Вопросы и задачи по курсу МСС, 2012

Вопросы и задачи для экзамена по курсу

«ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД»

Вопросы и задачи для экзамена по курсу

«ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД»

1. Даны три вектора малой длины а, направленные вдоль координатных осей. Найти изменения их длин, углов между ними и объема построен­ного на них кубика в результате малых деформаций, характеризуемых тензором .

2.Для поля смещений определить тензор деформации и тензор поворота в точке .

3.Показать, что поле смещений

описывает поворот абсолютно твёрдого тела. Найти изме­нение вектора , проведенного из точки в точку .

4.Выразить компоненты тензора деформаций в цилиндрических координатах через компоненты вектора перемещения.

5.Дано поле перемещений , , . Определить тензор деформации.

6.Тензор напряжений в некоторой точке задан так:

.

Определить вектор напряжения в этой точке на площадке с нормалью .

7.Определить главные напряжения и главные оси тензора напряжений

.

8.К основаниям цилиндра приложена постоянная растягивающая сила с поверхностной плотностью . Найти тензор деформаций.

9.Разрешить уравнения относительно тензора деформаций.

10.Упругое тело, подчиняющееся закону Гука, находится в равновесии под действием объёмных сил и поверхностных сил . Доказать, что полная энергия деформации равна половине работы внешних сил на перемещениях .

11.Вывести уравнения равновесия для двумерной (плоской) статической задачи теории упругости в полярных координатах.

12.Определить деформацию (поле смещении) длинного стержня, стоящего вертикально в однородном поле тяжести.

13.Определить деформацию цилиндра, равномерно вращающегося вокруг своей оси в отсутствие сил тяготения.

14.Найти тензор напряжений в стенках длинной цилиндрической трубы, внутри которой создано давление (давление снаружи отсутствует).

15.Определите понятия системы отсчета наблюдателя и со­путствующей системы отсчета.

16. В чем состоит точка зрения Лагранжа на изучение движе­ния деформируемых сред? Что понимается под лагранжевыми координатами?

17. В чем состоит точка зрения Эйлера на изучение движения деформируемых сред? Что понимается под эйлеровыми ко­ординатами?

18. Сформулируйте общую задачу определения движения сплошных сред. Изменяются ли во времени эйлеровы координаты движу­щейся сплошной среды?

19. Изменяются ли во времени лагранжевы координаты дви­жущейся сплошной среды?

20. Чем принципиально различаются точки зрения Эйлера и Лагранжа на изучение движения сплошных сред?

21. Определите понятие деформирования сплошной среды.

22. Каков геометрический смысл компонент тензора деформа­ций?

23. С помощью каких соотношений можно вычислить компо­ненты тензора деформаций по известному полю переме­щений?

24. Как следует понимать утверждение, что тензор деформа­ций является характеристикой деформированного состоя­ния в точке материального континуума?

25. Сформулируйте принцип определения главных направле­ний тензора деформации и главных деформаций.

26. Какую форму записи имеет тензор деформаций в декарто­вой прямоугольной системе координат, связанной с глав­ными осями тензора деформаций?

27. Задано поле перемещений , , в сопутствующей системе координат, явля­ющейся в начальный момент времени декартовой прямо­угольной системой координат. Считая деформации малы­ми, определите поле тензора деформаций.

28. Разложите тензор деформаций на шаровую и девиаторную части. Вычислите интенсив­ности исходного тензора и девиатора деформаций.

29. Матрица деформаций соответствует заданному в декартовой прямоугольной систе­ме координат тензору деформаций. Найдите компоненты тензора деформаций в декартовой прямоугольной системе координат, связанной с главными осями. Покажите расче­том, что первый и второй основные инварианты тензора деформаций в обеих системах координат совпадают.

30. С какими физическими явлениями связано появление вну­тренних сил в сплошной среде?

31. Какая физическая величина характеризует внутренние си­лы, возникающие в сплошной среде, как эта величина вво­дится в рассмотрение?

32. Каким образом вводится в рассмотрение тензор напря­жений, характеризующий напряженное состояние в точке сплошной среды?

33. Охарактеризуйте тензор напряжений (ранг, симметрич­ность или антисимметричность, физический смысл компо­нент).

