Sumin_Chislovye_i_funktsionalnye_ryady_2021
.pdfМИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
Е.В. Сумин, В.Б. Шерстюков
Числовые и функциональные ряды
Учебно-методическое пособие
Москва 2021
УДК 517.521(075.8) ББК 22.161.6я7 С89
Сумин Е.В., Шерстюков В.Б. Чнсловые и функциональные ряды: Учебно-
методическое пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2021. – 148 с.
Предлагаемое учебно-методическое пособие посвящено числовым и функциональным рядам. Рассмотрены числовые ряды с неотрицательными членами и знакопеременные числовые ряды, функциональные последовательности и функциональные (в частности, степенные) ряды. На примерах проиллюстрированы различные методы нахождения сумм числовых и функциональных рядов. Приведены подробные решения большого числа как стандартных упражнений, так и задач повышенной сложности. Пособие дополнено прил. 1–3, содержащими вывод востребованных на практике формул для конечных тригонометрических сумм, а также формул Валлиса и Стирлинга.
Издание предназначено для студентов 2-го курса НИЯУ МИФИ в качестве учебно-методического пособия при изучении в курсе математического анализа темы «Числовые и функциональные ряды». Указанное пособие будет также полезно преподавателям, ведущим практические занятия по этой теме.
Рецензент канд физ.-мат. наук, доц. А.В. Баскаков
ISBN 978-5-7262-2825-9 |
Национальный исследовательский |
|
ядерный университет «МИФИ», 2021 |
1. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Сходимость числовых рядов
Определение 1.1. Пусть задана числовая последовательность
a1, a2 , …, an , |
…, элементы которой являются действительными |
|
(или комплексными) числами. Формальное выражение |
||
|
|
|
|
a1 a2 ... an ... an |
(1.1) |
|
n 1 |
|
называется числовым рядом. Числа a1, a2 , …, |
an , … называются |
|
членами ряда, |
an – общим членом ряда, сумма первых n членов |
Sn a1 a2 ... an – n-й частичной суммой. Ряд
|
|
an 1 an 2 an 3 ... |
ak |
|
k n 1 |
называется n-м остатком исходного числового ряда (1.1).
Определение 1.2. Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если сходится последовательность {Sn } его частичных сумм. При
этом конечный предел S lim Sn называется суммой ряда. Ряд
n
называется расходящимся, если последовательность {Sn } его ча-
стичных сумм расходится (т.е. lim Sn или не существует).
n
Теорема 1.1. Если в ряде (1.1) изменить конечное число членов, то получившийся ряд будет сходиться, если сходится исходный ряд, и расходиться, если расходится исходный ряд.
Теорема 1.2. Если в ряде (1.1) отбросить первые n членов, то получившийся ряд (n-й остаток исходного ряда) будет сходиться, если сходится исходный ряд, и расходиться, если расходится исходный ряд.
3
Теорема 1.3 (необходимое условие сходимости числового ря-
да). Если ряд (1.1) сходится, то lim an 0.
n
Следствие 1.1. Если lim an не существует или существует, но
n
не равен нулю, то ряд (1.1) расходится.
Теорема 1.4 (критерий Коши сходимости числового ряда).
Ряд (1.1) сходится тогда и только тогда, когда для него выполняется условие Коши:
0 N ( ) , такой что n N , p выполнено неравенство
|
|
|
|
Sn p Sn |
, |
|
|
(1.2) |
или в развернутом виде |
|
|
|
|
||||
0 |
N ( ) , такой что n N , |
p |
||||||
выполнено неравенство |
|
an 1 an 2 |
... an p |
|
. |
|
||
|
|
|
Замечание 1.1. Если условие Коши (1.2) не выполнено, т.е.
0 0, |
такое, что N |
n N, p N, |
такие, что выполнено |
|||
неравенство |
|
|
|
|
||
|
|
Sn p Sn |
|
0 , |
(1.3) |
|
|
|
|
то ряд (1.1) расходится.
