(Карина) Условные экстремумы, метод множителей Лагранжа.
f(
,
…,
) определена в D
При этом m<n
Возьмем
(.) x0
= (
D, удовлетворяющую (1)
Определение:
x0
- (.)
условного максимума функции
f при условиях (1), если
:
x удовлетворяет (1), f(x)
f(x0)
x0
- (.) условного
минимума функции
f при условиях (1), если
:
x удовлетворяет (1), f(x)
f(x0)
Метод множителей Лагранжа
Функция
L(x,
)
= f(x) +
- функция Лагранжа
x = (x1, …, xn)
=
(
,
…,
)
- множители Лагранжа
Теорема 1: необходимое условие условного экстремума
Пусть
f,
удовлетворяет
условиям:
непрерывна в D
имеют непрерывные частные производные в D
0
в D, (Якобиан; берем последние n “иксов”)
x0 - (.) условного экстремума функции f
Тогда
набор
,
…,
),
так что все частные производные
=
0
(2)
Теорема 2: достаточное условие условного экстремума
Пусть f, удовлетворяет тем же условиям, что и в первой теореме и они являются дважды непрерывно-дифференцируемы в U(x0), x0 удовлетворяет условию (2)
Если d2L(x0, ) > 0, при выполнении условий (1), то х0 - (.) условного минимума
Если d2L(x0, ) < 0, при выполнении условий (1), то х0 - (.) условного максимума
f( , …, ) определена в D
При этом m<n
Возьмем (.) x0 = ( D, удовлетворяющую (1)
Определение: x0 - (.) условного максимума функции f при условиях (1), если : x удовлетворяет (1), f(x) f(x0)
x0 - (.) условного минимума функции f при условиях (1), если : x удовлетворяет (1), f(x) f(x0)
Метод множителей Лагранжа
Функция L(x, ) = f(x) + - функция Лагранжа
x = (x1, …, xn)
= ( , …, ) - множители Лагранжа
Теорема 1: необходимое условие условного экстремума
Пусть f, удовлетворяет условиям:
непрерывна в D
имеют непрерывные частные производные в D
0 в D, (Якобиан; берем последние n “иксов”)
x0 - (.) условного экстремума функции f
Тогда набор , …, ), так что все частные производные
= 0 (2)
Теорема 2: достаточное условие условного экстремума
Пусть f, удовлетворяет тем же условиям, что и в первой теореме и они являются дважды непрерывно-дифференцируемы в U(x0), x0 удовлетворяет условию (2)
Если d2L(x0, ) > 0, при выполнении условий (1), то х0 - (.) условного минимума
Если d2L(x0, ) < 0, при выполнении условий (1), то х0 - (.) условного максимума