Добавил:

mizuki Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Теория / теория по производным.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2024

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

8. Решения и ответы

Пример 4. Решение:

	5ln x		2	arctgx lg 20	2x tg3
y	5ln x			arctgx lg 20	2x tg3
		5	x	7
			x

5(ln x) 2(x 5 ) (arctgx) lg 20 (2x ) (tg3)

		1				7			12		1			x
		1				7					1			x
5			2					x	5			lg 20 2			ln 2 0
5			2					x			1 x	lg 20 2			ln 2 0
		x				5
		x				5
											2
	5			14				1		lg 20 ln 2 2			x
													x
	x		5	5	x		1 x		2
				5	12

В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что lg 20 и tg3 – постоянные числа, неважно чему они равны, важно, что это константы.

Поэтому lg 20																																				0 .
Поэтому lg 20								выносится за знак производной, а (tg3)																												0 .
Пример 7. Решение:
				1
y				1			3		x	2													1		(		3	x	2	cos x)
y									x			cos x													(			x		cos x)
						2																	2
	1						2
	1		((x				3	) cos x										3		x		2		(cos x) )
							3
	2				2
	1				2				1
									1
							x		3	cos x									3		x			2	( sin x)
									3
	2				3
	2				3
	1 2cos x													3			2
														3		x	2		sin x
							3									x			sin x
	2						3		x
	2					3			x
	cos x								1		3		x		2	sin x
											3				2
		3				x			2
		3
	3
Пример 9. Решение:
							x												x				5) cos x (3										x		(cos x)
y						3	x	5								(3			x														x	5)
						3		5								(3																		5)
																															2
						cos x																								cos	2	x
						cos x																								cos		x
	(3			x		ln 3 0) cos x																	(3			x		5) ( sin x)
	(3					ln 3 0) cos x																	(3					5) ( sin x)
																	cos				2			x
																					2

	3	x		ln 3				cos x (3											x	5)sin x
	3			ln 3				cos x (3												5)sin x
												cos				2	x
																2

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	45

Пример 12. Решение:

																							1
						arcctgx
y										3								(x						arcctgx)
										3			x
													x
						1																1
((x						3		) arcctgx x														3	(arcctgx) )
((x								) arcctgx x															(arcctgx) )

					1						4													1					1
											4													1
								x			3		arcctgx x											3
								x					arcctgx x
					3																						1 x				2
					3																						1 x
	arcctgx																1
	3					4							3		x (1 x					2	)
	3			x		4							3							2
	3			x
Пример 14. Решение:
y (cos 2x) sin 2x (2x) sin 2x 2 2sin 2x
Пример 16. Решение:
								1																																			7							14x
y								1											((x2 1) 7 ) 7(x2 1) 8 (x2 1)																								7		(2x 0)					14x
y							2							7					((x2 1) 7 ) 7(x2 1) 8 (x2 1)																							2		8	(2x 0)						2		8
			(x				2					1)		7																										(x		2		8					(x		2		8
			(x									1)																												(x			1)						(x			1)
Пример 19. Решение:
																													1											6
										5																			1						1					6									1								1
										5																			5						1					5									1								1
																																								5
y																5 ((x ln x)																5				(x ln x)					(x													1
y																5 ((x ln x)													)			5				(x ln x)					(x			ln x)										1
			5			x ln x																													5												5 (x ln x)6										x
Пример 21. Решение:
													2													3											2							1						2
y (arccos													2		x) 2arccos											3	x	(arccos x)
y (arccos															x) 2arccos												x	(arccos x)
																																					arccos	3	x					1 x		2	1 x	2		arccos					3	x
																																					arccos		x					1 x			1 x			arccos						x
Пример 23. Решение:
y (					x			2		4 ln(sin x))
y (					x					4 ln(sin x))
(		x	2			4) ln(sin													x)					x	2	4		(ln(sin						x))
(		x				4) ln(sin													x)					x		4		(ln(sin						x))
				1									(x			2			4) ln(sin							x)				x		2	4		1		(sin x)
																2																2
	2	x								4
	2	x			2					4																								sin x
					2
				1									(2x						0) ln(sin							x)				x	2		4		1		cos x
																															2
	2	x								4
	2	x			2					4																								sin x
					2
	x ln(sin									x)							x	2	4 cos x
	x ln(sin									x)							x		4 cos x
		x		2					4										sin x
		x							4										sin x

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	46

Ответы на Математический диктант:

(		1 x									2			)									x
											2												1 x
																							1 x						2
																													2
((2 x)													4					4(2 x)														3
((2 x)															)			4(2 x)
						1																			2
						1																			2

																										1)2
2x 1																					(2x					1)2
		x									1							x

		5																5
(e				)											e
(e				)								5			e
																																	9
	x													10								10			x								9
						4																								4
						4																								4
	3																						3 3
	3																						3 3

