РГР для ЗО мат стат

Расчетно-графическая работа.

Статистическая обработка данных с помощью пакета EXCEL

Цель работы:

Изучение основных приёмов и методов статистической обработки экспериментальных данных, приобретение навыков их использования. Приобретение опыта использования пакета EXCEL для статистической обработки.

Выполнить статистическую обработку экспериментальных данных в следующей последовательности:

1. Провести отсев грубых погрешностей.

2. Построить график экспериментальных значений.

3. Проверить гипотезу нормальности распределения.;

4. Рассчитать доверительный интервал для каждой (группы измерений переменные по у), показать доверительный интервал на графике.

5. Выполнить подбор эмпирической формулы с применением графического метода выравнивания.

6. Построить график эмпирических значений

7. Рассчитать коэффициент корреляции r.

1) Отсев грубых погрешностей следует провести для одной из групп измерений (по у). Для выборки небольшого объема, n<25, можно воспользоваться методом вычисления максималь­ного относительного отклонения [1]:

, (1)

где yi — крайний (наибольший или наименьший) элемент выборки, по которой подсчитывались среднее значение и - несмещенная оценка (см. формулы)

, , , (2)

где - табличное значение статистики τ, вычисленной при доверительной ве­роятности q = I — р, табл. 1.

Таким образом, для выделения аномального значения вычисляют (1), которое затем сравнивают с табличным значением

Таблица 1. Квантили распределения максимального относительного отклонения τ_1-р.

п	Уровни значимости Р				п	Уровни значимости Р
	0,10	0,05	0,025	0.01		0,10	0,05	0,025	0.01
3	1,41	1,41	1,41	1,41	15	2,33	2,49	2,64	2,80
4	1,65	1,69	1,71	1,72	16	2,35	2,52	2,67	2,84
5	1,79	1,87	1,92	1,96	17	2,38	2,55	2,70	2,87
6	1,89	2,00	2,07	2,13	18	2,40	2,58	2,73	2,90
7	1,97	2,09	2,18	2,27	19	2,43	2,60	2,75	2,93
8	2,04	2,17	2,27	2,37	20	2,45	2,62	2,78	2,96
9	2,30	2,24	2,35	2,46	21	2,47	2,64	2,80	2,98
100	2,15	2,29	2,41	2,54	22	2,49	2,66	2,82	3,01
11	2,19	2,34	2,47	2,61	23	2,50	2,68	2,84	3,03
12	2,23	2,39	2,52	2,66	24	2,52	2,70	2,86	3,05
13	2,26	2,43	2,56	2,71	25	2,54	2,72	2,88	3,07
14	2,30	2,46	2,60	2,76

2) Построим график экспериментальных значений в линейной системе координат.

3) Проверим гипотезу нормальности распределения [1]. Для не очень больших выборок (n<120) можно найти простые рекомендации по проверке нормальности распределения. Один из способов достаточно прост. Необходимо вычислить среднее абсолютное отклонение (САО) по формуле

, (3)

И затем выполнить следующий расчет - для выборки, имеющей приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение

. (4)

Если это условие справедливо то можно считать, что данная выборка соответствует закону нормального распределения.

4) Рассчитаем доверительный интервал для каждой группы измерений по у). Применим способ определения доверительного интервала – использование интегральной функции Лапласа, табл.2 [2, стр. 279] (Крутов). Довери­тельный интервал рассчитывается по формуле:

(5)

где - средне квадратичное отклонение

, (6)

t – гарантированный коэффициент, по функции Лапласа. Следует отметить, что при числе наблюдений n≤30 коэффициент t принимают равным коэффициенту Стьюдента аст., табл.3. Далее следует показать доверительный интервал на графике.

