2. Фазы. Условия равновесия фаз. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса.

Равновесные системы могут состоять из нескольких физически однородных частей или фаз. Допустим, например, что предварительно откачанный сосуд частично заполняется водой. Содержимое сосуда будет представлять собой систему, состоящую из двух фаз: жидкой (вода) и газообразной (водяные пары). Если бросить в сосуд кусочки льда то, система может превратиться в трехфазную. В системе появится дополнительно твердая фаза (лед).

Выясним, при каких условиях система, состоящая из двух или нескольких фаз, будет находиться в равновесии. Как и в случае однородных систем, эти условия включают в себя равенство давлений (механическое равновесие) и температур (тепловое равновесие) по разные стороны границы раздела соприкасающихся фаз. Строго говоря, равенство давлений выполняется только в случае плоских границ раздела.

Равенство давлений и температур еще не означает, что система находится в равновесии, так как фазы могут превращаться друг в друга. При равновесии массы всех фаз системы остаются неизменными.

Рассмотрим систему, состоящую из двух фаз, которые могут превращаться друг в друга. Пусть – масса первой, а – масса второй фазы. Обозначим через и удельные свободные энергии Гиббса вещества в этих фазах (свободная энергия Гиббса , ее приращение для элементарного квазистатического процесса ). Удельная свободная энергия Гиббса является функцией температуры и давления. Свободная энергия Гиббса всей системы представится в виде . Пусть давление и температура системы поддерживаются постоянными. При фазовых превращениях полная масса вещества не меняется, могут меняться только массы и . Изменения в системе будут происходить в направлении уменьшения свободной энергии Гиббса. Если , то вещество из первой фазы будет переходить во вторую более устойчивую. Наоборот, если , то доля второй фазы уменьшается, а первой соответственно увеличивается. Только при условии

(4) фазы будут находиться в равновесии друг с другом. Таким образом, условием равновесия фаз является равенство их удельных термодинамических потенциалов.

Для определенности рассмотрим процессы испарения и конденсации. Состояние вещества будем изображать точкой на плоскости TP. Каждая точка этой плоскости соответствует однородному (однофазному) состоянию вещества – либо жидкости, либо ее пару. Исключение составляет точки линии OA. На этой линии выполняется равенство (4). Каждая точка линии OA представляет либо жидкость, либо ее пар, либо смесь этих фаз. Уравнение кривой OA

дает кривую сосуществования фаз, которое также дает зависимость давления насыщенного пара от температуры. Кривая равновесия жидкости и ее пара (кривая испарения) оканчивается сверху в критической точке. Точки, лежащие левее кривой испарения, соответствуют жидкому состоянию вещества, а точки, лежащие правее этой кривой, – газообразному состоянию.

Найдем наклон кривой испарения . При смещении вдоль кривой испарения или

, где – удельные энтропии и удельные объемы пара и жидкости. Последнее соотношение запишем в виде

. Фазовые превращения, вообще говоря, сопровождаются выделением или поглощением тепла. Например, при переходе единицы массы вещества из газообразного состояния 1 в жидкое 2 выделяется тепло

. При обратном переходе из жидкого состояния 2 в газообразное 1 такое же тепло волновое поглощается. Предполагается, что переход совершается квазистатически при постоянной температуре, а, следовательно, и при постоянном давлении. Тепло q называется удельной теплотой испарения. В общем случае оно называется удельной теплотой фазового превращения (плавления, возгонки и т.п.). Таким образом,

. (5) Это соотношение называется уравнением Клапейрона-Клаузиуса.

Билет 18:

1. Гидростатика. Закон Паскаля. Закон Архимеда. Основное уравнение гидростатики.

2. Первое начало термодинамики. Макроскопическая работа, количество тепла.

