posobie-1-2

тия равна

ис. 1.1. Форма кривой аусса.

P (n) =

n

а неблагоприятного

= α

(1.1)

m + n

P (m) = 1 P (n) =

m

(1.2)

òличныеоритьДлятого,измерениеотквадратичнаядругчтобыошибкахнескольковыявитьизмебольшинствеðенийслучайнуюсредняяраззультаты,.Еслиариошибкукаждоемыизмеренийметическаяимизмерений,измерениеем делослучайныеошибкидаетнеобходимоситуацией,несколько. по

овСредняя

−

m + n

-

ãäà

Вслучайнаяподавл ющем

иг ает существенную роль.

ошибки

ïð

ûõ

подчиняются следующим закономернîñòÿì:

1)

Оши ки измерений

2)

При.ногоЧастотаошибкилые большомзнака.Иначепоявлениявстречаютсячислеговоря,наблюденийошибокбольшиеодинаковомогутуменьшаетсяприниматьошибкиошибкичастоодинаковой.наблюдаютсянепрерывныйувеличениемвеличины,реже,рядвеличинызначенийчемноразма--.

3)

Xi

12

Лабораторная работа • 1. Обработка ðåçультатов прямых измерений

Закон распределения ошибок описываетсÿ ормулой аусса

1

e−

(Δx)2

ãäå

Y (x) =

σ√

2σ2

(1.3)

2π

ленит мСредняяПриФорматочнееауссаíîкривойпроведеносодержитгократныхквадпогатичнаяешностиауñизмерениеясаизмеренияхвпоказанаПриложенииизмеренийпогрешность.болееначасторис.Cподробная.(стандартное1.используется1.инормацияотклонение)понятиеораспредесреднейимеет-,

квадратич

σ

âèä:

(1.4)

Sn = u

X

v

n

(

xi)

x = i=1 xi

x

- среднее ари етическое.

−

ãäå

u i=1

u

n

1

u

n

t

−

è

X

n

ЕслиПримечание:вычисленияконахчислоСТАНДОТКЛ(O taveстандартногонаблюденийМногие,S ilab,програ,FreeMatв OpenотклоненияоченьìмыO, -велико,обработкиMatrixeCal. К примеруLibreто.данныхвеличина.)O-вstd(x)пакетеeимеютCal, где-MSSTDDIVвстроеннуюxEx-массивel эта, MATLABданныхункциюункция.

называетсядляего

торому постоянному значению

Sn стремится к неко-

σ.

применяетсяошибкойСобственно.Квадратговоря,среднеариэтойименно

σ = lim Sn

ошибка:называетсядисперсиейсреднейизмеренийквадратичной.Иногда

величиныметическаяэтотпределназывается

n→∞

(1.5)

Zn = X

n

|

x

− xi|

i=1

Значение средней ари метической ошибкиn

ρ определяется соотношением

ρ = lim Zn

(1.6)

n→∞

ероятность

P [(x − x) < x < (x + x)] = α

(1.7)

значений от

α носит название доверительной вероятности. Интервал

вероятностью,ся доверительнымра ной

интервалом

Выражение (1x −.7) означает,x äî x + ÷òîx называес

не выходит за пределы доверительного интервалавероятности,α результат измере

(ПрилоЭтиполучавымо-.

численияжениеазумеется,ДлябытьдоверительныйFлюбой.)былирассчитаначемвеличиныпроделаны,длябольшейсоответствующаяинтервалдоверительногоих.результатыдоверительнаяинтервалайсведеныповероятностьтаблицу(x −ормулебольшимx)F÷.1(.аусса.x + x)

Приведем примеры

льзования таблицей F.1.

1. Пусть для некотор го ряда измерений получены

Какова вероятность

õ = 1.27; σ = 0.032.

±0.01, что составляет в долях σ

Из таблицы F.1. находим,0.01÷òî/0.032доверительная= 0.31 = ε. вероятность для

равна

ε = 0.3

áîê

0.24. Иначе говоря, примерно 1 измерений уложится интервал оши-

4

íèå

α = 0.98 соответств ет значе-

ε = 2.4, следовательно,

X = σε = 0.032· 2.4 ≈ 0.077 è óказанной

ис. 1.2. Типовые значения

вероятности при доверительном

интервале

,

доверительной

доверительной вероятности соответствует интервал.

x = Sn

x = 2Sn

x = 3Sn

ли округляя,

1.193 < x < 1.347,

иногда этот результат записывают1õ.19 <â xâèäå< 1.35;

Такимчисла:погрешностиобразом,доверительный.длянахожденияинтервал. случайной(веичину ошибки)нужноидоверительнуюопределить

вероятностьдваДля

0.98

ëÿòü

x = Sn доверительная вероятность α будет состав-

0.68. Äëÿ

x = 2Sn - 0.9, äëÿ x = 3Sn - 0.997. Приведенные здесь

1.2. Краткая теория.