34. Как определяется относительное изменение объема при деформации?

35. Тензор напряжений в точке сплошной среды задан матрицей . Определите нормальное напряжение в данной точке на площадке, ори­ентация которой задается единичным вектором нормали .

36. Тензор напряжений в точке сплошной среды задан матрицей . Определите касательное напряжение в данной точке на площадке, ори­ентация которой задается единичным вектором нормали .

37. Тензор напряжений в некоторой точке сплош­ной среды задан в декартовой прямоугольной системе координат матрицей . Определите нормальное и касательное напряжения, а также модуль вектора полного напряжения в данной точке на площадках, ориентации которых задаются нормалями и .

38. Напряженное состояние материального континуума в де­картовой прямоугольной системе координат задано тензором напряжений с матрицей . Определите вектор полного напряжения, действующего в точке с координатами на площадке, ориентация которой задается единичным вектором норма­ли .

39. Определите понятия главных площадок, главных осей тен­зора напряжений, главных напряжений.

40. Какую форму записи имеет тензор напряжений в декарто­вой прямоугольной системе координат, связанной с глав­ными осями, и почему?

41. Тензор напряжений в точке задается в декартовой прямоугольной системе координат матрицей . Определите главные напряжения.

42. Как будут выглядеть выражения основных инвариантов тензора напряжений в произвольной системе координат, в декарто­вой прямоугольной системе координат главных осей?

43. Определите понятия внешних сил — объемных и поверх­ностных. Какими физическими величинами количественно характеризуются эти внешние силы?

44. Каков физический смысл граничных условий в напряже­ниях, как записываются эти условия?

45. Назовите фундаментальные законы, которым подчиняется движение материального континуума.

46. Как называются и как записываются дифференциальные уравнения, выражающие законы сохранения массы и им­пульса к сплошной среде?

47. Как устанавливается и как выглядит взаимосвязь плот­ности и объемной деформации индивидуальной частицы сплошной среды?

48. Что понимается под уравнением состояния, какое фунда­ментальное свойство деформируемых сред оно характери­зует и каким образом получается?

49. Как выглядит характеристика механического поведения мягкой стали — ее диаграмма деформирования, какие ха­рактерные точки можно указать на диаграмме?

50. Что понимается под пределами пропорциональности, упру­гости, текучести и прочности?

51. В чем заключается и всегда ли существует различие меж­ду пределами пропорциональности и упругости?

52. Определить деформацию и напряжения в полой цилиндрической трубе с внутренним радиусом R1 и внешним R2, заполненной газом при давлении p. Давление снаружи отсутствует. Силой тяжести пренебречь.

53. Определить напряжения в сплошном цилиндре радиуса R, равномерно вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью . Силой тяжести пренебречь.

54. Определите понятие модели упругой среды.

55. Как выглядят определяющие уравнения, прямые и обрат­ные физические соотношения для модели упругой среды?

56. Запишите обобщен­ный закон Гука. К каким частным случаям он сводит­ся для напряженно-деформированных состояний одноосно­го растяжения, чистого сдвига, всестороннего равноосного сжатия?

57. Охарактеризуйте физические величины, участвующие в записи физических соотношений для модели упругой сре­ды.

58. Чему равны модуль объемного сжатия и коэффициент Пуассона для несжимаемой упругой среды?

59. Каков порядок коэффициента Пуассона для реальных твер­дых тел?

60. Какие силы называют объемными (массовыми) и какие поверхностными?

61. Каков физический смысл компонент тензора деформации?

62. Как записывается тензор напряжений при всестороннем равномерном сжатии?

63. Что устанавливает закон Гука? Каковы пределы его применимости?

64. Что характеризует след (первый инвариант) тензора деформации?

65. Перечислите уравнения, составляющие замкнутую систему уравнений движения сплошной среды.

66. Из какого фундаментального закона следует симметрия тензора напряжений?

67. Какие деформации называют упругими?

68.Что характеризуют диагональные и недиагональные компоненты тензора деформации?

69. Кубик с ребром 10 мм был испытан на сжатие. При нагрузке 63 кН он разрушился по октаэдрической плоскости, т.е. по плоскости, равнонаклоненной ко всем трем его граням. Определить нормальное, касательное и полное напряжения в этом сечении в момент разрушения.

