Задачи09_1
.pdf1 |
аниченноеОгр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
грань.(нижняя)Верхняямножество.снизу) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
лиЯвляется.чЗ |
|
|
|
íî |
âîåñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 3 |
Свойсточная Т |
n |
− |
|
|
|
|
|
n N |
|
|
|
{(снизу)?−n) } n N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(аксиоsup xN |
|
|
|
|
|
inf |
|
|
xN |
|
|
åñëè:, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
. |
|
à) |
|
|
|
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ижняя) (сверху, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;вещественных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
,граньмножества.б)ху;лнотысверпоымíма)верхняяограниченНай |
|
чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
} |
|
|
|
|
{ |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
xN = |
|
|
|
N |
; |
á) |
|
xN = |
N |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
Метод |
|
N2+9 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
..индукциинеравенство:матическойазатьматеа)Док |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
суммыпоîперщью. . . û |
|
|
− |
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
+ |
|
|
+ . . . + |
|
|
|
|
|
> √n |
n |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
· |
3 |
· |
|
|
|
· |
|
2N |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
äàхмето |
àòåìì |
îéатическ;б) |
|
èí |
ó |
àçêдокции |
äëÿ.ìóëó)î(àòü |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2N |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
√N |
|
|
|
|
≥ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2N+1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
З5. Бесконечноч . Справедлималаясправедмалойи бесконечноn членовутвервательностьждение:геб льшаятрическпоследовательностьой (ари мельностиическ.ой) пðогрессии. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
онечно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
àòîã |
|
|
|
|
ëüê |
когдаогда, |
|
|
|
{xN} являетсмалая?бес |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
.етс ЯвпримЕссвязи |
òîâî,ëèпоследли |
|
|
|
|
азать, |
противном{|xNслучае|} бескпривестионечно контр- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.76 |
СходящаясТеоремаВернопосли,ледбесконечночтоватееслипоследовательностьбольшой.ибеск.малойn |
..большойльностейонечноледоватебеск |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xN |
= n(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ведливотожСпр |
|
веря?ждение:òхлидиу |
|
|
|
|
{xN} |
частьцелаяитодится,х |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
{[xN]} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{xN} сходитс |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Найтитольк |
тогда, |
|
|
îãäà |
õ |
|
òñÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
чтоазать,Док |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
прительность |
xN = q |
N |
|
|
|
|
|
{|xN|}N) бесконечно малая последова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(èëè xN = nq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1)Ç ÷ . |
|
|
предел: |
|q| < 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
lim |
√ |
|
, |
ãäå |
a > 1; |
2) |
lim |
√ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
N→∞ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
. 13980 |
ìà ìåîðåЛеМонотонныеÒ |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
льности...йсяавенствахпоследовате.нерпоследовательностьдящсх.лиахльностиавая)гпереходе,нностиявляетследоватебдвухпредеограничпосмилиционерльноВыяснить, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Nlim |
|
|
1 + |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nlim |
N |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xN = |
|
√ |
|
+ |
√ |
|
+ . . . + |
√ |
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
.(левая,онноймоноОкрестность |
|
ïð |
|
|
|
|
|
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
N |
|||||||||||||||||||||||||||||
лВерноЗ ч . |
|
|
÷òî |
|
|
|
любой окр стностиx. |
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
чиселиздно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1 можно найти хотя бы |
|||||||||||||||||||||||||||
íèå. Ïïредел .ункции. Предеcos n, |
гбесконде n åчностиN. . Бесконечный предел. Односторон- |
ǫ − δ |
X lim f (x) = +∞ |
|
→−∞ |
З4 Связьч . Найтиобычногоlim fпреде(x преде= : а)ла ункции и односторонних пределов. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
X 1 0 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
→ − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
| LN X| |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x ; |
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ческими165. ПеречисОпредео лениеерлитьациямивести примеры. ла ункцииlimосновныетаких(1 +подвухнеопреде)ейнебеск. limонечноленности,2 малыхсвязанныеункцийс ари мети- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(четыре) X→0 |
|
|
| |
|
| |
|
|
|
|
|
X→1 |
X +X−2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