Таблица 2 Интегральная функция Лапласа

гарантийный коэффициент- t	доверительная вероятность Рд
0,70	0,5161
1,30	0,8064
1,65	0,9011
1,95	0,9488
2,00	0,9545
2,50	0,9876
3,00	0,9973
4,00	0,9999

Таблица3. Коэффициент Стьюдента аст.

n	Рд
	0,80	0,90	0,95	0,99	0,995	0,999
2	3,080	6,31	12,71	63,70	127,30	637,20
3	1,886	2,92	4,30	9,92	14,10	31,60
4	1,638	2,35	3,188	5,84	7,50	12,94
5	1,533	2,13	2,77	4,60	5,60	8,61
6	1,476	2,02	2,57	4,03	4,77	6,86
7	1,440	1,94	2,45	3,71	4,32	9,96
8	1,415	1,90	2,36	3,50	4,03	5,40
9	1,397	1,86	2,31	3,36	3,83	5,04
12	1,363	1,80	2,20	3,11	3,50	4,49
16	1,341	1,75	2,13	2,95	3,29	4,07
20	1,328	1,73	2,09	2,86	3,17	3,88
40	1,306	1,68	2,02	2,70	3,12	3,55
60	1,290	1,67	2,00	2,66	3,06	3,46

5) Подбор эмпирической формулы выполним с применением графического метода выравнивания.

Если экспериментальная зависимость описывается уравнением у = ах^ь , то прологарифмируем ее и получим уравнение lgy=lga+blgх. При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке.

Если эксперименталь­ная зависимость описывается уравнением , то удобно использовать натуральный логарифм получим lgy=lga+bxlge (прямую линию на полулогарифмической сетке).

Далее в полученное уравнение следует последовательно подставить значения первой и последней пары (х,уср), получив тем самым систему из двух уравнений. Решив систему уравнений относительно коэффициентов а и b, следует записать уравнения в явном виде. Затем необходимо рассчитать эмпирические (теоретические) значения по у и сравнить их с экспериментальными значениями.

6) Простроить отдельный график с эмпирическими и эксперименталь­ными данными.

7) Рассчитать коэффициент корреляции двумя способами с помощью таблицы и стандартной функции EXCEL, сравнить их. Коэффициент корреляции r [2, стр. 308]

_, (7)

где n - число пар и измерений (х,уср).

Пример выполнения задания.

В результате проведенного эксперимента получены следующие данные, таблица 4. Для каждого значения Х получены четыре значения по У.

Таблица 4. Экспериментальные данные

Х	1,1	1,7	1,9	2,2	2,9	3,5	4,5
У	48,9	82,4	98,9	125,3	211,5	255,5	412
	39,6	79,3	112,1	137,5	214,4	267,4	374
	42,1	78,6	108,4	142,9	218,3	272,1	369
	44,6	86,2	116,3	125,6	204,6	278,9	398

1) Для отсева грубых погрешностей по (1) рассчитаем сначала среднее значение . Для этого воспользуемся командой– СРЗНАЧ ( здесь и далее пакета EXCEL), а для определения несмещенная оценка, командой – СТАНДОТКЛОНА, результаты занесем в табл.5.

Примем доверительную ве­роятности q = I — р=1-0,1=0,9. Рассчитаем значение t для максимального отклонения от среднего для первой группы измерений Умах=48,9

,

допустимое значение t_1-р по табл.1, для n=4 равно t_1-р =1,65. То есть значение Умах=48,9 отсеивать нельзя.

Таблица 5.

Х	1,1	1,7	1,9	2,2	2,9	3,5	4,5
среднее по У	43,80	81,63	108,93	132,83	212,20	268,48	388,25
стандартное отклонение, несмещенная оценка по У	3,966	3,468	7,422	8,797	5,782	9,854	20,271
t	1,286	1,319	1,351	1,145	1,055	1,317	1,172
САО	2,950	2,675	5,275	7,375	4,150	7,025	16,750
стандартное отклонение, смещенная оценка по У	3,434	3,004	6,427	7,619	5,007	8,534	17,555
Доверительный интервал ∆У	8,1	7,1	15,1	17,9	11,8	20,1	41,3

2. Построим график экспериментальных значений в линейной системе координат. На графике покажем все экспериментальные точки и средние значения У, последние соединим плавной кривой, рис 1. Для построения графика рекомендуется использовать точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаживающими линиями.

