PDE

Уравнения математической физики

Если расписать коэффициенты, то полученное выражение можно записать в виде:

Функция K(x; t; ) здесь является интегральным ядром некоторого преобразования, которое по заданному начальному условию дает решение задачи с однородными краевыми условиями. Такая функция называется функцией Грина второго рода.

Неоднородное параболическое уравнение (уравнение теплопроводности с источником тепловыделения) отличается от однородного слагаемым в правой части.

@u

@t = a2p^2u + f(x; t)

Способ решения неоднородной задачи гиперболического типа естественным образом переносится на параболические уравнения. Из разложения по базису собственных функций следует следующее уравнение для коэффициентов

C_j + !j2Cj fj = 0

Где fj, как и в случае с волновым уравнением коэффициенты разложения внешней силы (источника тепловыделения) по собственным функциям. Решение этого уравнения методом Лагранжа приводит к частному решению для Cj

Полное решение представляется суммой общего и частного решения.

Причем при t = 0 обнуляется второе слагаемое, а следовательно, коэффициенты Aj являются коэффициентами разложения g(x) в ряд Фурье. Частное же решение неоднородного

30

Уравнения математической физики

уравнения, как обычно, сводится к интегральному преобразованию

Z Z

= G(x; ; t; )f( ; )d d

o 0

Функция Грина G для неоднородной части решения совпадает с уже полученной функцией Грина K для однородного уравнения, сдвинутой на

G(x; ; t; ) = K(x; t ; )

Для неоднородного уравнения с неоднородными условиями и с граничными условиями на концах

Алгоритм решения аналогичен алгоритму для уравнения гиперболического типа. Пусть решение есть сумма некоторой основной функции и вспомогательной , для которой граничные условия полагаются однородными, тогда решение для

Для вспомогательной функции следует искать решение вида

Так как = u , начальные условия для вспомогательной функции

(x; 0) = g(x) (x; 0)(0; t) = (t) (0; t) = 0(l; t) = (t) (l; t) = 0

Частное решение для

(x; t) = (t) + xl [ (t) (t)]

Начальные условия и уравнение для становятся явными, и задача сводится к предыдущей.

31

Уравнения математической физики

3.5Метод Вентцеля Крамерса Бриллюэна.

Уже было установлено, что решением линейного уравнения (1.8) является выражение (1.10) с коэффициентами (1.11), определяемыми из начального условия. Подстановка значений коэффициентов в общее решение приводит к выражению

23

Z

(x; t) = X4 (y) n (y)dy 5 n(x) Exp ~i Ent

nR3

Следует внести сумму под интеграл и вынести из суммы общий множитель

Получившееся выражение является решением задачи Коши с поставленным начальным условием ; функция в квадратных скобках

Называется фундаментальным решением задачи Коши. Легко видеть, что фундаментальное решение было рассмотрено ранее при решении методом разделения переменных и называлось функцией Грина второго рода. Оно также называется ядром оператора эво-

, так как оператор эволюции системы ^ удовлетворяет соотношению

люции U(t)

^

(x; t) = U(t) (x)

Уравнение для оператора получается простой подстановкой определения в уравнение Шредингера после сокращения на функцию, определяющую начальное условие.

^

@U

^ ^

i~ @t = HU

Решение этого уравнения представляется бесконечным рядом

Однако оператор может быть представлен и в интегральной форме

Z

^

U (x) = (y)K(x; y; t)dy

R3

В соответствии с полученными результатами можно искать решение уравнения Шредингера

i~@ = ~2 + U(x)

@t 2m

Отдельно для модуля и аргумента комплекснозначной функции

(x; t) = R(x; t) Exp ~i S(x; t)

32

Уравнения математической физики

Частные производные по координатам

"#

Результат подстановки в уравнение при сокращении на экспоненту можно разделить на два уравнения для мнимой и действительной части.

Im : @t + m(rR; rS) + 2m = 0

Если пренебречь в уравнении для действительной части слагаемым, пропорциональным ~2, то получится т. н. квазиклассическое приближение. Несложно видеть, что в этом случае уравнение принимает вид уравнения Гамильтона-Якоби (1.1).

В общем случае метод ВКБ состоит в поиске приближенного решения уравнения

dnf df

"dxn + : : : + g1(x)dx = g0(x)f

Смалым параметром " решение ищется в виде

Где малый параметр того же порядка. Последующее решение уравнения идет итеративно по соответствующим степеням малого параметра.

3.6Решение уравнений параболического типа.

Пусть дано уравнение параболического типа

@u a2 @2u = 0 @t @x2

Требуется найти его решение, которое удовлетворяет начальному условию u(x; 0) = g(x). Дополнительно имеет смысл ввести требование непрерывности и однозначности u. Фундаментальное решение задачи Коши для этой задачи есть функция Грина K

Z

u(x; t) = K(x; y; t)g(y)dy

R

33

Уравнения математической физики

Теорема 7 Ядро оператора эволюции является решением данного уравнения.

Доказательство. Действительно, пусть u произвольное решение, полученное с начальным условием g(x). Уравнение является линейным, следовательно

И в силу произвольности u, а поэтому и начального условия, можно заключить, что выражение в скобках должно везде равняться нулю. А это и означает, что ядро оператора эволюции является решением уравнения.

