PDE

Уравнения математической физики

Полиномы Лежандра являются решениями уравнения Лежандра, которое часто возникает при решении уравнения Лапласа в сферических координатах

Таким образом, волновая функция имеет вид

( ; ) = AlmPljmj(Cos )eim

Такие функции называют шаровыми или сферическими. Условие нормировки для сферических функций имеет вид

2

ZZ

d Yl;mYl0 ;m0 Sin = (m m0) (l l0)

00

Откуда можно выразить нормировочный коэффициент Alm

s

Alm =

(l jmj)! 2l + 1

(l + jmj)! 4

Так коммутируемость операторов ^z и ^2 позволяет получить вид волновой функции.

L L

Следует заметить, что сферические функции образуют полную систему функций.

§3 Методы решения уравнений в частных производных.

3.1Линейные однородные уравнения первого порядка.

Уравнение в частных производных, в котором участвуют только первые производные от неизвестной функции, называется уравнением первого порядка. Решением такого уравнения является функция u, зависящая от всех переменных xi. Уравнение называется линейным, если u и его производные входят в уравнение только линейно. В этом параграфе будет рассмотрен метод решения линейных однородных уравнений в частных производных.

Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений

Необходимо найти решение задачи Коши такую функцию x(t), которая в момент времени t = t0 удовлетворяет некоторым начальным условиям: x(t0) = x0. Если в решении положить t0 константой, а вектор x0 заменить на вектор произвольных постоянных C, то решение примет вид

x = (t; C)

Вектор произвольных постоянных в решении можно выразить через x и t, получившееся выражение называется общим интегралом системы

Выражение для отдельной компоненты вектора C будет называться первым интегралом системы. Более формально, первым интегралом системы (3.1) называется выражение

20

Уравнения математической физики

i(x; t) = Ci, если Ci 6= 0 и при подстановке любого общего решения системы оно обращается в тождество. Первых интегралов существует бесконечное множество, так как любая функция от первых интегралов также является первым интегралом.

Несложно получить необходимое и достаточное условие первого интеграла. Пусть известно выражение . Если оно является первым интегралом, то дифференциал его равен нулю

Так, первый интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений является решением уравнения в частных производных первого порядка.

Уравнение можно привести к виду, в котором время будет неотличимо от других независимых переменных. В частности, если домножить (3.3) на некоторую функцию f0, а в обозначениях заменить t на x0

Для дифференциалов будет выполняться следующее соотношение

dt =

dxi

fi

Которое после деления на новую функцию f0 приводится к виду

Получившееся уравнение называется уравнением характеристик соответствующего дифференциального уравнения первого порядка в частных производных

(F; r ) = 0

Для уравнения характеристик при n переменных можно получить (n 1) первый интеграл i. Решением данного уравнения является любая функция от первых интегралов системы (3.1).

Теорема 6 Функция u( ) от первых интегралов системы является общим решением уравнения (F; ru) = 0

Доказательство. Функция u( ) действительно является решением системы, это можно показать простой подстановкой функции в уравнение

Последнее равенство выполняется в силу критерия (3.3). Далее следует показать, что u( ) содержит в себе все решения уравнения. Пусть функция f(x) является решением, тогда

21

Уравнения математической физики

Вместе с (n 1) уравнениями для первых интегралов

Образуют систему уравнений относительно F. Эта система имеет нетривиальное решение,

аследовательно, Якобиан системы равен нулю

@(f; 1 : : : n 1) = 0

@(x1 : : : xn)

Из равенства нулю этого Якобиана следует существование функциональной зависимости между f и , из которой можно выразить f как функцию от , то есть f = f( ). Таким образом, любое решение входит в u( ), а следовательно, u является общим решением уравнения.

Решение любого линейного уравнения в частных производных первого порядка можно получить из первых интегралов системы характеристических уравнений. Этот метод подходит также и для неоднородных уравнений и вообще для класса квазилинейных уравнений. Квазилинейным уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение вида

@u @u

P1(x; u)@x1 + : : : + Pn(x; u)@xn = R(x; u)

Это уравнение следует свести к линейному обыкновенному уравнению. Решение в неявной форме

v(u; x) = 0

Дифференциал от функции v очевидно равен нулю

Из последнего выражения, если приравнять каждое слагаемое к нулю в последнем равенстве, можно получить выражение для производной функции u. Поэтому домножение исходного уравнения на @v=@u приводит его к виду

@v @v @vP1(x; u)@x1 + : : : Pn(x; u)@xn = R(x; u)@u

То есть исходное уравнение свелось к линейному однородному уравнению относительно v, решением которого является функция от первых интегралов характеристических уравне-

ний для полученной системы

du = dxi R Pi

3.2 Полный интеграл уравнения первого порядка.

Для уравнения в частных производных первого порядка с n неизвестными

F (x; ru; u) = 0

22

Уравнения математической физики

Полным интегралом называется решение, которое зависит от x и еще от n произвольных постоянных C. Если из этого уравнения возможно выразить (@u=@xk) и представить следующим образом

@u

@xk = f(x; ru)

То легко заметить, что это уравнение по виду будет совпадать с уравнением ГамильтонаЯкоби (1.1), поэтому следует переписать его в виде

!

Если исключить из решения константы, то получившееся решение без констант называется особым интегралом. Следует отметить, что получить все возможные решения из полного интеграла подстановкой всех возможных C не всегда возможно.

Записанное уравнение Гамильтона-Якоби является следствием вариационного принципа для H, который эквивалентен системе уравнений (1.1), для которой можно составить характеристическое уравнение, использовав связь между импульсом и производящей функцией S (1.6).

