Matritsy
.pdf
1 |
|
a11 |
a12 |
|
a21 |
a22 |
|||
|
|
Если все элементы какой-либо строки определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число
ka11 |
ka12 |
k |
a21 |
a22 |
1 |
|
Если все элементы какого-либо стролбца определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число
ka11 |
a12 |
k |
ka21 |
a22 |
1 |
|
Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.
a11 |
a12 |
|
0 |
Определитель, у которого элементы |
ka11 |
ka12 |
|
|
двух его строк пропорциональны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен нулю. |
a |
ka |
|
0 |
Определитель, у которого элементы |
|
||||
11 |
11 |
|
двух его столбцов пропорциональны, |
|
a21 |
ka21 |
|
|
равен нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a* |
|
a |
|
|
a* |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
11 |
|
11 |
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
a11* |
|
|
|
a12 a12* |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
a21 |
a22 |
|
|
a21 |
|
|
|
|
a22 |
||||||||||
|
|
a |
|
a* |
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
11 |
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
||||||||||
|
|
a |
21 |
a* |
|
|
|
a |
22 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
a11* |
a12 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
a21* |
a22 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если каждый элемент какой-либо строки определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, у другого – вторые. Оставшиеся элементы этих
определителей те же, что и у данного. Если каждый элемент какого-либо
столбца определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующего стролбца являются первые слагаемые, у другого – вторые. Оставшиеся элементы этих определителей те же, что и у данного.
Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
a11 |
|
a12 |
|
|
|
||
a21 |
|
a22 |
|
|
|
||
|
|
a11 |
ka12 |
a12 |
|||
|
|||||||
|
a |
21 |
ka |
a |
22 |
||
|
|
|
22 |
|
|||
a11 a12 a21 a22
|
|
a11 ka12 |
a12 ka22 |
|
|||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число.
a |
a |
a |
|
11 |
12 |
13 |
|
A a21 |
a22 |
a23 |
|
|
a32 |
a33 |
|
a31 |
|
Квадратная матрица третьего порядка
a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33
Определитель третьего порядка
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
a22 |
a23 |
|
a12 |
|
a21 |
a23 |
|
a13 |
|
a21 |
a22 |
|
|
Определитель третьего |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
32 |
33 |
|
|
|
|
|
31 |
33 |
|
|
|
|
|
31 |
32 |
|
|
порядка, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 a22 a33 |
a12 a23 a31 a21 a32 a13 |
соответствующий |
|||||||||||||||||||
a13 a22 |
a31 |
a12 a21 a33 a23 a32 a11 |
квадратной матрице A |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
третьего порядка |
a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a22 a33 a12 a23 a31 a21 a32 a13a13 a22 a31 a12 a21 a33 a23 a32 a11
Вычислить с собственными знаками произведения элементов, лежащих на главной диагонали в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали.
Найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками.
Найти общую сумму всех произведений.
Минор Mij элемента aij, где i, j=1, 2, 3 определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11M11 a12M12 a13M13
|
|
|
|
|
M12 |
|
a21 |
a23 |
|
|
M13 |
|
|
a |
21 |
a |
22 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
a22 |
a23 |
a31 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M11 |
|
|
|
a31 |
a32 |
|||||||||||||||
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
M 23 |
|
|
a11 |
|
a12 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Алгебраическое дополнение Aij элемента aij, где i, j=1, 2, 3, называется минор Mij этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j.
Aij = (-1)i+jMij , где i, j=1, 2, 3.
Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения.
=a11A11+ a12A12+ a13A13=
=a21A21+ a22A22+ a23A23=
=… … … … … … …=
=a31A31+ a32A32+ a33A33=