6 курс / Клинические и лабораторные анализы / Диагностика_заболеваний_методами_теории_вероятностей_Жмудяк_М_Л

вероятной болезни p j max = max{p j ,j =1,2,3,...,n}, с учетом этого, до проведения k-

го анализа

В формуле (2.5.8) использованы вероятности pnewj , а не p j потому, что

истинным считается распределение pnewj , и именно так распределенных больных до анализа k лечили неверно – по диагнозу D . Обратим внимание, что в формуле (2.5.8) Z вычислена именно по старому диагнозу D . То есть исходим из того, что до проведения k-го анализа и распределение p j и лечение, в общем случае,

неверны. После проведения анализа k диагнозом Dnew будем считать болезнь, у которой вероятность максимальна.

Здесь: Zknew – значение Z после проведения k-го анализа (после определения k-го ДП);

Z j ,D new – элементы матрицы B , точнее, столбец B , номер которого

соответствует наиболее вероятной болезни – диагнозу Dnew . В формуле (2.5.10)

61

После вычисления Zknew по вышеприведенным формулам1 вычислим эффективность проведения анализа k как разность:

Далее аналогичные вычисления выполняются для всех k анализов, симптомов, данных инструментальных обследований. И, наконец, искомые симптом или анализ

Анализ x является рекомендуемым. После его выполнения он переходит в число известных анализов i,1 ≤ i ≤ mnew , где mnew = m +1.

Вместе с тем, кроме рекомендуемого анализа стоит рассмотреть и остальные анализы k. Как минимум, стоит о них сообщить врачу – выдать результаты расчета – список анализов k в порядке уменьшения ∆Zk с указанием величины ∆Zk .

Напомним, что согласно [25, 26], травматичность анализа входит в величину Z .

1 В формуле (2.5.10а) p j ,j = 1,2,3,...,n удобно также представить как вектор PG( aok ) . Обнулим в этом векторе все координаты, кроме

2 Отметим, что алгоритм определения эффекта идеального лечения (по третьему принципу) сложнее, чем алгоритм эффекта от лечения по наиболее вероятному диагнозу. Это видно на примере. Пусть 100 пациентов больны тремя болезнями с распределением:

(По третьему принципу каждый больной лечится от той болезни, которой он болен. По первому принципу все лечатся по диагнозу, в данном случае диагноз D определяется по наиболее вероятной, 2-й, болезни.)

После проведения следующего анализа распределение приобрело вид:

Как видно по приведенным таблицам, 10 больных болезнью j=1 ранее лечились неверно. Для определения эффекта диагностики нужно указать (нужно знать) как ранее лечились эти пациенты. В данном примере они могли лечиться от болезни j=2 или j=3. Рационально считать, что

они лечились по варианту с наибольшим Z . Т.е. расчет идет по варианту (принципу) наименьшего эффекта, наименьшего δZ .

Перейдем к болезни j=2. До искомого уточняющего анализа лечение 35 пациентов от этой болезни было ошибочным. От какой болезни эти пациенты лечатся после уточняющего анализа? На этот вопрос, в общем случае, нет единственного ответа. Чтобы ответ был единственным, нужно опять привлечь дополнительные предположения, например, принцип наименьшего эффекта уточняющего анализа.

62

Однако, возможны и иные аргументы по выбору не оптимального, а близкого к нему анализа или по выбору не одного, а группы анализов [25, 26].

Вработах [25, 26] поставлены и рассмотрены задачи о выявлении неверного анализа (о проверке анализа) и о повторении анализа.

Врамках изложенного выше варианта методики задача о выявлении неверного анализа решается так. Из уже выполненных анализов по очереди исключаются анализы или их группы, и для них выполняется описанная выше процедура поиска наиболее необходимого анализа.

Вчастном случае, при конкретных подозрениях о возможной ошибочности анализа, последний удаляется из выполненных анализов. По формуле полной вероятности находится его ожидаемая величина.

исключения подозрительного анализа величина Z (полученная по описанной выше методике) изменилась существенно, стоит перепроверить анализ.

Вопрос о повторении анализа решается аналогично выявлению анализа, который наиболее нужно сделать. Отличие состоит только в следующем. Вероятность повторного анализа i вычисляется с учетом предыдущих анализов i .

3 Точнее, сравнение этих величин с проверяемыми величинами анализов и с получавшимися вероятностями болезней.

