Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. Н. Веретенников

ТЕОРИЯ РЯДОВ

Учебное пособие

Санкт—Петербург

2013

1

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения практических занятий по математике в РГГМУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести практические занятия.

Пособие преследует цель помочь активному и неформальному усвоению студентами изучаемого предмета. При составлении пособия имелось в виду, что им будут пользоваться студенты заочного факультета. В связи с этим материал каждой темы разбит, как правило, на четыре пункта.

Вразделе – «Основные теоретические сведения» – приводятся основные теоретические сведения с достаточной полнотой и доказательно (заголовок раздела опускается). Иногда после формулировки определения или теоремы даются поясняющие примеры или некоторые комментарии, чтобы облегчить студентам восприятие новых понятий. Там, где это, возможно, дается геометрическая и физическая интерпретация математических понятий.

Вразделе – «Опорный конспект» – вводятся и разъясняются все базисные понятия и методы. Даются иллюстрирующие примеры, вопросы для самопроверки, решаются типовые задачи. Материал располагается в ой же последовательности, что и на лекциях, но без доказательств. Даются только определения, формулировки и пояснения теорем, их физическая и геометрическая интерпретация, чертежи, выводы, правила. Второстепенные вопросы опущены.

Опорный конспект целесообразен для первичного, быстрого ознакомления с курсом математики, а далее нужно продолжить изучение теорию по разделу «Основные теоретически сведения», где все изложено с достаточной полнотой и доказательно. Опорный конспект полезен и для закрепления изученного материала, для восстановления в памяти нужных понятий при изучении последующих разделов курса и других дисциплин, опирающихся на математику.

Вразделе «Вопросы для самопроверки» – содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение этого пункта – помочь студенту

всамостоятельной работе над теоретическим материалом, дать ему возможность самому проконтролировать усвоение основных понятий. Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие этой сути. Из этого раздела преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности студентов к практическому занятию по той или иной теме.

Вразделе «Примеры решения задач» – разобраны типичные примеры, демонстрирующие применение на практике результатов теории. При этом большое внимание уделяется обсуждению не только «технических приемов», но и различным «тонким местам», например условиям применимости той или иной теоремы или формулы.

Назначение раздела «Задачи и упражнения для самостоятельной работы» – определено его названием. При подборе упражнений были использованы различные источники, в том числе широко известные задачники. В конце задачи дается ответ и указание.

Начало и конец доказательства теоремы и решений задач отмечаются соответственно знаками ▲ и ▼.

Впособии приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.

Автор надеется, что данное пособие поможет студентам в овладении методами теории рядов, в их самостоятельной работе над предметом. Он также выражает надежду, что пособие будет полезным для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримет все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания.

3

ТЕОРИЯ РЯДОВ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1. Основные понятия и свойства

Приведем основные сведения из теории бесконечных рядов. Значение бесконечных рядов для современной математики очень велико, они широко используются в различных математических исследованиях.

Само понятие бесконечного ряда по существу не является принципиально новым, бесконечный ряд представляет собою лишь своеобразную форму числовой последовательности. Однако эта новая форма имеет некоторые особенности, благодаря которым применение рядов во многих случаях более удобно.

1.1. Числовой ряд. Сумма ряда

Пусть дана бесконечная числовая последовательность {a }∞ 1 = a1, a2 , , a , .

n n= n

Числовым рядом называется выражение вида

которое короче записывается так

∞

∑an .

n=1

Выражение (1.1) лишено какого-либо смысла, так как операция сложения бесконечного множества чисел непосредственно невыполнима. Поэтому оно представляет собой некий символ.

Числа a1 , a2 , называются членами ряда, а число an − общим (n − м) членом ряда. Ряд задан, если известен его общий член an =ϕ(n) n =1, 2, , т. е. задана функция

натурального аргумента.

Поэтому ряд 2 + 43 +17.5 +5 + нельзя считать заданным. Напротив, ряд 12 + 212 + 213 + задан, ибо при любом значении n an = 21n .

∞

Рассмотрим ряд ∑an и постараемся придать ему числовой смысл. Будем складывать

n=1

подряд члены ряда, начиная с первого.