			1		x 2																				1		x 2
	7		2											x ln 7 7											2
	7													x ln 7 7

(ln( x x															2		))					1 2x
															2
																						x x						2
																						x x

(sin						2	x) 2sin x cos x
(sin							x) 2sin x cos x
(sin						x		2		)								2x cos x								2
(sin						x				)								2x cos x
(cos(2x													2			x 1)) (4x 1)sin( 2x																				2	x 1)
(cos(2x																x 1)) (4x 1)sin( 2x																					x 1)
(tg						x )																1
(tg						x )												2		x cos								2				x
																												2

(ctg(3x 5))																																3
(ctg(3x 5))																													2					5)
																								sin					2		(3x
																								sin							(3x
(e		sin x					) e											sin x		cos x
(e							) e													cos x
(			log								x )																	1
(			log						3		x )								2x ln 3													log			x
									3
																																		3
																																		3
(ln( arctgx))																														1
(ln( arctgx))																						(1 x							2		)arctgx
																													2

(arctg(ln x))					1
(arctg(ln x))				x(1 ln			2	x)
							2

	3	x 4	) ln 2	(3x	2	1) 2
(2	x	x 4			2
(2
(arctg4x)				4
(arctg4x)					2
			1 16x		2
			1 16x

x	3	x 4

	4			4arcctg3 x
(arcctg		x)			1 x2
					1 x2
			))		6x	2
		3			6x
(arcsin( 2x					1 4x			6
								6

								5

(arccos(3			5x))				(3		5x)2
					1		(3		5x)2

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	47

Пример 25. Решение:

а)

б)

y (ln	2	(2x 1)) 2 ln( 2x 1) (ln( 2x 1))

2ln( 2x		1)	1	(2x 1)			2ln( 2x 1)			(2	0)	4ln( 2x 1)
			2x 1				2x 1							2x 1

y (cos arctg(x					3	) ) sin	arctg(x	3	) (		arctg(x		3	) )

					1
sin		3	)		1		(arctg(x			3
	arctg(x										))

				2 arctg(x3 )
				2 arctg(x3 )
					1				1
sin		3	)		1				1	(x		3
	arctg(x											)
								1	(x3 )2
				2	arctg(x3 )			1	(x3 )2
					1				1
sin	arctg(x3 )				1				1	3x2

									(x3 )2

				2	arctg(x3 )	1

Примечание: ответ лучше оставить именно в таком виде – это значительно облегчает его проверку

Пример 27. Решение: преобразуем функцию:

					2						5			2																			1
y 5					2									2							5	2 (					x 1)						5
y 5				x 1																		2 (					x 1)
													x 1
									5				x 1
									5
Найдем производную:
																						2		(				x 1)
														1							5	2														6
y		5	2 (				x 1)							5																						5			(			x 1)
		5												5																						5
																						5
																						5
	5		2				1										1												5		2
			2				1										1														2
		5				(	x 1)												x					10				x			(				x 1)
		5			5	(	x 1)						6			2			x					10				x	5		(				x 1)								6
					5								6																5														6
Пример 29. Решение:
		5x			xarctg(							3											5(x					2	xarctg(														3
y				2								3			sin e				3x		)							2															3		sin e					3x
y															sin e						)							)																	sin e						)
							arctg(									3							) x arctg(												3
																3	sin e				3x														3			sin e					3x
5 2x (x)																	sin e																					sin e								)
																										x															1

10x arctg(								3								3x		)															(sin								3			3x
										sin e										1 (3																						e					)
										sin e															sin e3x )2																	e					)
																									sin e3x )2
								3																	x						1										2
																3x																									2			3x								3x
																																									3
10x arctg(																		)																							3							(sin e
										sin e																						3		sin								e												)
										sin e										1 3				sin 2 e3x								3		sin								e												)
10x arctg(								3										)												x																			cos e						(e
								3								3x														x																							3x			3x
										sin e																																															)

																				3(1				3		sin 2 e3x )										3				sin 2 e3x
																				3(1				3		sin 2 e3x )										3				sin 2 e3x
																												x cos e3x
10x arctg(3										sin e3x )																		x cos e3x																					3e3x

																				3(1				3		sin 2 e3x )										3				sin 2 e3x
																				3(1				3		sin 2 e3x )										3				sin 2 e3x
																										xe3x cos e3x
10x arctg(3										sin e3x )																xe3x cos e3x

																				(1		3			sin 2 e3x ) 3												sin 2 e3x
																				(1		3			sin 2 e3x ) 3												sin 2 e3x

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	48

y ( (uv)

Пример 31. Решение:

((x 1)

2 (2x

((x 1) x

(2x

(x 1)

(2x

1))

2 (x 1)

( x

1) (x 1) x

2 4x

((x 1)