15

личин

z является суммой (или разностью) двух ве-

X Y , результаты измерений которых независимы, тогда дисперсии

Sz этих величин связаны соотношением

èëè

Sz2 = Sx2 + Sy2.

2

2

-

отдельныхбудетквадратичнаянезависимыхтотслагаемыхжесамыйошибкавеличин.Длясуммыравнасреднихкорню(илиариразности)квадратномуметическихдвухизошибок(илисуммынескользакон(1дис.8)

сложениякихперсийт. . средняявеличин)

Sz = qSx

+ Sy

,

среднейб)нийЭтота)ИзЗначениеСредняязаконаввыводпервуюквадратичнойслож

Zz = q

Zx

+ Zy

,

2

2

атичнаяиметьбокследуютатьоченьвошибку,виду,отдельногобыстростьдвасреднегочприимеющуюезвычайнопадаетповышениирезультата,àðèбольшуюмереважныхметическоготочностиделеннойихуменьшениявелвывода:чинуизмереравна(1.ко.9)--.

отдельныхвсегоченияедьнужошибокуменьпогрешности

рень квадратный из числа измерений

1торыхденийЭто.2.3..ундаментальныйточностьОпределениеазумеется,результатаэто

S

Sz = √n,

-

кондоверитеполностьювозрастанияотноситсяëüноготочнослишьинтервалаприслучайнойкизмерениям,ростечислаиошибкойдоверипринаблю(1..10)ко-

рассуждение определяется

тельной вероятностè.

ожет уклоняться от истинного зна

Очевидно, важнее зна ь, насколько

σxi

Тогда для аргумента

σxñð = √

,

(1.11)

n

зависимость

ε, который используется в таблице F.1, справедлива

x

x√

n

ратичнаяПри применениипогрешностьормул (1.11)ε =

(1.12)=

считаåòñÿ,

известной средняя (1квад.12)-

σxc

σxi

измерений,

что,снеточтобыпомощьювсегдазаранееопределитьвозможноужеизвестнахорошопоследииудобвеличинаисследоíþþ,.Â

ванноготехнужнослучаях,сделатьметода,когдаоченьошибкивыполняютсямногоσкот.Однакорогоизмеренияизвдлястны,тог

ïðî

можно

пред литьтода приходитсятольковеличинуопределятьсоответ

σцессе. Однако,измеренийкакправило,.Обычнопогрешность

Еслиствующуюдьзоватьсяценкисравнительнодоверит небольшомульной вероятносислу измере ий (см. Sn

откуда

ормулу,

1.4)-.

tα,n =

x√n

(1.13)

α считать, что Sn совпадает с

ë

получаюинтервалсяневерные значения

.

σ

, Чтобыпо учесть

α

таблицеэто обстоятельство,F.1,

âèäå:

x можно представить в

tα,nSn

,

x =

рений

√n

Из ормулы (1.13) видно, что

Sn

же роль, но в случае, когда

числовеличиныизмличинаизаналогичнаякоторыхопределена. Она играетошбкату

tα,n

ε

, не очень велико. Значения

ента Стьюдента, вычислены для различных, значенийносящейназвание коэ ици-

Sn

tα,n

убедиться,веденычтов

притаблицеСравниваябольшихF.2(прилприведенные.5).

в ней данныеИспользуятабл. F.1, легкоn α

равенство

можностремитсяпереписатьк в. виде

коэ ициенты Стьюдента,

(1.7) n Sn

σ

P " x − tα,n √n

< x < x + tα,n √n #

= α.

(1.14)

Sn

Sn

1.2. Краткая теория.

17

довериболееòельнуючемнавероятность того, чтовыполнятьсяхличается от истинногой, равна значения. Найтих

íå

5

0.24

0.2

так как будет

неравенство

Значение

31 < x < 31.4.

tα,n найдем, подставив наши величины в ормулу (1.14).

√

По таблице

äëÿ

0.2

5

×

= 1.86

F.2 находим tα,n =

0.24

n = 5 ïðè tα,n = 1.5ответом,α = 0.8; ïðè tα,n = 2.1

αíàÿ= вероятн0, 9. Âîîбщесть дляговоря,этогоможнослучаяудовлетворитьсялежитмжду

что доверитель-

8

Лабораторная работа • 1. Обработка результатов прямых измерений

1.2.4. Погрешность определения погрешности.

