают X и У по правилам § 3. |
|||
З а м е ч а н и е . |
Составляющие X и У независимы, если ЕЫПОЛ- |
||
няется любое из условий: |
распределения |
равна произведению |
|
1. Плотность совместного |
|||
плот1юстей составляющих. |
|
|
2.Функция совместного распределения равна произведению функций распределения составляющих.
3.Условные плотности распределения составляющих равны их безусловным плотностям.
4.Плотность совместного распределения равна произведению
двух функций, одна |
из которых зависит только от jc, а другая — |
только от у (задача |
437). |
717. Найтр! явные формулы для разыгрывания непре рывной двумерной случайной величины (X, Y), заданной плотностью вероятности / (х, у) = (V^) ху* в области, огра
ниченной прямыми х = 0, |
у = 0, |
х=1, у = 2. |
|
Р е ш е н и е . Составляющие X и У |
независимы, так |
как совме |
|
стную плотность вероятности |
/(дг, у)=(3/4)ху* можно |
представить |
в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от JC, а другая только от у.
Найдем плотность распределения составляющей X:
2 |
2 |
/i W = I fix. |
у) dy = (V4)* J y^dy^2x. |
0 |
0 |
Итак, /, (дг)=2дг (0 < дг < I). Разыграем X по правилу 2 (§ 3):
2 [х dx^ri.
Отсюда получим явную формулу для вычисления возмч)жных значе ний X:
Xi^ Y7T.
Найдем плотность распределения составляющей К:
1 |
1 |
|
/f (У) = S / (^. У) dx - (V4) у^\х^х^ |
(з/в) у\ |
|
о |
о |
|
Итак, /t(у) = ( 3 / 8 ) у ^ ф < у < |
2). |
|
Разыграем У по правилу |
2 (§ 3): |
|
(Ve) \ У^^У^П.
305
Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных вначений у:
718. Найти явные формулы для разыгрывания дву мерной непрерывной случайной величины (X, К), задан
ной плотностью |
вероятности |
f {х, у)^4ху |
в области, |
|
ограниченной |
прямыми х = 0, |
у = 0, х = 1 , | / = 1 . |
||
719. Найти явные формулы для разыгрывания непре |
||||
рывной двумерной случайной величины (X, Y), если |
||||
составляющая |
X задана плотностью вероятности /^ (х) = |
|||
= х/2 в интервале |
(0; 2); составляющая |
Y равномерно |
распределена в интервале'(Х;,Х/+3) с плотностью/,(у)= 1/3,
где дс/—разыгранное |
возможное значение |
|
X. |
|||
. Р е ш е н и е . |
Разыграем |
составляющую Л по |
правилу 2 (§ 3): |
|||
|
|
[ |
(х/2) |
dx^n. |
|
|
Отсюда получим явную формулу для вычисления |
возможных зна |
|||||
чений X: |
|
|
Xi^2\rri. |
|
С) |
|
|
|
|
|
|||
Найдем условную функцию |
распределения |
составляющей К, |
||||
учитывая, что ве^шчина |
Y |
распределена равномерно в интервале |
||||
(Xi. х/+3). |
|
1 (§ 3): (у/—Х{)1^=^г\, |
где г\—случайное |
|||
Используем |
правило |
|||||
число. |
|
|
|
|
|
|
Рент в это уравнение относительно ^/, получим явную формулу |
||||||
для вычисления |
возможных |
значений у: |
|
|
yi:=3/i+Xi,
где JC/ находят по формуле (•).
720.Найти явные формулы для разыгрывания непре рывной двумерной случайной величины (X, К), если со ставляющая X задана плотностью вероятности /^ (х)=(2х)/9
винтервале (О, 3); составляющая Y равномерно распре делена в интервале (х^ —2, Х/ + 2) с плотностью /, (у) = 1/4, где Xf—разыгранное возможное значение X.
721.Найти явные формулы для разыгрывания непре рывной двумерной случайной величины (X, К), заданной плотностью вероятности /(;с, у) = 6у в области, ограни ченной прямыми у = 0, у — х, х = 1 .
Решение . Найдем |
плотность вероятности составляющей X: |
X |
X |
/i(*) = $/(*. у) dy=65ydy=3*MO<«<l).
306
Разыграем X по правилу 2 (§ 3):
'/
3 Cx2d;c = r/.
о
Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных значений X:
ж/=И^г/. (•)
Найдем условную плотность вероятности составляющей К: * (I/ U) = / {X. y)lh {X) = фу)1(гх^) = (2у)1х\
Разыграем Y по правилу 2 (§ 3):
{2lx^)^y6y^rl
о
Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных зна чений Yi
yt^XiV^i.
где X/ находят по формуле («).
722. Найти явные формулы для разыгрывания непре рывной двумерной случайной величины (X, К), заданной
плотностью вероятности |
/(х, |
у) = 3у в области, ограни |
|||
ченной прямыми х = 0, |
у = х, |
у=1. |
|
||
Указание . |
Найти |
сначала |
плотность вероятности состав |
||
ляющей К и разыграть К; найти условную плотность распределения |
|||||
составляющей Х- и разыграть X. |
|
|
|||
723. Найти |
явные формулы для разыгрывания непре |
||||
рывной двумерной случайной величины (X, К), |
заданной |
||||
плотностью вероятности |
f(x^ |
у) = 4х в области, |
ограни |
||
ченной линиями i/ = xS |
y = Ot |
x=l. |
|
§ 6. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло
724. Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Система отказывает при отказе хотя бы одного блока. Первый блок содержит два элемента: Л, В (они соединены параллельно) и отказывает при одновременном отказе обоих элементов. Второй блок со держит один элемент С и отказывает при отказе этого элемента, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* на дежности (вероятности безотказной работы) системы, зная вероятности безотказной работы элементов: Р(Л) = 0,8,
307
Р (В) = 0,85, Р(С) = 0,6; б) найти абсолютную погреш ность \Р — Р*|, где Р — надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 50 испытаний.