2) ) (2x

3x2

(x 1)

x 2

(2x 1) 4x(x 1)

Примечание: перед дифференцированием можно было раскрыть скобки

(2x

1) (2x

x 1)

и использовать правило

один раз.

u v uv

Пример 33. Решение:

ln x)

ln x (x 2)

ln x

2) x

x 2

((x

) ln x

(ln x) ) (x

2) x

ln x (1 0)

(x 2)

ln x

2x ln x x

(2x ln x x)(x 2) x

ln x

(x 2)

Пример 35. Решение: сначала преобразуем функцию:

						1	1
y ln	x	2	3x ln( x	2	3x)	2	1	ln( x	2	3x)
						2
							2

Найдем производную. Используем правило дифференцирования сложной функции:

(2x 3)

ln( x

3x)

ln( x

3x)

(x2

3x)

2(x2

3x)

Пример 36. Решение: сначала преобразуем функцию:

		x	2	4											1							1
y ln		x		4		ln( x					2	4) ln( x 1)			3		ln( x	2	4)			1	ln( x 1)
											2							2

		3	x 1																			3
		3

Найдем производную:

				2				1								2				1				2x		1
y	ln( x				4)				ln( x 1)					(ln( x
y	ln( x				4)				ln( x 1)					(ln( x			4))				(ln( x 1))			x2 4
								3												3				x2 4	3(x 1)
Пример 38. Решение: используем логарифмическую производную:

						1 x2
ln y ln x
ln y ln x						1	x
						1	x

												1
							1 x			2
										2			2


ln y ln x ln							1 x
							1 x

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	49

														1							1 x							2
ln y ln x														1				ln			1 x
ln y ln x														2				ln				1 x
														2								1 x
ln y ln x														1				ln(1 x											2			)				1			ln(1 x)
																													2
														2																						2
														2																						2
Дифференцируем обе части:

													x							1				ln(1 x											2	)				1
(ln y) ln													x											ln(1 x												)					ln(1 x)
																					2																			2
1	y				(ln x)																1			(ln(1 x													2	))				1		(ln(1			x))
																																					2
y																					2																					2
y																					2																					2
Таким образом:																																											1															1		x			1		1 x
			1														1																										1															1		x			1		1 x
y																																																																	2
y																						2			(0 2x)																						(0 1)								y						2			x
									2(1 x													2		)																2(1 x)																			(1	x	2	)			1 x
			x						2(1 x															)																2(1 x)																		x	(1	x		)	2(1 x)		1 x
Пример 40. Решение: используем логарифмическую производную:
ln y ln x									2 x			2
									2 x

ln y 2x								2	ln x
ln y 2x									ln x
(ln y) (2x													2			ln x)
(ln y) (2x																ln x)
1	y				2((x								2			) ln x									x						2		(ln x) )
													2																		2
y
y
																										1						y				2x(2ln x 1) x2 x																	2
y 2 2x ln x x2																																y				2x(2ln x 1) x2 x

																										x
Пример 41. Решение: используем логарифмическую производную:
												cos					x
y (x						2	1)					cos					2
						2


																				cos				x
ln y ln( x										2			1)							cos				2
										2


ln y cos										x			ln( x										2		1)
																							2
									2
									2

																	x		ln( x								2				1)
(ln y) cos																			ln( x												1)
																	2

1	y														x						ln( x									2			1) cos										x		(ln( x				2	1))
	y						cos														ln( x												1) cos												(ln( x					1))
y															2																											2
											x							x																												x				1
											x							x																2												x				1						2
y					sin																				ln( x											1) cos																			(x		1)		y
y					sin					2															ln( x											1) cos																1)			(x		1)		y
										2								2																												2 (x2						1)

																																										x
				1						x																									2x cos																cos			x
																								2											2x cos							2					2				cos			x
																								2																		2					2						2
		2 sin 2												ln( x											1) (x2															1)					(x			1)					2
		2 sin 2												ln( x											1) (x2															1)					(x			1)

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	50

Пример 43. Решение: найдем первую производную:

																																																							x		2		1 x										1			2x
							x															(x)						x					1 x (											x				1)									2										2		x		1
							x															(x)						x		2			1 x (											x		2		1)																			2		x	2	1
y																																																																						2
y
					x		2																								(				x			2		1)			2																						x	2	1
					x					1						x									x						(				x					1)																									x		1
		x		1												x			2						x		2		1 x												2
																			2								2														2
			2																	1														1																1															1
			2										x																	x
													x				2													x			2
																	2																2
						x		2		1																		x			2		1												2		1)						2		1										2	1)		3
								2																							2												(x									x										(x
																																											(x									x										(x

Найдем вторую производную:

										1																											3							3										5
y										1													((x			2		1)									2 )							3	(x			2		1)				2	(x			2		1)
y																							((x					1)									2 )								(x					1)				2	(x					1)