70. Вывести уравнения равновесия для двумерной (плоской) статической задачи теории упругости в полярных координатах.

71. Сравнить жёсткости при растяжении двух балок одинаковой массы и длины, изготовленных из одного материала, но имеющих разные формы поперечного сечения: круг и прямоугольник.

72. Упругий цилиндр высотой и весом поставлен основанием на горизонтальную плоскость. Найти энергию упругой деформации.

73. Найти полную энергию упругой деформации однородного цилиндрического вала, закрученного вокруг оси на угол .

74. Найти полную энергию упругой деформации цилиндрической трубы, закрученной вокруг оси на угол .

75. Запишите закон сохранения импульса для индивидуально­го объема материального континуума в виде соответству­ющего интегродифференциального уравнения. Укажите принцип перехода к дифференциальному уравнению, выра­жающему этот закон сохранения применительно к каждой индивидуальной частице сплошной среды. Как записыва­ется это уравнение?

76. Материал, у которого механические свойства одинаковы по всем направлениям, называется ……….

77. К проволоке был подвешен груз. Затем проволоку согнули пополам и подвесили тот же груз. Сравните напряжения и абсолютные удлинения проволоки в обоих случаях.

78. Стальной круглый вал длиной 5 м защемлен одним концом и нагружен на другом скручивающим моментом, под действием которого точка, взятая на поверхности вала на свободном конце, перемещается по дуге длиной 5 мм. Чему равны наибольшие касательные напряжения в вале, если модуль сдвига материала G = 80 ГПа?

79. Материал, у которого механические свойства неодинаковы по различным направлениям, называется ……….

80. Касательные напряжения в поперечных сечениях круглого вала в области упругих деформаций распределяются вдоль любого радиуса по ……… закону.

81. Во сколько раз изменится относительное удлинение круглого стержня, если его диаметр уменьшить в 2 раза?

82. Физическая величина, характеризующая интенсивность распределения внутренних сил в окрестности точки в пределах данного сечения, называется ……….

83. Продольный слой в балке, который при изгибе лишь искривляется, а продольные волокна на нем не меняют своей первоначальной длины, называется ………..

84. Согласно закону Гука, который справедлив для подавляющего большинства материалов в пределах малых удлинений, зависимость между напряжениями и деформациями является ……….

85. Наибольшие касательные напряжения при кручении круглого вала возникают в точках, примыкающих к …….. ………… вала.

86. «Наибольшее напряжение, при котором еще выполняется закон Гука, называется пределом ……….».

87. При растяжении силой F = 40 кН плоского образца с поперечным сечением 1040 мм и длиной 250 мм его удлинение оказалось равным 150 мкм, а уменьшение большего поперечного размера составило 6 мкм. Определите коэффициент Пуассона материала.

88. «Напряжение, при котором происходит рост пластических деформаций при практически постоянной нагрузке, называется физическим пределом ……….».

89. «Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к начальной площади его поперечного сечения называется пределом ……….».

90. Перемещение поперечного сечения балки по направлению, перпендикулярному к ее оси, называется ……..

91. Напряжение, при котором относительное остаточное удлинение образца равно 0,2%, называется условным пределом ……….

92. Сталь 45 имеет следующие механические характеристики: _пц = 270 МПа, _т = 360 МПа, _пчр = 720 МПа,  = 16%. Для неответственных машиностроительных деталей допускаемое напряжение равно  = 180 МПа. Какой запас прочности принят для расчета этих деталей?

93. Дано поле перемещений

, , . Определить компоненты тензора малой деформации.

94. Линейная деформация задана соотношениями

, , .

Определить компоненты тензора деформаций.

95. Относительно совмещенных с телом осей _k и пространственных осей задано поле перемещений сплошной среды

₁ , ____const

Определить компоненты вектора перемещения и тензора деформаций.

96. Некоторое поле однородной деформации приводит к тензору конечных деформаций

.

Определить главные значения и главные оси тензора деформаций.

97. Для поля перемещений частиц среды

определить компоненты тензора деформаций.

98. Компоненты тензора деформаций в декартовой системе координат имеют вид

, . Найти главные значения тензора деформаций.

