5. Соотношение контурного и средневзвешенного пластового давления в газовой залежи круговой формы (вывод).

Имеется пласт постоянной h, m, α, k.

Р(r)=Рк-(Р_к-Р_с)/(ln(R_k/r_c))ln(R_k/r) -жидкость

Р²(r)=Рк²-(Р_к²-Р_с²)/(ln(R_k/r_c))ln(R_k/r) -для идеального газа

Найдем среднее давление P^~ в области установившейся радиальной фильтрации газа:2Пrdrhm-элементарный поровый объем кольцевого элемента высотой h.П(R_к²-r²_c)mh- поровый объем пласта.

P^=1/_Pd

P^=1/[mh(r_k²-r_c²)]_rc^rkP(r)dr=1/[mh(r_k²-r_c²)] _rc^rkP_k²- (P_k²-P_с²)/ln(r_k/r_c)ln(r_k/r)2mhrdr=P_k

=(P_c/P_k;R_k/r_c)

Для многих практических случаев 0,9<Е<1 (Е=0,97)

P^~=Р_к- формула Лапука

P²_к-Р_(r)²=(Р² _к-Р² _c)ln(R_к/r)/ln(R_к/r_c)

Р_(r)= [P²_к- (Р² _к-Р² _c)ln(R_к/r)/ln(R_к/r_c)]^0,5

=1/(αm(R_к²-r_c²)h)интег(r_c ,R_к)[2rαm h Р_(r)rdr] (1)

После интегрирования уравнения (1) получим: =ξ (,ε)P_к

ξ =/P_к ; =R_к/ r_c; ε= Р_c/ P_к

Расчеты показывают, что при расстоянии м/у скв-нами от 600 м до 4400 м и Р_заб до 0,1 Р_пл (в условиях стационарной фил-и) среднее Р в удельном объеме дренирования отличается от контурного на 0,5%. При расстоянии м/у скв-нами до 1000 м и при почти свободном дебите г-й скв-ны среднее Р отличается от контурного не более чем на 3%. Это объясняется значительной крутизной депрессионной воронки при притоке г к скв-не.

Это позволило в уравнении притока к скв-не неизвестное контурное давление P_к (пластовое P в районе данной скв-ны) в момент t заменить средним Р в удельном объеме дренирования, а при равномерном размещении скв-н - приближенно средним Р в залежи в тот же момент: Р_к(t)=(t).

6. Конечно-разностный аналог дифференциального уравнения неустановившейся одномерной фильтрации жидкости с единичными коэффициентами (вывод).

Рассмотрим однородный пласт, в к-м происходит одномерная фильтрация несжимаемой жидкости. Для этого случая ур-е нестац. Фильтрации имеет вид: ²Р/х²=(1/)Р/t +q (1)

=kK/(m)

где К – объемный модуль упругости

Введем безразмерные величины:

=х/L;=P/P_н; =t/L²; (2)

x=L;Р=P_н; t=L²/; (3)

Подставим (3) в (1):

²Р/х²=((P_н)/x)=(P_н/L²)* ²/ ² (4)

Р/t=(P_н/L²)/ (5)

(Р_н/L²)²/²=(Р_н/L²)/+ Р_нf/L²; f=qL²/P_н; q=P_нf/L². (6)

²/²=/+f (7).

В дальнейшем знак «» уберем, но будем иметь ввиду, что это те же безразмерные величины.

²Р/х²=Р/+f (7')

Разложение в ряд Тейлора:

Р(х)=Р(а)+Р'(а)(х-а)+Р''(а)(х-а)²/2!+…(8)

Мы рассматриваем точку i, в которой давление известно Р_i. Нас интересует Р_i+1 или Р_i-1

Р_i+1=P_i+P_i'x+P_i''(x)²/2!+P_i'''(x)³/3!+… (9)

Р_i-1=P_i-P_i'x+P_i''(x)²/2!-P_i'''(x)³/3!+… (10). Из (9) найдем первую производную:

Р_i'=(Р_i+1-Р_i)/x-P_i''x/2!+P_i'''(x)²/3!-… (11)

Р_i'=(Р_i+1-Р_i)/x-0(x) (12)

где 0(x) – остаточный член первого порядка малости относительно x. Из (10)-аналогично:

Р_i'=(Р_i-Р_i-1)/x+0(x) (13)

Складывая (12) и (13):

Р_i'=(Р_i+1-Р_i-1)/(2x)+0(x)² (14)

где 0(x)² - остаточный член второго порядка малости относительно x.

Сложим (9) и(10):

Р_i+1+ Р_i-1=2Р_i+2 P_i''(x)²/2!+4 P_i^IV(x)⁴/4!+… (15)

Р_i''=(Р_i-1-2Р_i+Р_i+1)/(x)²+0(x)² (16)

По времени введем шаг t= τ. k – номер временного узла.

P/ Р_k'= (P_k-P_k-1)/+0(); = (17) Явная и неявная конечно-разностная схема.

Р(к-1)-распределение Р на момент времени (к-1).

Внутренних узлов всего (n-1) и 2 граничных узла 0 и n. Производная в выражении (16) может быть записана для (к-1) временного слоя:

(Р_i-1,k-1-2P_i,k-1+P_i+1,k-1)/(x)²=(P_i,k-P_i,k-1) /  + f_i,k (18) – конечно-разностное уравнение.

Известны: Р_i-1,k-1; Р_i,k-1; Р_i+1,k-1. f_i,k – плотность стока (источника) задана.

(18) соответствует явной конечно-разностной схеме, поскольку каждое уравнение содержит одно неизвестное давление P_i,k. Если записать (18) для k-го временного слоя:

(Р_i-1,k-2P_i,k+P_i+1,k)/(x)²=(P_i,k-P_i,k-1)/+f_i,k (19) - соответствует неявной конечно-разностной схеме, в к-й (n-1)+2=n+1 уравнений с n+1 неизвестных Р. В каждом уравнении (19) содержится 3 неизвестных.

Для решения ур-й типа (19) составляется система уравнений из n+1 ур-й с n+1 неизвестными. Решается такая система на каждом временном уровне методом Гаусса или методом прогонки.