63

Для одних обследований вероятности повторных анализов не отличаются от первичных, для других – отличаются. Повторим здесь пример, приведенный в предыдущих публикациях [2.5.1, 2.5.2]. Если в организме есть глисты (или простейшие, или патогенная флора), то при повторных анализах вероятность их обнаружения повышается. Повышается надежность (т.е. вероятность) обнаружения и не обнаружения патологических изменений в биопсии и т.п.

Таким образом, при выяснении, какой следующий анализ сделать, рассматриваются: еще не сделанные анализы и уже сделанные. Для последних выясняется необходимость их повторения как для контроля (для исключения случайных ошибок), так и для повышения надежности.

Возникает естественный вопрос о продолжении или остановке процесса определения следующего анализа. Если число анализов не исчерпано, то разумно сформулировать критерии прекращения процесса поиска анализа x . (Кстати, если число анализов исчерпано, а упомянутые критерии не выполнены, то это заставляет задуматься о полноте набора используемых анализов или болезней).

Для ветеринарии в некоторых случаях критерии могут быть разработаны, исходя из стоимости анализов и прибыли от излечения. Критерии, предлагаемые ниже, не связаны с ценами. В качестве необходимых условий остановки поиска следующего анализа предложим соотношения

(2.5.16а) показывает, что эффективность дополнительных анализов стала низкой. Поскольку Z имеет размерность времени, можно подумать о рациональных значениях ∆Z . Эти значения не стоит выбирать меньше нескольких дней. Другим ограничением минимального значения ∆Z и других критериев является точность вычислений Z ,p j и других величин.

Достаточные условия окончания расчетов могут быть получены сравнением со здоровым человеком:

64

Здесь Z11 – величина Z для здорового человека, т.к. первый индекс 1 матрицы B

относится к отсутствию болезней, а второй индекс 1 – к лечению в случае нормального здоровья.

Ряд критериев может быть получен сравнением с оптимальным лечением по предложенным выше 2-му и, главное, 3-му принципам лечения.

Более жестким и точным является требование выполнить условия (2.5.16) - (2.5.16в) в нескольких, например, трех последовательных расчетах x , причем анализ x , найденный в части этих расчетов, например в двух расчетах, должен быть реализован.

Данная стратегия выбора следующего анализа уменьшает не только число проводимых (выполняемых) анализов, но и сокращает время обследования, время постановки диагноза, что иногда принципиально важно. Приведенный выше алгоритм сводит к минимуму субъективный фактор как при назначении следующего анализа, так и при диагностике.

После небольшой модификации данная методика может быть использована и в других областях медицины, а также в управлении, экономике и др. Например, может быть решена задача оптимального распределения дотаций на лечение. Дотации могут быть распределены по болезням так, чтобы общая жизнеспособность – количество и качество жизни населения выросли наибольшим образом. При этом для заразных болезней нужно учесть не только влияние лечения на больного, но и следствия заражения окружающих.

Один из вариантов решения состоит в следующем. Варьируемыми параметрами выбрать суммы, отпускаемые на лечение одного больного каждой болезнью. Функцией цели – max ∆Z ′, где ∆Z ′ увеличение вследствие лечения количества и качества жизни больного и людей, находящихся в контакте с ним. При решении необходимо учесть ограничение на общую сумму финансирования.

65

то выбор делается в пользу этой болезни. Установим уровень надежности, равный 90%. Для примера А мы получаем диагноз – болезнь 1, для примеров В и С – диагноз неопределенный, то есть программа отказывается сделать выбор в пользу 1-й болезни и требует больше данных. Такой подход к оценке вероятностей позволяет перевести часть неправильно поставленных диагнозов в область неопределенных ответов. Одновременно часть правильных диагнозов также становятся неопределенными (как в примере С). Представляется, что важнее сделать меньше ошибок в диагнозе, чем большему числу пациентов поставить верный диагноз.

2.6.2 Критерий эффективности диагностики

Методы, алгоритмы и программы математической диагностики, в частности,

диагностики заболеваний тестируются на базах данных, например, на группе (G)

больных с точно установленными заболеваниями.

G={1,2,3,...,k,...,g}.

Визвестных авторам работах в качестве критерия эффективности диагностики используется процент верных диагнозов. Под верным диагнозом понимается математически (компьютерно) поставленный диагноз, совпадающий с диагнозом, поставленным данному больному медиками.