99. Компоненты тензора деформаций в декартовой системе координат имеют вид

, , . Найти главные значения тензора деформаций.

100. Тензор напряжений задан в точке среды

.

Определить вектор напряжений в точке среды на площадке с единичным вектором нормали

+ .

101. Разложить тензор напряжений

на шаровую и девиаторную части и показать, что первый инвариант девиатора равен нулю.

102. Непосредственным вычислением найти инварианты тензора напряжений

.

и разложить его на шаровую и девиаторную части.

103. Напряженное состояние в некоторой точке среды задано тензором напряжений

,

где а, b, c – константы, р – некоторое значение напряжения. Определить константы а, b, c так, чтобы вектор напряжения в точке на площадке с единичной нормалью

+

был равен нулю.

104. Для заданного в точке М в декартовых осях () тензора напряжений

определить главные значения тензора напряжений .

105. Для плоской деформации параллельной плоскости написать соотношение между напряжениями и деформациями, используя коэффициент Пуассона  и модуль упругости Е.

106. Определить деформации длинного стержня (длины l), стоящего вертикально в поле тяжести.

107. Определить деформацию сплошной среды (радиуса R) под влиянием собственного гравитационного поля. Сила тяготения, действующая на единицу массы сферического тела, равна . Решение уравнения (6.13) конечное при r = 0 и должно удовлетворять условию = 0 при r = R .

108. Определить деформацию полой цилиндрической трубы (наружный и внутренний радиусы и ), внутри которой действует давление р; давление снаружи отсутствует. Здесь предполагается, что цилиндры удерживаются при постоянной длине, так что продольная деформация отсутствует.

109. Вычислить главные напряжения тензора

110. Полый круговой цилиндр бесконечной длины с закрепленной наружной поверхностью нагружен равномерным осевым касательным напряжением на внутренней поверхности. Найти распределение касательного и нормального напряжений на наружной поверхности.

111. Определить деформации полого кругового цилиндра бесконечной длины, нагруженного вдоль внутренней и наружной поверхностей касательными напряжениями постоянной интенсивности, так, что

при r = a, при r = b.

112. Полый круговой цилиндр бесконечной длины с закрепленной наружной поверхностью находится в иоле сил тяжести. Определить деформацию цилиндра, считая силы тяжести направленными вдоль образующей. Найти осевое перемещение на внутренней поверхности, а также касательное напряжение по закрепленной поверхности.

113. Линейная деформация задана соотношениями , , . Определить компоненты тензора деформаций.

114. Упругое тело, подчиняющееся закону Гука, находится в равновесии под действием объёмных сил и поверхностных сил . Доказать, что полная энергия деформации равна половине работы внешних сил на перемещениях .

115. Определить деформации и напряжения в длинной цилиндрической трубе с внутренним радиусом R1 и внешним R2, заполненной жидкостью при внешним давлении p. Давление внутри отсутствует. Силой тяжести пренебречь.

116. Для поля перемещений частиц среды определить компоненты тензора деформаций.

117. Разложите тензор деформаций на шаровую и девиаторную части. Вычислите первый инвариант девиатора деформаций.
118. Разложите тензор напряжений на шаровую и девиаторную части. Вычислите интенсив­ности исходного тензора и девиатора напряжений.

119. Вычислить главные напряжения тензора напряжений в точке с координатами

120. Для заданного напряженного состояния вычислить главные напряжения. Дано: 40 МПа, = = 80 МПа.

120. Напишите формулу для расчета напряжения на поверхности круглого вала при кручении. Как изменится напряжение, если диаметр вала увеличится в два раза?

121. Определите величину поперечной деформации стального образца, если продольная деформация равна 0,1%.

122. Напишите формулу для вычисления напряжения в любой точке поперечного сечения круглого вала при кручении.

123. Полый стальной цилиндр с днищами, имеющими внутренний диаметр 150 мм и толщину стенки 25 мм, подвергается действию внутреннего равномерно распределенного давления 40 МПа. Считая нормальные напряжения в направлении оси цилиндра равномерно распределенными по его поперечному сечению определить величину наибольшей интенсивности напряжений в стенке цилиндра.