					(x				2		1)						3																											2
					(x						1)																																	2

							3													2x													3x
							2			1)				5						2x													2		1)							5
		2		(x			2							5														(x					2									5
		2		(x																								(x
Пример 45. Решение: найдём пятую производную:
y (5				x	)						5	x		ln 5
y (5					)						5			ln 5																									) ln 5 5											ln 5 5								ln				5
y ( y ) (5													x			ln 5) ln 5 (5																					x		) ln 5 5										x	ln 5 5						x		ln			2	5
													x																								x												x							x					2
y ( y ) (5															x		ln				2		5) ln						2			5 (5								x		) ln			2		5 5				x	ln 5 5								x		ln	3	5
															x						2								2											x					2						x									x			3
y	(4)	( y ) (5																x		ln			3	5) 5							x		ln			4			5
	(4)																	x					3								x					4
y	(5)	( y				(4)				) (5										x		ln		4	5)		5						x	ln				5		5
y		( y								) (5												ln			5)		5							ln						5


Очевидно, что			y		(n)		5

Ответ: y	(5)	5	x	ln		5	5,

Пример 47. Решение:

x	ln		n	5
	ln			5
	y	(n)			5	x	ln	n	5
	y				5		ln		5

найдём несколько производных:

y (( x 2)			1	) (x 2)								2			1
			1									2
																			2
													(x 2)						2
													(x 2)
y (( x 2)				2	)		( 2) (x 2)							3					1 2
				2										3
																		(x 2)				3
																		(x 2)
y 1 2 ((x 2)							3	) 1 2 ( 3) (x 2)													4			1 2 3
							3														4
																							(x				2)	4
																							(x				2)
y	(4)	1 2 3 (( x 2)							4	) 1 2 3							( 4) (x 2)									5			1 2 3	4
	(4)								4																	5
																													(x 2)	5
																													(x 2)
																					( 1)		n	n!
Запишем «энную» производную:															y	(n)					( 1)			n!
																(n)
																					(x 2)				n 1
																									n 1

Таким образом:							y(20)			( 1)20 20!										20!
Таким образом:							y(20)				(x 2)21							(x 2)21
											(x 2)21							(x 2)21
Ответ: y(20)								20!

						(x 2)21
						(x 2)21

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	51

Пример 50. Решение:

( y sin x) (cos( x y))

y sin x y(sin x) sin( x y) (x y)

y sin x y cos x sin( x y) (1 y )

y sin x y cos x sin( x y) y sin( x y)

y sin x y sin( x y) sin( x y) y cos x

(sin x sin( x y)) y sin( x y) y cos x

Таким образом: y

sin( x y) y cos x

sin x sin( x y)

sin( x y) sin x

Пример 52. Решение:

(ln y)

arctg

y xy

( y

) y y

xyy

( y

) y xyy y

( y2 x2 xy) y y2

x2 xy

Пример 54. Решение: используем формулу

. В данном случае:

(cos t t sin t)t

(cos t)t

(t sin t)t sin t

(t)t

sin t t(sin t)t

sin t sin t t cost t cost

sin t

(sin t)t (1

sin t) sin t(1 sin t)t

(1 sin t)2

sin t

cost(1 sin t) sin t cost

cost sin t cost sin t cost

cost

(1 sin t)2

sin t)2

Таким образом:

t cost

t cost(1 sin t)2

t(1 sin t)

cost

(1 sin t)2

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	52

Пример 56. Решение:

а) Найдем первую производную. Используем формулу:

В данном случае:

y
x

yt xt

cos

4cos

3t (cos 3t)

2cos

3t ( 3sin 3t) 6cos

3t sin 3t

3t t

(sin

3t) 4sin

(sin 3t)

4sin

3t 3cos3t

12sin

3t cos 3t

6cos

3t sin 3t

cos

ctg

12sin

3t cos3t

2sin

( y )

Вторую производную найдём по формуле

yxx

( y )

(ctg

3t)

2ctg3t (ctg3t)

3ctg3t

ctg3t

sin

Таким образом:

3ctg3t

sin

3ctg3t

12sin

3t cos3t

12sin

3t cos3t

4sin

б) Найдём первую производную:

)

(arctge )

)

1 e

))

)

(2t) )

(ln(1 e

(1 e

(0 e

1 e

2e2t

2e2t (1 e2t )

1 e2t

(1 e2t ) et

1 e2t

Вторая производная:

( y )

2(e

( yx )t

В результате:

2et

2et (1 e2t )

2(1 e

yxx

)

1 e2t

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	53

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в папке Теория

#
28.01.20241.47 Mб12теория по интегралам часть 2.pdf
#
28.01.20241.64 Mб11теория по интегралам.pdf
#
28.01.20241.15 Mб6теория по пределам.pdf
#
28.01.20241.39 Mб11теория по производным.pdf