^^

Вто же время несложно заметить, что I = K(t = 0), а значит

K(x; y; 0) = (x y)

Следовательно уравнения эволюционного типа возможно решить в общем виде, если удается определить его функцию Грина. Например, для уравнения Шредингера для свободной частицы

Чтобы это уравнение было разрешимо, следует ввести предположение о том, что S зависит от координаты не более чем квадратично; тогда R будет зависеть только от времени. Действительно, если R = R(t), то

dt + 2m @x2 = 0

Первое уравнение является уравнением Гамильтона-Якоби для свободной частицы, решение которого можно получить по уже описанному методу Коши

34

Уравнения математической физики

Также является решением. Подстановка решения в систему приводит к простому дифференциальному уравнению для R

dR R m

dt + 2m t = 0

p

Функция C= t очевидно является решением. Следовательно

K должна удовлетворять начальным условиям, но при t = 0 функция K не определена, однако возможен предельный переход

ss

Предел справа совпадает с одним из определений дельта-функции, то есть для того, чтобы K удовлетворяло начальным условиям, необходимо, чтобы коэффициент при пределе был равен единице, откуда

Как уже упоминалось в первой части курса, уравнение Шредингера является аналитическим продолжением уравнения теплопроводности, а следовательно, обратная замена

~

t ! it 2m ! a2

Приводит уравнение Шредингера к действительному уравнению параболического типа

@u + a2 @2u = 0 @t @x2

И, соответственно, функцию Грина для свободной частоты к функции Грина для этого уравнения

!

Абсолютно аналогично можно прийти и к решению уравнения в трехмерном пространстве

Получить решение простым сдвигом координат не всегда возможно, в частности если уравнение не инвариатно относительно сдвига. В этом случае решение возможно получить, не исключая P из S в выражении (3.5). Если принять S в исходном виде, то вторая

35

Уравнения математической физики

производная S по x будет равна нулю, а следовательно, второе уравнение упрощается до dR=dt = 0. Решение этой системы

(!)

i tP 2

K = C Exp ~ xP 2m

Решение должно удовлетворять начальному условию, но легко убедиться, что данная функция ему не удовлетворяет. Однако при t = 0 Фурье-образ K совпадает с дельта-

p

функцией, если C = 1= 2 ~.

^

Теорема 8 Если K(x; ; t) является решением линейного уравнения Lu = 0, то любое интегральное преобразование

Z

K0(x; ; t) = K(x; ; t)f( ; )d

R

также является решением данного уравнения.

^

Доказательство. Линейность L позволяет легко получить, что

Z Z

^ ^

L K(x; ; t)f( ; )d = f( ; )LK(x; ; t)d = 0

R R

Эта теорема позволяет применить преобразование Фурье к полученному решению, тогда полученная функция F[K] будет удовлетворять начальному условию.

( )

Z i

F[K] = K(x; p; t) Exp ~x0P dP

R

Окончательное выражение для F[K]

3.7Вариационный метод.

Метод разделения переменных требует решения спектральной задачи, которая в большинстве случаев является строго неразрешимой. Поэтому часто для решения применяются методы теории возмущений разложение по малому параметру или метод, называемый вариационным.

Теорема 9 Пусть дано уравнение Шредингера

^

H ( ) = E ( )

Где вектор координат и времени. Тогда, если спектр ограничен снизу значением E0, выполняется неравенство

h j ^ j i

E0 6 H

36

Уравнения математической физики

^

Доказательство. Пусть точное решение уравнения Шредингера известно. Если H эрмитов, то система его собственных функций f jg является полной и образует базис. Тогда

А следовательно, правую часть неравенства можно заметить на E0, что и требовалось доказать.

Эта теорема говорит о том, что наименьшему значению собственного числа соответствует

минимум функционала h j ^ j i, который далее будет обозначен за J . А значит, доста-

H

точно знать только приблизительный вид решения , который можно представить зависимостью от нескольких параметров

= ( ; !1 : : : !n)

Сами же параметры можно определить минимизацией функционала при условии, что функция удовлетворяет условию нормировки, то есть необходимо решить следующую систему

8

>@J

>= 0

<

@!j

>

>

:h j i = 1

Из этой системы можно определить значения параметров !, тогда первым собственным значением является, очевидно, J (!), а первой собственной функцией соответственно

( ; !).

Теорема 10 Каждая следующая собственная функция определяется из условия равенства минимума функционала J и ортогональности всем известным собственным функциям.

^

Доказательство. Пусть известны первые n собственных функций оператора H, соответствующих первым собственным числам; тогда если в качестве пробной функции взять j( ; !), ортогональную всем известным j, то значение функционала можно оценить снизу так же, как и в предыдущей теореме, однако разложение по собственным функциям пробной функции не должно содержать нулевые коэффициенты при n известных собственных функциях, так как для них выполняется равенство нулю h j ji. Следовательно

Правая часть неравенства снова должна оказаться равной En+1 за счет условия нормировки, что и требовалось доказать.

37

Уравнения математической физики

R

Легко проверить, что условию

@J0 = 0

@a

Удовлетворяет всего одно значение a, равное отношению m! к постоянной Планка. Константа C0 определяется из условия нормировки, в результате получается следующее выражение для собственной функции

Соответствующее значение энергии можно получить при подстановке полученного значения параметра в J0, оно оказывается равным !~=2. Следующую функцию и значение следует выбирать из условия ортогональности к предыдущей

Функционал J1(b) определяется абсолютно аналогично, причем значение параметра b в минимуме совпадает с a. Константа также определяется из условия нормировки

Остальные собственные значения и собственные функции получаются из метода математической индукции.

38