Если сред яя квадрати ная ошибка

Sn

которомсячисласвоего

измерений,ред льноготополучаетсязначе иявеличина,определяетсякакугодномалоизоченьотличающаябольшого-

лучайныминаходится

σ

. Но когда

n

невелико, то

Sn

ïîãðåшностями. Для определения доверительного интервала,отягченав

алгоритмомверительной вероятности

пользуют-

заданнойс

α

таблицей F.3 в соответствииσ ïðè

1Ïðèâ

P γ1Sn

< σ < γ2Sn

= α

(1.15)

Ñðåäемяядваквадратичнаяп имера пользовапогрешность,ия таблицейопределеннаяF.3. из

. Нужно вычислить доверительный интервал для

5 измерений, равна

Из таблицы F.3 имеем для

вероятностьюσ надежностью 0, 95.

0.95

2. Ïðè

0.599 × 2 < σ < 2.87 × 2 èëè 1.2 < σ < 5.7

(1личениены.11):два пути:числаулучшениеизмерений,точности.е.использованиений, . .

- íèå σ, óâå-

измеренийвыйПред

σx

σ

= √n,

ñð

íû. Ïóñòвованияьсистематическаятехники(тцеле.ошибка(1.пер.16)

оложим,)равнаизмеренийчтовсе возможнуже сти совершен

путь использова

x 6

δ

èëè äàæå

x 6

δ

,

3

2

1.2. Краткая теория.

19

ãäå x - пол вина доверительного интервала для величины σ. Надеж ость

должнатребуетсяпревышатьустановить д верительный интервал, в большиíñòâå

αслучаев, которойне

которой. Для оценки необходимого числа изме

рений приведена таблица F.5, 0, 95

тичной ошибки.

x дано долях средней квадра-

x

грешностьПример. Измеряетсяв напряжениеε =ñ ïîì. щью вол тметра, меющего по-

Sn

получитьизмереношибкуèнейравнаболее

2.3

погрешност

Сколько измерений1В. Средняянужноквадратичнаяпроделать,чтобы

надежностью

1.5Â.

Положим

0.95?

из таблицы F.5 находим

δ

колонке

x

0.5

Sn =

2.3 = 0.22.

x =

2â, Sn = 2.3B,

шиминым1

x

= 0.22, n = 88.

ε = Sn

оятность,.2Если.6ошибк. лучайнымиОбнаружениеосуществляем,тоошибкамиэтомся рядрядупродинаковых.могутОднакоîìаховвстретитьсябольшие.измерений,ошибкиизмеренияподверженныхимеютсоченьмалуюслучайбольве-

ðåç

ïð

результатов измерений встретится одно, име щее

êî

ахусредиотбросить его как

невер ый.

такой

еслиот других значение, то мы будем склонны

следуеотличнбъе тивно оценить, является лизаведомоданн измере иеприписать

èëè

æå

результатом случайного, но совершенно

закономерного отклЕстненåственно,я.

è

çíà

ченийДля оценкиряду

вероятности β случайного появления выскакивающмахом

-

пользованиимыхквадратичнаятеориейверояэтойизмеренийтаблицейпогрешностьностей,бы(двычисляетсяасоставлена) среднеенатаблосновцàðèíèè4. (Ïðìåòрезультатов,èческоеложениех 5)идавае.средПри

íÿÿ

n

n < 25

õ

Sn всех измерений, включая подозреваемое

выраженноевзгляд,льноенедопустимовдоляхук онениесреднейвеликоэтгоквадратичнойилиизмеремало. ия ошибкиотсреднего

àðèk Вычисляетсякоторое,метического,нашотносит

max

Sn

Θ

=

x

− xk .

(1.17)

15 измерений, равно 257.1 средне

Sn = 2.6. Определить является

промахом одно

равное

266.0. Определяем:

Наиб льшее значение

Θmax =

266 − 257.1

= 3.42

2.6

ìó ñîîтветствует

Θmax äëÿ n = 15, приведенноесоответабл. 4, равнозначение2.8,-

β = 0.01. Так как с ростом Θmax

ствующ е

βИзуменьшается,того,что то при Θmax = 3.42 должно быть значи

ельно мå øå 0.01.

íèÿ:

n большем 25, оценку β можно производить с помощью соотноше-

Çä ñü

β ≈ (1 − α)n

(1.18)

пределениядоверительная( вероятность, определяемая для нормального рас-

α

обУч¼тг ешностьюследуетберетсясистематическойсис измерительногоематическпроводитьизтаблицынеобходимоеопределяютйтак,1,ошибкойошибкиполагаячтобыи случайнойбораизмерений,погрешность. Для).этогокотораяошибкирезультатаследуетобычно.опредецелиза-

даетсяком1.2Измерения.определялась7. α

Sn = σ

ленным

àçîì

÷ ñëî

. Однако не всегда

когда систематическаявыбиратьслучайная

õîä òñÿ ìè

близки другположением,к другу

это удается сделать. В результате часто

иться

и они обе в одинаковой степени

точность

результата. При этом