1. Гидростатика. В отличие от твердых тел жидкости и газы в состоянии равновесия не обладают упругостью формы. Это означает, что касательные напряжения, какими бы малыми они не были, приводят к движению жидкости и, поэтому, при равновесии в жидкости и газе касательные напряжения отсутствуют. В состоянии равновесия величина нормального напряжения в жидкости или газе не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует. Для доказательства рассмотрим некоторую точку сплошной среды. Через нее проведем координатные оси x, y, z. Возьмем произвольно ориентированную площадку, ограниченную соответствующими координатными плоскостями. Обозначим через n вектор нормали к этой площадке. Координатные плоскости и площадка ограничивают некоторую часть сплошной среды. При равновесии результирующая сила, действующая на эту часть, равна нулю. Это можно записать как

. Умножая скалярно это соотношение последовательно на i, j, k, найдем

. Это соотношение выражает закон Паскаля: в состоянии равновесия нормальное напряжение (давление P) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Мысленно выделим в жидкости элементарный объем. Найдем суммарную силу, действующую на него. Объемные силы дают вклад , действие поверхностных сил определяется интегралом , взятым по поверхности данного элемента. В векторном анализе доказывается, что

. Таким образом, сила dF, действующая на элементарный объем, равна

.

В состоянии равновесия сила, действующая на любой выделенный объем жидкости, равна нулю. В результате получаем уравнение

, (1) которое называется основным уравнением гидростатики.

Закон Архимеда. Если тело, погруженное в жидкость, удерживается в механическом равновесии, то на него действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости. Эта сила направлена вверх и проходит через центр масс жидкости, вытесненной телом. (Согласно закону Паскаля).

Первое начало термодинамики. выражает закон сохранения энергии для макроскопических явлений, протекающих с поглощением или выделением тепла.

В механике энергия складывается из кинетической энергии макроскопического тела и его потенциальной энергии во внешних полях. Для изолированной системы полная механическая энергия сохраняется. Но это справедливо только в тех случаях, когда все действующие в системе силы являются консервативными. (С силами трения – выделение тепла). Нарушение механического закона сохранения энергии объясняется тем, что макроскопическая механика учитывает не всю энергию (не учитывает энергию внутреннего движения атомов и молекул, энергию взаимодействия между ними).

Рассмотрим газ в цилиндре с поршнем. Вычислим бесконечно малую или элементарную работу A, совершаемую газом при бесконечно малом квазистатическом изменении объема. Сила давления газа на поршень равна , где S – площадь поршня. Если поршень переместится на расстояние dx, то газ совершит работу или

(макроскопическая работа газа), (1) где dV – приращение объема газа. Выражение (1) справедливо и в общем случае квазистатического изменения объема газа.

Внутренняя энергия системы (газа) определяется как ее полная энергия за вычетом кинетической и потенциальной энергии системы как целого. Внутренняя энергия может быть изменена двумя разными способами: 1) совершением работы A газом; 2) приведением газа в тепловой контакт с некоторым телом. Если при этом работа не совершается, то количество энергии, полученное (или отданное) газом при таком контакте, принято называть подведенным к газу (или отведенным от газа) количеством тепла и обозначать его символом Q (Q>0 подводится к системе, Q<0 отводится от системы.)

Второй процесс называется теплообменом. По сути, теплообмен есть микроскопическая работа, производимая межмолекулярными силами.

, (2)

Если процесс круговой, т.е. в результате система возвращается в исходное состояние, то . Таким образом, в круговом процессе все тепло, полученное системой, идет на производство внешней работы .

Билет 19:

1. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

2. Классическое волновое уравнение. Бегущие волны. Гармоническая бегущая волна, ее характеристики (длина волны, частота и др.).

Стационарное движение идеальной жидкости. Если жидкость находится в движении, то в ней могут возникать и касательные напряжения или силы внутреннего трения. Жидкость, в которой при любых движениях не возникают силы внутреннего трения, называется идеальной. Таким образом, в идеальной жидкости могут существовать только силы нормального давления P. Напишем уравнение движения идеальной жидкости. Выделим в жидкости элементарный объем. В общем случае на него действуют объемные и поверхностные силы. Равнодействующая этих сил, как было найдено ранее, равна

. По второму закону Ньютона . Из чего следует

. Это уравнение является основным уравнением динамики идеальной жидкости. Оно называется еще уравнением Эйлера.

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в каком-либо потенциальном силовом поле, например, в поле силы тяжести. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока. Трубка тока – эта трубчатая поверхность, образованная линиями тока. Поэтому, трубка тока ведет себя подобно боковой поверхности жесткой трубки, вдоль которой течет жидкость.