Теорема 1.5. Пусть члены ряда (1.1) представлены в виде суммы фиксированного числа слагаемых, т.е.
an cn(1) cn(2) ... cn( k) .
Тогда:
1) если все ряды сn(i) ,
n 1
ся, причем
|
|
1 i k, |
сходятся, то ряд an сходит- |
|
n 1 |
|
k |
an cn(i) |
|
n 1 |
i 1 n 1 |
|
|
|
cn(1) |
cn(2) |
... cn(k ) ; |
n 1 |
n 1 |
n 1 |
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) если среди рядов сn(i) , |
1 i k, только один ряд расходит- |
||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся, а все остальные сходятся, то ряд an расходится; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) если среди рядов сn(i) , |
1 i k, |
расходится более, чем один |
|||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ряд, то ряд an может как сходиться, так и расходиться. |
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 1.1. Показать, что ряд |
|
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
... |
1 |
... |
|
|
2 3 |
3 |
|
n(n 1) |
||||
1 2 |
|
4 |
|
сходится, и найти его сумму.
Решение. Так как общий член ряда an n(n1 1) можно предста-
вить в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n 1) |
n |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
то частичную сумму ряда Sn |
можно записать следующим образом: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
Sn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
n . |
|||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
n 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то ряд сходится, и его сумма S 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача 1.2. Показать, что ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
... |
|
|
||||
|
1 2 |
3 |
|
2 3 4 |
3 |
4 5 |
n(n 1)(n 2) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится, и найти его сумму.
5
Решение. Представим общий член ряда
|
an |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n |
1)(n 2) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в виде суммы простейших дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
A |
|
B |
|
|
C |
|
, |
|
|
n(n 1)(n |
2) |
|
n |
n 1 |
n |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
откуда
1 A(n 1)(n 2) Bn(n 2) Cn(n 1),
или
1 A(n2 3n 2) B(n2 2n) C(n2 n).
Используем метод неопределенных коэффициентов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 : 0 A B C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 : |
0 3A 2B C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n0 : |
1 2 A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B C 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3A 2B C 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2A 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
откуда A |
1 |
, |
B 1, |
С |
1 |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 1 1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n |
2 |
n n 1 |
|
|
|
|
2 n 2 |
|
2 |
|
|
n 1 |
|
|
|
n 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Частичная сумма Sn запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Sn |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||
2 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
3 |
4 |
|
|
... |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
n 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
n 1 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Поскольку
|
|
lim Sn |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
n |
1 |
|
n 2 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
то ряд сходится, и его сумма |
S |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Задача 1.3. Показать, что ряд |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
... |
|
2n 1 |
... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
23 |
24 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
сходится, и найти его сумму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Sn : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. Запишем выражения для |
Sn |
и |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn 1 |
|
3 5 |
|
|
|
7 |
|
... |
2n 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
16 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 3 |
|
5 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|||||||||||||||||
2 Sn |
|
4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
16 |
32 |
|
|
|
|
2n |
|
2n 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда, вычитая из верхнего выражения нижнее, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sn |
1 |
Sn |
1 |
|
Sn |
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
5 |
... |
2n 1 |
|
|
2n 3 |
|
2n 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
16 |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
2n 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
n 2. |
|||||||||||||||
2 |
|
4 |
|
8 |
|
2n 1 |
|
2n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
В круглых скобках имеем сумму Sn 1, |
|
образованную из n 1 члена |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
геометрической прогрессии (см. задачу 3.2) с b |
|
1 , |
|
q 1 , поэто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
||
му |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Sn 1 |
|
b (1 qn 1 ) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n 2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 q |
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Sn |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n 1 |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n 1 |
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то ряд сходится, и его сумма S 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 1.4. Показать, что ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! (n 1)! (n 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходится, и найти его сумму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. Преобразуем общий член ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n! (n 1)! |
(n 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (n |
2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
(n 2) (n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 2) (n 1) |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(n 1)!(1 (n 1) (n 3)) |
|
|
|
|
|
|
(n 1)!(n 2)2 |
|
|
|
|
|
|
(n 1)!(n 2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 2) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)!(n 2) |
|
(n 1)! |
|
(n |
2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Частичная сумма Sn |
ряда запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Sn ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(k 1)! |
|
(k |
2)! |
2! |
3! |
|
4! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4! |
5! |
|
|
|
|
|
(n |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 2)! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Поскольку
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
lim |
Sn lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
2! |
(n |
2)! |
2! |
2 |
|||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
то ряд сходится, и его сумма S |
1 . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Задача 1.5. Доказать, что гармонический ряд |
|
||||
1 1 |
1 ... |
1 |
|
1 |
|
... |
(1.4) |
||||
2 |
3 |
n |
n 1 |
n |
|
расходится.
