∞

1

(c =

1

). Так как гармонический ряд ∑

(α = 2 >1)

сходится, то по теореме 1.3 сходится и

3

2

рассматриваемый ряд. ▼

n=1

n

∞

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд ∑sin πn .

n=1

▲ Очевидно, что an = sin πn → 0 при n → ∞, и мы опять выясним порядок малости an .

Известно, что sinα ~ α приα → 0. В нашем случае sin πn πn , т. е. в качестве эталон-

∞

ного ряда выберем гармонический ряд

∑

1

. Имеем

n

n=1

= lim sin πn

= limπ sin πn = π ≠ 0

a

n

= sin π

, b

=

1

, lim an

n

n

n

n→∞ b

n→∞

1

n→∞

π

n

n

n

an+1

<ε . Отсюда следует, что ρ −ε <

an+1

< ρ +ε .

неравенство

− ρ

an

an

∞

следовательно, по теореме 2.1 (раздела 1.2) ряд ∑an

сходится.

n=1

Пусть теперь ρ >1. Возьмем число ε

настолько малым,

чтобы ρ −ε >1. Тогда, начи-

ная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство (левое)

aN +1

>1, или aN +1 > aN > 0.

aN

Следовательно, lim an

≠ 0 ,

∞

расходится, так как не выполнен необходимый

и ряд ∑an

n→∞

n=1

признак сходимости. ▼

Замечание. Если lim an+1

=1,

или не существует, то признак Даламбера ответа о схо-

n→∞

an

димости или расходимости ряда не дает.

∞

Пример 2.1. Исследовать на сходимость следующий ряд ∑

n!

.

n

n!

(n +1)!

n=1 5

▲ Для данного ряда имеем a

n

=

, a

n+1

=

. Тогда

5n

5n+1

a

n+1 =

(n +1)!5n

=

n!(n +1)

=

n +1

,

5n+1 n!

5 n!

5

an

ρ = lim an+1

= lim n +1 = +∞.

n→∞

an

n→∞

5

По признаку Даламбера ряд расходится.

Замечание. Расходимость этого ряда можно было установить и по необходимому при-

знаку: lim an = lim 152535 n5

= lim

1

2

3

n

= +∞. ▼

5

5

5

5

n→∞

n→∞

n→∞

∞

Пример 2.2. Исследовать на сходимость следующий ряд ∑n=1

(2n2−)

1n

.

▲ Имеем

+1)(

)n

2n −1

2(n

+1) −1

2n +1

an+1

(2n

1 2n +1

2

,

an =

(

)n

, an+1 =

(

)n+1

=

(

)n+1

,

an

=

(

)n+1(2n −1)

=

2n −1

2

2

2

2

2

ρ = lim an+1

= lim

1

2n +1

=

1

<1.

n→∞

an

n→∞

2 2n −1

2

По признаку Даламбера ряд сходится. ▼

Общее указание. Для того чтобы из выражения an

общего члена ряда получить выра-

жение an+1

надо в формуле для определения an

заменить n на n +1

∞

n

.

Пример 2.3. Исследовать на сходимость ряд ∑n

▲ Имеем

n=1

n!

nn

(n +1)n+1

a

(n +1)n+1 n!

(n +1)(n +1)n n!

(n +1)n

n +1

n

1 n

a

n

=

, a

n+1

=

,

n+1 =

=

=

=

= 1+

,

n!

(n +1)!

(n +1)!nn

n!(n +1) nn

nn

an

n

n

ρ = lim

a

+

1

n

= e >1.

n+1

= lim 1

n

n→∞

an

n→∞