Сумма Sn первых n членов ряда называется n -й частичной суммой ряда

n

Sn = a1 +a2 + +an = ∑ak

k =1

Так как n может быть любым натуральным числом, то частичные суммы образуют чис-

ловую последовательность {S }∞ 1 . Рассмотрим последовательность {S } частичных сумм

n n= n

ряда (1.1)

S1 = a1, S2 = a1 + a2 , , Sn = a1 + a2 + + an , .

Определение. Если последовательность {Sn } имеет конечный предел, lim Sn = S , т.е.

n→∞

∞

последовательность {Sn } сходится, то этот предел называют суммой ряда ∑an , пи-

n=1

∞

шут ∑an = S и говорят, что ряд сходится.

n=1

4

На приведенных ниже примерах мы убедимся, что оба класса рядов не пусты, а внутри класса расходящихся рядов существуют как ряды, не имеющие суммы, так и ряды с бесконеч-

2.Ряд 1+1+1+ расходится, ибо здесь Sn = n → +∞, т. е. сумма ряда равна + ∞.

3.Ряд

суммы Sn вообще нет. Иными словами ряд (1.2) совсем не имеет суммы.

Заметим, что точные определения, приведенные в этом разделе, были предложены лишь в 19-м веке. До этого в математике не было отчетливых формулировок, связанных с рядами. Это служило источником своеобразных попыток использовать науку в интересах религии.

Так, один математик 18-го века «рассуждал» следующим образом. Переписав (1.2) в виде (1−1) +(1−1) +(1−1) + = 0 +0 +0 + , он заключил, что сумма ряда (1.2)

равна 0. С другой стороны, тот же ряд он записывал в виде

1−(1−1) −(1−1) − =1−0 −0 −0 −

и выводил, что его сумма равна 1. Отсюда следовало «заключение», что 0 =1.

Далее говорилось: «0 есть ничто, а 1 есть нечто. Поэтому нет ничего удивительного в том, что бог создал мир из ничего».

Разумеется, все это «рассуждение» неправильно, так как ряд (1.2) вообще не имеет суммы.

Интересно, что даже такой могучий ум, как Эйлер, считал само собой разумеющимся, что ряд (1.2) имеет сумму. Исходя из этой неверной предпосылки, он «рассуждал» так: пусть сумма ряда (1.2) равна S. Тогда

S =1−1+1−1+ или S =1−(1−1+1−1+ ) =1− S .

Отсюда 2S =1 и S = 12 .

В эпоху Эйлера не было отчетливого понимания, что математические символы получают смысл не сами по себе, а в силу надлежащих определений. Тогда считали, что если какое-то математическое выражение написано, то оно обязательно имеет числовое значение, и дело лишь в том, чтобы найти это значение. Сколь ни гениален был Эйлер, но он был сыном своего времени, и ему был присущ характерный для этого времени описанный здесь «математический фетишизм».

∞

4. Ряд ∑ 1n расходится. Действительно для частичных сумм этого ряда справедливо

n=1

Используя очевидное равенство (см. разложение правильной дроби на простейшие

дроби) ( 1 1) = 1 − 11 , преобразуем сумму Sn :

n n+ n n+

5

n=1

5. В заключение рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q (q ≠ 0) ,

n=1

Если a = 0 , то наша прогрессия превращается в ряд 0 +0 +0 + . Этот случай не представляет интереса, и мы предполагаем a ≠ 0 . Сумма первых n членов этого ряда равна

Напомним, как получить сумму геометрической прогрессии:

 При q = −1 получим расходящийся ряд a −a + a −a + . Его n-я частичная сумма равна

lim Sn = lim na = ∞, т. е. ряд расходится.

n→∞ n→∞

Из сопоставления всего сказанного вытекает

Теорема 1.1. Ряд (1.3), составленный из членов геометрической прогрессии, сходится тогда и только тогда, когда модуль ее знаменателя меньше единицыq <1. В этом случае

a + aq + aq2 + + aqn−1 + = 1−aq .

Ряд (1.3) из членов геометрической прогрессии расходится при q ≥1.

6