Решение. При доказательстве будем использовать критерий Коши. Покажем, что для гармонического ряда (1.4) выполняется
условие (1.3). Положим |
0 12 |
и для произвольного |
N возь- |
||||||||||||||||
мем n N 1 N и p n. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Sn p Sn |
|
|
|
an 1 an 2 |
... a2n |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
... |
1 |
|
|
1 |
n 1 0 , |
|
|
|
|
|||||||
|
n 2 |
|
|
2n |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
т.е. выполняется условие (1.3). Следовательно, рассматриваемый гармонический ряд (1.4) расходится.
Задача 1.6. Используя критерий Коши, доказать, что ряд
с |
|
с |
|
с |
|
c |
|
c |
|
|
1 |
|
22 |
|
33 |
... |
nn |
... |
n |
(0 cn M , |
n ) |
n |
||||||||||
3 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
n 1 |
3 |
|
|
сходится.
Решение. Докажем, что для этого ряда выполняется условие Коши (1.2). Для любых n, p
|
|
|
|
|
|
|
n p |
c |
|
n p |
c |
|
n p |
1 |
|
Sn p Sn |
|
|
|
an 1 an 2 ... an p |
|
|
|
k |
|
|
k |
M |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
k |
k |
k |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 |
3 |
|
k n 1 |
3 |
|
k n 1 |
3 |
|
9
Запишем
1 |
|
1 |
... |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
... |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||||
n 1 |
n 2 |
3 |
n p |
n 1 |
3 |
3 |
p 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
В круглых скобках имеем сумму S p , образованную из p членов геометрической прогрессии (см. задачу 3.2) с b1 1, q 13 , поэтому
|
b (1 q p ) |
|
3 |
|
|
1 |
|
S p |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
. |
|
|||||||
|
1 q |
|
|
|
3p |
Получаем
|
|
|
|
|
Sn p Sn |
|
M |
1 |
|
3 |
|
|
1 |
|
M |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
p |
|
|
|
n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|||
Фиксируем произвольное число |
|
0. |
|
Тогда |
|
Sn p Sn |
, если |
||||||||||||||||||
M |
|
1 |
, |
или 3n M , или n log |
3 |
M |
|
. Положим |
|
|
|
||||||||||||||
2 |
3n |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
N ( ) max |
|
|
|
M |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
log |
3 |
|
|
|
1,1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь квадратные скобки обозначают целую часть. Таким образом,
0 |
N N ( ) , такой, что |
n N |
и p выполнено |
|
неравенство |
|
|
||
|
|
Sn p Sn |
, |
|
т.е. справедливо условие Коши (1.2). Следовательно, ряд сходится. Задача 1.7. Исследовать на сходимость ряд
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
... |
1 |
... |
|
11 |
12 |
13 |
n 10 |
||||||||
|
|
|
|
Решение. Так как ряд получен из гармонического ряда (1.4) отбрасыванием первых десяти членов, то по теореме 1.2 данный ряд (остаток гармонического ряда) расходится.
10