razdel1UMK

для проекций векторов на ось справедливы следующие теоремы (без доказательств).

Теорема 1.8. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекции слагаемых векторов на ту же ось:

комбинацией векторов a1,a 2 ,K,a k . Очевидно, что линейная комбинация векторов является вектором. Рассмотрим особый случай, когда

λ1, λ2 ,K, λk , равных нулю, то векторы a1,a 2 ,K,a k называются линейнонезависимыми. Если же это равенство справедливо не при всех λ i = 0, где i =1,2,K, k , то векторы называются линейно-зависимыми.

Пусть a1,a 2 ,K,a k линейно-зависимы. Тогда среди λ i найдется хотя бы одно не равное нулю число. Пусть λ1≠ 0. Разделив обе части равенства (1.37) на λ1, получим

Выражение μ 2a 2 +μ 3a3 +K+μ k a k является линейной комбинацией

векторов a 2 ,a3 ,K,a k . Итак, если векторы линейно-зависимы, то хотя бы

один из них является линейной комбинацией остальных.

Справедливо и обратное утверждение: если хотя бы один вектор является линейной комбинацией других векторов, то вся группа векторов линейнозависима. Пусть, например, a 1 =μ 2a 2 +μ 3 a3 +K+μ k a k .

41

Тогда −a 1 +μ 2a 2 +μ 3 a3 +K+μ k a k = 0 и коэффициент при a1

отличен от нуля. Это означает, что вектора a 1,a 2 ,K,a k линейно-зависимы.

Примерами линейно-зависимых векторов являются любые два вектора прямой; любые три вектора плоскости; любые четыре вектора пространства

(рис. 1.12-1.13).

Рис. 1.12

Рис. 1.13

В то же время два неколлинеарных вектора a1 и a 2 плоскости (рис. 1.13)

или три некомпланарных вектора a1,a 2 ,a3 пространства (рис. 1.14) являются примерами линейно-независимых векторов.

Рис. 1.14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.33 Любая группа, составленная из максимального

числа линейно-независимых векторов некоторого пространства R n , называется базисом этого пространства. Число векторов базиса называется

размерностью пространства. Так, базисом на прямой (пространство R1 )

42

является любой ненулевой вектор этой прямой. Размерность прямой равна

единице. Базисом на плоскости (пространство R 2 ) являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости. Размерность плоскости равна двум.

Базисом в объемном пространстве (пространство R 3) являются любые три некомпланарные вектора. Размерность этого пространства равна трем.

Пусть векторы a1,a 2 ,K,a n образуют базис R n . Тогда любой вектор a этого пространства является линейной комбинацией базисных векторов, то есть

базисных векторов три взаимно перпендикулярных единичных вектора

i = a10 , j = a 02 , k = a30 . Совокупность точки O и базисных векторов i, j,k

называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

R 3.

Выберем в R 3 произвольную точку M и построим вектор OM. Так как векторы i, j,k образуют базис, то согласно (1.38) вектор OM можно разложить

43

где λ1 ,λ2 ,λ3 − координаты вектора OM в заданном базисе.

Проведем через точку O в

есть проекции точки M на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

Рис. 1.15

Тогда

OM = OM1 + OM2 + OM3 =прOX OM i + прOY OM j + прOZ OM k . (1.40)

Из сравнения (1.40) с (1.39) следует, что координаты вектора OM определяется по формулам

λ1 =прox OM, λ2 =прoy OM, λ3 =прoz OM..

Впрямоугольной декартовой системе эти координаты принято

совпадает с диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис.1.15), то его длина равна длине этой диагонали. Следовательно,

44

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.35 Косинусы углов α,β,γ , определяемые по (1.43),

называются направляющими косинусами вектора a . Нетрудно проверить,

что направляющие косинусы связаны между собой соотношением

Следовательно, прi i =1, прj i = 0, прk i = 0

Но прi i = прOX i, прj i = прOY i, прk i = прO Z i

По формуле (1.38) получим, что

i = (прOX i)i + (прOY i)j + (прOZ i)k =1i + 0j + 0k = {1;0;0}.

Аналогично доказываются оставшиеся равенства.

1.6.6 Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме

Пусть векторы a1 и a 2 заданы в координатной форме:

a1 = {x1; y1;z1}= x1i + y1 j + z1 k, (1.45) a 2 = {x 2 ; y2 ;z2 }= x 2 i + y2 j + z2 k.

Непосредственно из теорем 1.5 и 1.6 о проекциях векторов на ось и определения координат вектора (1.38) вытекают правила:

45

Из (1.43) следует, что

a0 = cos αi +cosβj +cos γk = {cosα;cosβ;cos γ}.

Под простейшими задачами аналитической геометрии понимаются задачи определения расстояния между двумя точками и деления некоторого отрезка в данном отношении.

Задача определения расстояния между двумя точками

46

Рис 1.16

.

Тогда OM1 ={x1; y1;z1}, OM2 = {x2 ; y2 ;z2 }, M1M2 = OM2 −OM1

Заметим, что в процессе решения этой задачи установлена формула определения координат вектора, если заданы координаты его начальной и

47

Из (1.56) следует, что скалярное произведение векторов a и bравно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию другого на направление первого вектора.

Свойства скалярного произведения векторов:

1)a b = b a;

2)ab = 0, если a b или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор

(справедливо и обратное утверждение);

3)a a = a 2 ;

4)λ(ab) = (λa)b = a(λb) для λ R;

5)(a + b)c = a c + b c.

Справедливость первых четырех свойств непосредственно следует из определения скалярного произведения. Докажем справедливость распределительного свойства 5. Согласно формуле (1.56) и теореме 1.5 о проекции имеем

(a + b)c = c прс (a + b)= c ( прс a + прс b) = c прсa + c прс b = = c a + c b = a c + b c.

Пусть векторы a и b заданы своими координатами: a = x1i + y1 j + z1 k, b = x 2 i + y2 j + z2 k.

Найдем скалярное произведение a b. Вычислим предварительно скалярные произведения единичных векторов.

Имеем ii = ii cos 0 =1 1 1 =1, jj =1, kk =1. Векторы i, j,k взаимно

перпендикулярны. Тогда, согласно свойству 2, их произведения друг на друга равны нулю.

49

Используя распределительный закон скалярного произведения, получим ab = (x1i + y1 j + z1 k)(x 2 i + y2 j + z2 k)= x1x 2 ii + x1y2 i j + x1z2 ik +

+y1x 2 i j + y1y2 jj + y1z2 jk + z1x 2 ki + z1y2 k j + z1z2 kk =

=x1x 2 + y1y2 + z1z2

Итак, если векторы a и b заданы своими координатами, то

ПРИМЕР 1.25 Вычислить работу по перемещению материальной точки вдоль отрезка, из точки B(1;−2;3) в точку С(3;4;2) под действием постоянной

по величине и направлению силы F = {2;1;5}.

ПРИМЕР 1.26 Даны вершины треугольника A(−1;−2;4), B(−4;−2;0) и C(3;−2;1) . Определить внутренний угол треугольника при вершине B (рис. 1.19).

50