ðèï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен: |
|
|
|
|
|
|
α(x) β(x) |
|||||
|
x |
|
a, |
пределчто |
lim |
|
α(X) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
..онечноститочкелбескпредевункцияв)ункциильныйдвум,линулю,яб)замечатеа)Являетса)ч .НепрерывностьВторой |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
. 87Ç1 |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
A |
β(X) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
1/X |
|
|
x |
6= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ïðè x 6= 0 x 6= 1, |
||||||||
|
y = |
|
|
|
|
|
á) y = |
|
|
LN |X| |
||||||||||||||||||||
|
точкеïðèнепрерывнойазрыва |
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 |
|
|
x = 0. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(0 |
|
|
|
x |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
21954320. СрКлассОсновныеТМонотонныеАриеореипыавнениеìКакпорточекэетичлэквивалентныхядкментарныхаяэбесколеизскиеприункциианныхтарныеечывностисвойства.малых:ункцииункцийункцийобрункцииx епрерывныхатнойб.малые.Непрерывность= 0.являетс.. болееункцииявысокогобескункций.онечно. .. |
.высокогоболееэквивалентныемалой |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
СравнВычислитьдвеxáå |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
− 2 |
èëè g(x) = ln x. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
fсконечноx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Таблица6 |
|
|
|
|
→ 1 |
|
( |
) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
X |
−Например,1 x → 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
áâíûå |
|
|
|
|
|
|
малыхf (x) =ïðèsin x è g(x) = e |
|
||||||||||||||||
ч . Перечис.7Ç2 |
(три)пределоñ îстепеннонеопреде-показательноголенностиxсо→выражстепенью.0 ения. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
SIN X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
28. Определениеаписатьпроизводнойкасуравнениеxтель .к сательной к SINкривой.x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
lim (ln x) |
|
, lim |
x |
|
|
, |
lim (cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
X→+∞ |
|
|
|
|
X→+0 |
|
|
|
|
X→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ОпираясьИмеетс |
|
ðàá |
ëà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x3 в точкней, (1, 1). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-икуголкасанияобзорапро.хоградящая |
||
Ç ÷ . Нкчерезблюараболынадатеча ь нахкорäèyтснат=я.вНайтиначалекооркоординатыасательная.Найтиточкиx + 3x + 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
x2 |
|
X |
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
З31290. ТСвязьОпредеабчлица. Привестиизкнел основныхниеункцииерывностиоизводныхпримерна.элементопределение=. непрерывной,ди.+арныхеренцируе+произвоункцийномостидной,не.ди вычислить. еренцирупроизвоемойданнойднуюднойточ- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лиЯвляетсяЗ ч . |
|
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
à) |
|
|
|
(sin x + cos x)e |
|
1+X2 |
|
sin |
3x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x0 |
|
ункции:дляэкстремуматочкой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
34 ПроизводныеНайтиy = xпроизвовысших3 + 3x2äíóþ+порядков3x,2009x =.-ãî 1ïîð; á)ÿäêày = |
|
|
x2 |
2 |
1 , |
|
|
|
|
x |
6= 0 |
, |
x |
|
= 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
äëÿ sin |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0, |
|
|
|
|
|
ïðè x = 0, |
|
0 |
|
|
|||||||||||||
y = ln(1 + x) |
точке x = 0 |
|
|
|
y = cos x |
в точке x = π . |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ТейлораВычислить:Формула. |
остат чным членом в орме Пеано (Лагранжа)6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
доВывеститочнточностью |
|
|
|
|
|
; |
á) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0, 005 |
|
|
|
|
√e |
с точностью до 0, 01; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
√8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Записжитьмногочленln(0, 9) |
|
|
äî |
10−3; ã) cos 1 |
|
|
|
|
очностью до 0, 05. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
35. Формула Мàклоренаорму. лу Маклорена4 3 |
|
ункциидля |
|
|
|
|
|
|
|
K. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ 2x |
+ x + 3 |
ïî |
|
|
епеням |
(x − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
1 |
|
|
(èëè |
y = eX, |
y = |
||||||||
ln(1àçëî+ x), y |
ïî= sinîðìó,ëåx y = cosМаклорена)x . |
äî |
|
|
|
|
|
1−X |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
o(xN ) ункцию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y = |
|
sin x |
; |
á) y = |
|
(x2 − 1)2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
рЗнаяЗ ч . |
|
зложенияx |
по ормупоследовательности:Маклоренадляx |
ункций |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) è y = |
||||||||
gà)(x), íàписать разложение для ункции y = f (x)g(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
á f (x) = eX |
g(x) = sin x, |
|
|
|
o(x4); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
азложивf (x) = eïî, |
g(ормулеx) = ln(1Маклорена,+ x o(xункцию.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ункциялиубывающиеЯвляетсяВозрастающие36. |
