47. 52. Метод Ньютона (метод касательных)

Рассмотренные ранее методы решения нелинейных уравнений являются методами прямого поиска. В них для нахождения корня используется нахождение значения функции в различных точках интервала [a,b].

Метод Ньютонаотносится кградиентным методам, в которых для нахождения корня используется значение производной.

Дано нелинейное уравнение:

f(x)=0

Найти корень на интервале [a,b] с точностью .

Метод Ньютонаоснован на замене исходной функцииf(x), на каждом шаге поиска касательной, проведенной к этой функции. Пересечение касательной с осьюХдает приближение корня(Рис. 4.8).

Выберем начальную точку x₀=b(конец интервала изоляции). Находим значение функции в этой точке и проводим к ней касательную, пересечение которой с осьюХдает нам первое приближение корняx₁.

Рис. 4.8. 

x₁ = x₀ – h₀,

где

Поэтому

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой

(4.6)

Процесс поиска продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие:

(4.7)

Упростим условие (4.7), исходя из (4.6). Получим:

(4.8)

Метод обеспечивает быструю сходимость, если выполняется условие:

(4.9)

т.е. первую касательную рекомендуется проводить в той точке интервала [a,b], где знаки функцииf(x₀)и ее кривизныf"(x₀)совпадают.

Схема алгоритма уточнения корняметод Ньютонаприведена нарис. 4.9

Рис. 4.9.  Схема алгоритма уточнения корня методом Ньютона

48. Комбинированный метод хорд и касательных для уточнения корней нелинейных уравнений

Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто принимают в сочетании друг с дригом.

Пусть дано f(x)=0,  отделен и находится на интервале [a,b]. Применим комбинированный метод хорд и касательных с учетом типа графика функции.

Если f'(x)f"(x)>0, то метод хорд дает приближения корня с недостатком, а метод касательных с избытком. Если же f'(x)f"(x)<0, то методом хорд получаем значения корня с избытком, а методом касательных - с недостатком. Однако во всех случаях значение корня  заключено между прибближенными значениями корней, полученными методом хорд и методом касательных, т.е. выполняется равенство a<x^н_n<<x^и_n <b, где x^н_n-приближение по недостатку, а x^и_n-приближение по избытку.

I. Если f'(x)f"(x)>0

Для этого случая характерны графики, представленные не рис.1 и рис.2

Рис.1	Рис.2

В качестве начального приближения для метода хорд следует взять конец а, для метода касательных конец b, и тогда воспользуясь формулами (1) и (2) получим первое приближение корня . Теперь истинный корень находится на отрезке [a₁,b₁]. Применим к этому отрезку комбинированный метод и получим второе приближение корня и так далее находим все последующие приближения корня  используя формулы (3) и (4).

	(1)		(2)
	(3)		(4)

II. Если f'(x)f"(x)<0

Для этого случая характерны графики функций, представленные на рис.3 и рис.4

Рис.3	Рис.4

Если провести касательную к кривой f(x)=0 в точке B, то она пересекет координатную ось ОХ в точке не принадлежащей отрезку [a,b]

Тогда в качестве начального приближения для метода хорд следует взять конец b, для метода касательных - конец a. Тогда первое приближение корня  вычилсяется по формулам (5) и (6). Все последующие приближения используют формулы (7) и (8).

	(5)		(6)
	(7)		(8)

Комбинированный метод очень удобен при оценке погрешности вычислений. Процесс вычислений прекращается, как только будет выполнено неравенство |a_n-b_n|<

За приближенное значение корня  при этом следует взять =(a_n+b_n)/2.