Вместе с тем, по тем же самым результатам математической диагностики можно более объективно оценить эффективность используемого метода диагностики. Пусть в результате расчета найдены вероятности болезней k -го

больного из группы G : Pkj =1,2,3,...,n, где j – номер болезни, n – число

диагностируемых болезней. Считаем, что каждый больной болен только одной болезнью и что применяемый метод диагностики рассчитывает вероятности всех болезней, которые имеются у больных данной группы G.

Например, в группе G имеются больные двумя болезнями ( n = 2) j =1 и j = 2 . Тогда для k -го больного вычисляются pk1 (т.е. вероятность первой болезни pkj =1) и pk 2 (т.е. вероятность второй болезни pkj =2 ); в иных обозначениях,

67

Номер болезни, которой каждый пациент действительно болен, обозначим jtr( k ). Вероятность (расчетная) этой болезни для k -го больного соответственно имеет обозначение p jtr( k ) . Критерием эффективности предлагается выбрать величину

диагностики. Эти методы обозначим как M1 и M 2 , а применение этих методов к больным группы (базы) G как M ( G ). То есть M ( G ) – это расчет вектора вероятностей болезней для каждого из пациентов группы G . Пусть G состоит из двух больных k =1 и k = 2, которые на самом деле больны болезнью j =1, т.е. jtr =1. G ={1,2 | jtr =1}. Пусть также M1( G ), т.е. применение первого метода диагностики для группы больных G, привело к следующим результатам:

для больного k =1: pkj = p11 = 0,49; pkj = p12 = 0,51;

для больного k =2: pkj = p21 = 0,99; pkj = p22 = 0,01.

Очевидно, что расчетным диагнозом считаем болезнь, вероятность которой не меньше, чем у других болезней. Если таких болезней - диагнозов не одна, то среди них диагноз определяется случайным образом.

В приведенном выше расчете метод M1 диагностировал у больного 1 болезнь j =2, поскольку расчетная вероятность 2-ой болезни больше, чем 1-ой: p12 = 0,51 > p11 = 0,49. Этот диагноз неверен, т.к. в действительности больной страдает болезнью 1: jtr(1) =1. У больного 2 вероятность 1-й болезни выше, чем

68

При обычном подходе эффективность диагностики 50%: у одного больного правильный диагноз, у второго - неправильный. Критерий CE по формуле (2.6.1)

CE( М1 ) = 12( 0,49 +0,99 ) =0,74, или 74%.

Примем теперь, что по методу M 2( G ):

для больного k =1: pkj = p11 = 0,01; pkj = p12 = 0,99;

для больного k =2: pkj = p21 = 0,99; pkj = p22 = 0,01.

Метод M 2 , так же как метод M1, неверно диагностировал больного 1 и верно больного 2. При обычном подходе эффективность диагностики 50% - такая же, как у

существенно меньше, чем CE(M1 ). Разберемся почему. Оба метода неверно ставят диагноз больному 1. Первый метод вероятность правильной болезни указывает 49%.

Это неверно, но до правильного диагноза «не хватает» чуть более 1%. M2

вероятность правильной болезни определил как 1%, что очень далеко от

69

действительности. Т.е. M2 хуже, чем M1. CE учитывает разницу в диагностике:

CE(M1 ) > CE(M 2 ). Обычный подход указанной разницы «не чувствует».

Для полноты анализа можно конкретизировать CE . Так, кроме общего CE

характеризовать эффективность метода при диагностике одной болезни. Собственно, в приведенном примере рассматривался CE диагностики одной болезни j =1.

Аналогично можно выделить подгруппу, имеющую определенный набор симптомов, и вычислить CE для этой подгруппы. Из последней подгруппы можно выделить ее часть, относящуюся к одной болезни, и вычислить CE для этой части.

2.6.3 Влияние отдельного ДП на диагноз

Интересно проанализировать, как отдельные ДП или их группы влияют на диагноз. Говоря нестрого, диагноз – это наиболее вероятная болезнь, и ставится диагноз сравнением вероятностей рассматриваемых болезней. Расчетные вероятности болезней зависят от всех ДП, и весьма интересно выяснить, как на расчетную вероятность каждой болезни повлияло наличие каждого диагностического признака, какой вклад в повышение или уменьшение вероятности болезни внес анализируемый ДП.

Оценку влияния ДП на вероятность можно провести множеством способов. Приведем один из способов оценки, согласно которому кроме вероятности болезни p j вычисляется pij−. pij− – вероятность болезни, рассчитанная при отсутствии i -го

ДП, влияние которого анализируется. Комбинации p j и pij− могут быть базой для многих оценок влияния ДП. Например, отношение

70