ункции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x2eX, |
найти y(2008)(0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
монотон |
|
|
возрастающей |
|
(−∞; +∞): |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Найтиà) f (x)наибольший;= x + sin x |
á)÷ëåíf (x) = [x]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
. |
|
|
|
ункции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
внизункцияб)лойчто;ûïóêвлениеИзвестно, |
√n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
37. Опреде xN = 2N+67 |
xN |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ââåðõ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
чизнить,касакое |
сел больше:y = f (x) |
больше:отрезкнавверхвыпукла |
[a; b]. |
-Âûÿñ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
A+2B |
|
èëè |
F (A)+2F B) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
числаПусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
a |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a+2b |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
положительны |
|
|
= b. |
×òî |
|
|
|
|
|
|
3e |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
èëè |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ç ÷ . Являетс?яA B |
ункцияли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
e + 2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выпуклой вниз (ââåðõ) íà (−∞; +∞): |
||||||||||||||||||||||||||||||||
à) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ательнойинтервалы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
оТеорема8 |
|
|
|
|
√ |
2; á) |
;îñикугравыпукл |
â) |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f (x) = x |
|
|
f |
(x) = |
|
2 |
|
|
|
|
f (x) = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ç39. Признак÷ . Íàéточкиточкиперегибперегибадваждыункцдии: а)еренцируемой ункции1 |
. |
|
|
|
|
|
|
2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4x2 + |
|
; |
á) |
y = e−X |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x4 |
− 6x2 + 5x; |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
y = e x . |
|
|
|
Ньютонабинома |
|
|
|
N |
N |
K K |
ормулуобщую |
|||||
|
|
|
|
P |
|||||||||
|
Íàé |
|
|
(a + b)N = |
|
N CNK aK bN−K . |
CN x |
|
|
|
|||
З ч . Доказ ть с п мощью ормулы (1 + x) = |
K=0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K=0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
павенствоСуммаНер |
lim |
(N+1)10 |
P |
|
|
|
|
|
||||
|
11 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
.биномалыли.ормуБернулмощью |
чтодоказать,Ньютона |
|
|
|
||||||||
|
N→∞ (N+1) |
|
−N |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.-...ïðèéòåогрпосльностианиченнуюледовате.льности) |
|||
стей65432 ТПрТТ.еореизведениемамаНмы(рйтиВейерштразность)огрсумме,бесконечноаниченностиассдвухпроизведенииа(обесконечномалоймонотоннойбесконечнопосиледоватемалыхчастноогрмалойаниченнойпосльностисходящихсяледоватепоследоватепоснальностеледова2 ≥ 3 |
n ≥ 3 |
,
|
|
тельство |
г,ходимости |
|
|
1 |
|
A |
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
||||
7 |
Доказ |
льностиåледоватñïî |
|
x1 |
> 0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
lim |
xN |
xN+1 |
= |
|
2 |
xN + |
Xn |
a = const > 0 |
|
|
|
||||||||
êîåà)ÊÇ ÷ . |
N |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
xN = 1 + 1 |
|
N |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
сколькбольшеленийвоелñ÷èèç |
раз:(примерно) |
|
|
|
|
. |
|
1000 000 |
||||||||||
значений44321098ункции)ВторПерваяТЭквивеореыйìà.Привестинепрерывнойлентностеорезамечатепредемаложнойуммы,лВейерштрБоьльныйсопредеаьцаожпроизведенияотрезке2010 íîпреде-Кошиасс2009ункцииаа.(обпредеункции)(одостиженииогрнуле.лачастногоаниченности. непрерывнойункции1000 001 |
|
|
N |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2009) |
èëè (2010) |
|
|
; |
á) (1000 000) |
..ейнеотрезке.понаименьшего.ункции)наибоункцийпонепрерывнойКошильшего |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
èëè (1000 002) |
|
||||||||||||||||
5 |
Произв |
|
обрат |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
Ферма |
|
.ункции |
.экстремума)точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7 |
|
|
производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òî÷êäíàÿ (обобщеннаяпример дипроизводной)еренцируемой ункции y = f (x), для которой |
||||||||||||
÷ . 8 Ç |
олляx = x0корне являетссреднерывнойяточкойна. экстремума, но f ′(x0) = 0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[0; 1] ункции y = f (x), |
|||
Ç5910 Теоречавило. ìàВычислf (0)ËÊîагршипиталяанжа= f (1)òü ,à)íî. íå сущ теорем)ству. етматочкисреднем)ξ [0;.1] такой, что f ′(ξ) = 0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточные.436 в Признак2 |
X→0 |
x − e |
|
− 1 |
|
X→0 |
X→0 x arcsin x |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
á); |
|
x − sin x |
. |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim x ln x; â) |
lim |
|||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
ункции...ункцииавиламойеренцируемойпреренцируедивтороепервоемума:дидваждыэкстре(вверх)озрастанияусловявниз(убывания)ыпуклост |