- •Задание
- •Исходные данные
- •1 Определение передаточных функций системы в разомкнутом и замкнутом состоянии
- •2 Построение лачх, лфчх, переходной и импульсной переходной характеристик замкнутой системы
- •3 Определение устойчивости замкнутой системы
- •3.1 Критерий Гурвица
- •3.2 Критерий Рауса
- •3.3 Критерий Михайлова
- •3.4 Критерий Найквиста
3.2 Критерий Рауса
Для определения устойчивости замкнутой системы воспользуемся критерием Рауса. Для формулировки этого критерия используется таблица Рауса (рисунок 10).
Рисунок 10 – Коэффициенты таблицы Рауса
В первой строке выписываются коэффициенты характеристического полинома с четными индексами, а во второй строке – коэффициенты с нечетными индексами в порядке их возрастания. Элементы последующих строк вычисляются по формулам:
; ; ;
Составим таблицу Рауса для рассматриваемой системы в замкнутом состоянии. Передаточная функция такой системы получена в пункте 1 и имеет следующий вид:
Коэффициенты полинома приведены в таблице 3.
Таблица 3
а0 |
а1 |
а2 |
а3 |
0,5 |
3.04 |
30 |
60 |
Найдем значения коэффициентов таблицы Рауса, используя программу на рисунке 11.
Рисунок 11 – Программа для нахождения недостающих коэффициентов таблицы Рауса
В результате работы программы получаем значения, показанные на рисунке 12.
Рисунок 12 – Найденные неизвестные коэффициенты таблицы Рауса
Заполним таблицу Рауса (таблица 4) согласно рисунку 10, используя найденные коэффициенты полинома (рисунок 12):
Таблица 4
№ |
1 |
2 |
3 |
1 |
0,5 |
30 |
0 |
2 |
3,04 |
60 |
0 |
3 |
20,1316 |
0 |
0 |
4 |
60 |
0 |
0 |
Согласно критерию Рауса, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были положительны. В данном случае, критерий Рауса выполняется, поэтому система является устойчивой.
3.3 Критерий Михайлова
Определим устойчивость замкнутой системы с использованием критерия Михайлова. Запишем ещё раз передаточные функции, полученные в пункте 1.
Передаточная функция замкнутой системы:
Для того чтобы получить кривую Михайлова, используем программу, показанную на рисунке 13:
Рисунок 13 – Программа для построения кривой Михайлова
В командном окне получаем следующие значения:
Рисунок 14 – Результат работы программы в MATLAB для построения кривой Михайлова
На рисунке 15 представлена кривая Михайлова для замкнутой системы.
Рисунок 15 – Кривая Михайлова для замкнутой системы
Из рисунка 15 следует, что критерий Михайлова выполняется, так как кривая Михайлова начинается на положительной вещественной полуоси и обходит 3 квадранта на комплексной плоскости против часовой стрелки. Следовательно, замкнутая система устойчива.
3.4 Критерий Найквиста
Согласно критерию устойчивости Найквиста, для того, чтобы замкнутая система управления с отрицательной обратной связью была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами АФЧХ замкнутой системы отрезка вещественной оси ( ) была равна (где – число правых корней характеристического уравнения замкнутой системы). Для построения АФЧХ в MATLAB используется функция nyquist. Чтобы найти корни характеристического уравнения, воспользуемся функцией pole.
Программа для построения АФЧХ системы и для нахождения полюсов передаточной функции приведён на рисунке 16.
Рисунок 16 – Программа для построения АФЧХ и нахождения корней
А ФЧХ разомкнутой системы приведена на рисунке 17, АФЧХ замкнутой системы – на рисунке 18.
Рисунок 17 – АФЧХ разомкнутой системы
Рисунок 18 – АФЧХ замкнутой системы
З начения корней характеристического полинома для разомкнутой системы (слева) и замкнутой системы (справа) представлены на рисунке 19.
Рисунок 19 - Корни характеристического полинома
Так как вещественные части всех корней отрицательные, то число правых корней равно нулю . На отрезке ( ) нет ни положительных, ни отрицательных переходов. Следовательно, согласно критерию Найквиста и разомкнутая, и замкнутая система является устойчивой.
Вывод
В ходе выполнения домашнего задания были найдены передаточные функции для заданной системы с разомкнутой и замкнутой обратной связью, были получены графики ЛАЧХ и ЛФЧХ, а также переходной и импульсной переходной характеристик. Также для исходной системы было определено, что система является устойчивой по всем рассмотренным критериям: Гурвица, Рауса, Михайлова и Найквиста.
Список использованной литературы
Управление в технических системах: учебник / Н. П. Деменков, Е. А. Микрин. — Москва: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. —452 с.: ил. ISBN 978-5-7038-4661-2. [Электронный источник] (дата обращения 17.11.2023 г.) Ссылка: https://bmstu.press/catalog/item/5057/
Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы — 2-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. — 312 с.
Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы — 2-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. — 440 с.