Применим к течению в этой трубке закон сохранения энергии. Выделим часть трубки тока ABCD. Через бесконечно малый промежуток времени она займет положение ABCD. При перемещении торцевых границ силы давления совершают элементарную работу

, где и – перемещения соответствующих границ. Силы давления на боковых поверхностях трубки тока работы не совершают, поскольку они перпендикулярны скорости жидких частиц. Для стационарного движения массы жидкости в объемах ABAB и CDCD равны между собой. Обозначив ее через dm, можно записать . Для работы окончательно находим

. Приращение энергии выделенной части жидкости равно

, где и есть удельная энергия в соответствующих сечениях трубки тока. По закону сохранения энергии . Раскрывая это равенство, получаем

.

Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при стационарном течении идеальной жидкости остается постоянной величина

. Это соотношение называется уравнением Бернулли.

Волновое уравнение. Рассмотрение волновых процессов будем проводить на примере двух модельных систем.

Первую систему будет представлять прямой длинный стержень, вырезанный из идеально упругого материала. Характеристиками стержня являются линейная плотность m и линейный коэффициент упругости k – коэффициент упругости стержня единичной длины. В стержне колебания частиц сплошной среды допускаются только вдоль оси стержня. Если к некоторому участку стержня длины a приложена сила F то он удлинится на величину a. По закону Гука .

Вторую систему будет представлять однородная струна с натяжением T и линейной плотностью m. Перемещение частиц струны допускаются в этой модели только в направлении, перпендикулярном покоящейся струне.

Уравнение движения первой системы. В невозмущенном состоянии каждая точка среды занимает определенной положение x. При распространении возмущения, происходит их смещение от своего первоначального положения. Смещение будем характеризовать величиной . Скорость и ускорение частиц среды определяются тогда соответствующими частными производными и . Вообще говоря, смещение частиц среды различно, что приводит к ее деформации и возникновению напряжений. Между деформациями и напряжениями существует связь. Рассмотрим дифференциальный элемент стержня, имеющий в недеформированном состоянии длину dx. При деформации он удлинится на . Следовательно, в стержне возникают силы упругости, величина которых определяется выражением

.

Запишем уравнение движения некоторого элемента x

. Поделив уравнение на mx и перейдя к пределу, получим уравнение

, (1) где представляет собой скорость распространения упругих возмущений.

Уравнение движения второй системы. Пусть характеризует поперечное смещение частицы струны с координатой x. При малых смещениях расстояние между частицами струны в первом приближении не меняется. Следовательно, не меняется и натяжение самой струны. С учетом данного обстоятельства, уравнение движения элемента струны x имеет вид

. При вычислении поперечной силы учтено, что при малых смещениях

, где  – угол между касательной к струне и направлением x. Поделив уравнение на mx и перейдя к пределу, получим уравнение (1), в котором есть скорость распространения малых возмущений вдоль струны.

Уравнение (1) называется классическим волновым уравнением. Пусть некоторая достаточно гладкая функция. Нетрудно установить, что функция является решением волнового уравнения. Действительно, для вторых частных производных имеем

и . Следовательно, функция удовлетворяет уравнению (1). Решение с минусом дает волну, профиль которой без искажений движется со скоростью c в положительном направлении оси x (правую бегущую волну). Решение с плюсом дает волну, движущуюся в отрицательном направлении x (левую бегущую волну).

Волна, распространяющаяся в первой системе, называется продольной волной, во второй – поперечной волной. В продольной волне колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волны, в поперечной волне – перпендикулярно.

Важным случаем бегущих волн являются волны вида

, называемыми гармоническими бегущими или плоскими монохроматическими волнами. Для фиксированного x смещение является гармонической функцией времени. Аналогично, для фиксированного времени t функция представляет собой синусоиду в пространстве с периодом . Здесь и далее используются обозначения: – частота, – период волны.

Перепишем последнее уравнение в виде

, . Величина k называется волновым числом (вектором), скорость c – фазовой скоростью. Выпишем соотношения, связывающие параметры гармонической волны,

, , . (2)

В случае гармонических волн, т.е. волн, в которых колебания частиц среды происходят по гармоническому закону, используется понятие волновой поверхности. Так называют поверхность, на которой все частицы среды совершают колебания в одной фазе. Волновая поверхность имеет наглядный образ в случае волн на поверх­ности воды. Каждая впадина и горб волны представляют собой некоторую волновую поверхность. По форме поверхности различают плоские, сферические и др. типы волн.

Билет 20:

1. Гармонические колебания, их характеристики. Комплексная форма гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний одинаковых и близких частот. Биения.