Рисунок 1. График экспериментальных значений.

2. Проверим гипотезу нормальности распределения. Рассчитаем САО (3), команда – СРОТКЛ, результаты внесем в таблицу 5. Рассчитаем выражение (4)

.

Так как 0,054<0,2, гипотеза нормальности распределения выборки дан­ных, подтверждается.

2. Рассчитаем доверительный интервал для каждой группы измерений по(у). Расчет проведем по формуле (5), перед этим следует вычислить стандартное отклонение (6) команда – СТАНДОТКЛОНП.

Гарантированный коэффициент по функции Лапласа заменим коэффициентом Стьюдента для n=4 t =2,35.

.

Результаты внесем в таблицу 5.

Далее следует показать доверительный интервал на графике, рис 2.

Рисунок 2. График экспериментальных значений с доверительным интервалом

5) Подбор эмпирической формулы.

Уравнение у = ах^ь , прологарифмируем его и получим уравнение lgy=lga+blgх. Создадим таблицу 6 и рассчитаем значения Lgx и Lgу. Построим график экспериментальных значений в логарифмических координатах, рис. 3. При этом экспериментальная кривая должна превратиться в прямую линию на логарифмической сетке.

Таблица 6

х	1,1	1,7	1,9	2,2	2,9	3,5	4,5
среднее У	43,80	81,63	108,93	132,83	212,20	268,48	388,25
Lgx	0,041	0,230	0,279	0,342	0,462	0,544	0,653
LgУ	1,641	1,912	2,037	2,123	2,327	2,429	2,589
Теоретические значения функции	43,8	86,0	102,2	128,3	196,9	263,5	389,0

Рисунок 3. График экспериментальных значений в логарифмических координатах

Далее в полученное уравнение подставим значения первой и последней пары (х,уср), получим систему из двух уравнений.

Lg43,8= Lgа+b*Lg1,1;

Lg388,25= Lgа+b*Lg4,5.

Или

1,641= Lgа+ b*0,041;

2,589= Lgа+ b*0,653.

Решив систему уравнений относительно коэффициентов а и b, получим: а=37,8 b=1,55. А уравнение соответственно

У=37,8* Х^1,55 .

Затем рассчитаем теоретические (эмпирические) значения функции и сравним их с экспериментальными значениями, внесем их в таблицу 6. Теоретические и экспериментальные значения функции достаточно близки. Отсуда делаем вывод, что подбор эмпирической формулы выполнен правильно.

6) Убедимся в этом простроив отдельный график с эмпирическими и эксперименталь­ными данными, рис.4.

Рисунок 4. График с эмпирическими и эксперименталь­ными данными

7) Для определения коэффициента корреляции проведем простые расчеты и сведем их в таблицу 7.

Таблица 7

								суммы
Х	1,1	1,7	1,9	2,2	2,9	3,5	4,5	17,8
У (среднее)	43,80	81,63	108,93	132,83	212,20	268,48	388,25	1236,1
Х*У	48,2	138,8	207,0	292,2	615,4	939,7	1747,1	3988,3
квадрат Х	1,2	2,9	3,6	4,8	8,4	12,3	20,3	53,5
квадрат У	1918,4	6662,6	11864,7	17642,5	45028,8	72078,8	150738,1	305933,9
квадрат суммы Х	316,8
квадрат суммы У	1527943,2			коффициент корреляции	0,9941741

Коэффициент корреляции (7), число пар измерений n=7

_.

Проверим точность расчета, выполненного с помощью таблицы стандатной функцией КОРРЕЛ пакета EXCEL. r= 0,995569. Величины достаточно близки, То есть расчет выполнен верно.

Список некоторых стандартных команд пакета EXCEL.

СРЗНАЧ - среднее значение ряда чисел.

СТАНДОТКЛОНА - , стандартное отклонение вычисляется с использованием «несмещенного» или «n-1» метода.