Р е ш е н и е , а) Выберем из таблицы приложения 9 три случай ных числа: 0,10, 0,09 и 0,73; по правилу *> (если случайное число меньше вероятности события, то событие наступило; если случайное число больше или равно вероятности события, то событие не насту пило) разыграем события А, В, С, состоящие в безотказной работе соответственно элементов >!, В, С. Результаты испытания будем записывать в расчетную табл. 57.
Поскольку Р(Л)=0,8 |
и 0,10 < 0,8, то |
событие |
А наступило, |
||||||||
т. е. элемент А в |
этом |
испытании работает безотказно. |
Так как |
||||||||
Р (В) =50,85 и 0,09 < 0,85, |
то событие |
В наступило, |
т. е. элемент В |
||||||||
работает безотказно. |
|
|
первого блока |
работают; следова |
|||||||
Таким образом, |
оба элемента |
||||||||||
тельно, |
работает и сам |
первый |
блок. |
В соответствующих |
клетках |
||||||
табл. 57 ставим знак плюс. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
57 |
|
|
Блок |
Случайные числа, ыо- |
|
Заключение о работе |
|
||||||
Номер |
делирующие элементы |
элементов |
блоков |
|
|
||||||
ИСПЫТАНИЯ |
|
А |
|
в |
С |
А |
В |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Первый |
0,10 |
|
0,09 |
0,73 |
+ |
+ |
|
+ |
—- |
|
|
Второй |
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
Первый |
0,25 |
|
0,33 |
0,76 |
+ |
+ |
— |
+ |
— |
|
|
! Второй |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
Перный |
0,52 |
|
0,01 |
|
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
|
Второй |
|
|
|
0,35 |
|
|
+ |
|
||
4 |
Первый |
0,86 |
|
0,34 |
0,67 |
— |
+ |
—- |
+ |
— |
|
|
Второй |
|
|
|
|
||||||
Так |
как Я (С) =0,6 |
и |
0,73 > 0,6, |
то событие С не наступило, |
|||||||
т. е. элемент С получает |
|
отказ; |
другими словами, второй |
блок, |
а |
||||||
значит и вся система, получают |
отказ. В соответствующих |
клетках |
табл. 57 ставим знак минус.
Аналогично разыгрываются и остальные испытания. В табл. 57 приведены результаты четырех испытаний.
Произведя 50 испытаний, получим, что в 28 из них система работала безотказно. В качестве оценки искомой надежности Р при* мем относительную частоту Р* = 28/50 =0,56.
308
б) Найдем надежность системы Р аналитически. Вероятности безотказной работы первого и второго блоков соответственно равны:
Pi = l — Р(Л)Я(Б) = 1—0,2.0,15==0.97, P2=-P{C) = 0fi. Вероятность безотказной работы системы
P = P i . P 2 = 0,97 0,6=0,582.
Искомая |
абсолютная |
погрешность |
\Р — Я* | =0,582—0,56 = 0,022. |
||
725. |
Система |
состоит |
из |
двух блоков, соединенных |
|
последовательно. Первый |
блок содержит |
три элемента: |
|||
А, В, С, а второй — два |
элемента: D, Е. |
Элементы каж |
дого блока соединены параллельно, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* надежности системы, зная вероят
ности безотказной |
работы |
элементов: Р(Л) = 0,8, |
||||
Р(5) = 0,9, |
Р (С) = 0,85, P(D) = 0,7, Р(£') = 0,6; б) найти |
|||||
абсолютную |
погрешность |
\Р—Р*|, |
где Р — надежность |
|||
системы, вычисленная |
аналитически. Произвести |
20 ис |
||||
пытаний. |
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . Для определенности |
брать случайные |
числа из |
||||
таблицы приложения 9, начиная с шестой строки сверху. |
|
|||||
726. Система состоит из трех блоков, соединенных |
||||||
последовательно. Первый |
блок |
содержит два элемента: |
||||
Л, В, второй—три элемента: С, D, Е, третий—один |
||||||
элемент F. Элементы первого и второго блоков соединены |
параллельно, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* надежности системы, зная вероятности безотказной работы элементов: Я (Л) = 0,8; Р (В) = 0,9; Р (С) = 0,7; Р (D)=0,75;
Р(£) = 0,8; |
P ( f ) = 0,6; |
б) найти |
абсолютную погрешность \Р — Я*|, где Р — |
надежность системы, вычисленная аналитически. Произ вести 30 испытаний.
У к а з а н и е . Для определенности брать случайные числа из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху.
727. Устройство состоит из двух узлов, соединенных последовательно. Первый узел содержит два элемента: Л, В, которые соединены параллельно. Второй узел со держит один элемент С. Время безотказной работы эле ментов распределено по показательному закону с пара метрами, соответственно равными 0,04; 0,05; 0,10. Найти методом Монте-Карло: а) оценку Р* вероятности безот казной работы устройства за время длительностью 10 ч; б) среднее время безотказной работы устройства. Произ вести 50 испытаний.
309