Чтобы найти решение поставленной задачи, следует доказать, что S является функцией действия. Вариация действия по истинной траектории при незакрепленной конечной точке может быть записана как

То есть p = rS. Тогда дифференцирование интеграла действия по времени приводит к следующему соотношению

Следовательно функция действия удовлетворяет этому же уравнению и решением поставленной задачи является функция действия

Где S0 начальное действие в момент времени t0. Его можно определить, пользуясь (1.6), так как интеграл при t0 обнуляется

23

Уравнения математической физики

Однако непосредственная подстановка решения уравнений Гамильтона дает 2n + 1 констант, где n является числом координат системы, так как n констант соответствуют начальным импульсам, еще n начальным координатам и одна начальному времени. Однако из разрешенной системы 2n уравнений для q и p можно выразить начальные координаты.

qi(t0) = i(t; t0; q; p0)

Окончательный вид функции действия следующий

3.3Классификация линейных уравнений второго порядка.

В общем виде линейное уравнение второго порядка имеет вид

Функция u, обращающая уравнение в тождество, называется регулярным решением. Уравнение можно переписать в векторном виде

h i

^r r r

Q ; + (b; ) + g(x) u = f(x)

Квадратичную форму ^ в некоторой области D можно привести к каноническому ви-

Q(x)

ду виду, в котором она будет диагональной матрицей с коэффициентами 1 и 0. Привести уравнение к каноническому виду можно несколькими способами, однако число положительных и отрицательных коэффициентов является инвариантной величиной.

Если все коэффициенты в канонической квадратной форме ^ уравнения внутри некоторой

Q

области D имеют одинаковый знак, то уравнение называется уравнением эллиптического типа в этой области. Если хотя бы один из коэффициентов равен нулю, то уравнение называется уравнением параболического типа. Если один из коэффициентов отличается знаком уравнением гиперболического типа (или ультрагиперболического типа, если отличных коэффициентов больше одного).

Привести уравнение к каноническому виду возможно довольно редко, только в двумерном случае всегда удается определить соответствующее преобразование координат. Пусть дано уравнение второго порядка

Выражение в скобках на вид уравнения не влияет, поэтому его можно исключить из рассмотрения, обозначив за F . С помощью преобразования x ! ( ; ) и y ! ( ; ), имеющего обратное, уравнение приводится к виду

@2u @2u @2u

a @ 2 + 2b @ @ + c @ 2 + F = 0

24

Уравнения математической физики

Где новые коэффициенты выражаются через производные преобразования следую- a; b; c

щим образом

Следует рассмотреть выражение для коэффициента a. При некотором преобразовании коэффициент зануляется, то есть

Легко показать, что решением этого уравнения будет интеграл характеристического уравнения

Действительно, для интеграла характеристического уравнения верно

@ @

d = @x dx + @y dy = 0

Откуда можно получить выражение для производной y, которое при подстановке дает исходное уравнение. Решением этого уравнения, как несложно видеть, является

dy b 1

p

dx = a a b2 ac

От вида решения характеристического уравнения зависит то, какого типа уравнение получится в результате. Если уравнение имеет два действительных корня, то для данного уравнения существуют два интеграла и , причем в силу того, что выражения для a и c совпадают, соответствующая замена ! и ! зануляет эти коэффициенты. При занулении коэффициентов получается канонический вид уравнения гиперболического типа

@2u

@ @ + F = 0

Если в этом уравнении сделать дополнительную замену ! (p + q)=2 и ! (p q)=2, то в результате получается уравнение

@2u @2u

@p2 @q2 = 4F

Если характеристическое уравнение имеет только один корень, то соответственно известным остается только один интеграл ; вторую замену можно подобрать либо так, чтобы якобиан преобразования был ненулевым в каждой точке области, либо из канонического преобразования. Часто замену второй переменной можно не производить, так как y ! y

25

Уравнения математической физики

не зануляет якобиан преобразования. С помощью найденного преобразования можно занулить только один коэффициент, например a. Характеристическое уравнение имеет один корень, если b2 = ac и в выражении для коэффициента можно собрать полный квадрат

Третий случай два комплексно сопряженных корня и соответствует уравнению эллиптического типа. Для того чтобы остаться в области действительных чисел, следует выполнить замену ! Re и ! Im , в результате уравнение примет вид

@2u @2u

@ 2 + @ 2 = F

3.4 Метод разделения переменных.

В однородном уравнении гиперболического типа

1 @2u @2u v2 @t2 = @x2

С однородными начальными условиями u(0; t) = u(l; t) = 0 возможно разделение переменных. Для этого достаточно разложить решение уравнения u по системе собственных функ-

ций оператора

@2 p^2 = @x2

Каждому собственному значению p2j соответствует собственная функция j. Тогда, используя разложение u, исходное уравнение можно переписать следующим образом

Где коэффициенты разложения Cj зависят только от времени, а, соответственно, собственные функции оператора p^2 только от координат. Раскрытие скобок приводит к уравнению для коэффициентов

При предположении, что оно выполняется, только когда все слагаемые равны нулю, оно переходит в уравнение для Cj, где !j = vpj

26

Уравнения математической физики

Для оператора p^2 спектральная задача легко разрешима, она имеет вид

d2 j = p2 j dx2 j

Если интересоваться только действительной частью решения, то с учетом однородных начальных условий решением задачи является

jj = Aj Sin (pjx) pj = l

При закрепленных концах получается дискретный спектр. Константа Aj определяется из условия нормировки

Тогда система собственных функций в явном виде задается следующим образом

s

!

2j x

Уравнение для коэффициентов ряда Фурье имеет тот же самый вид, поэтому его решение

Cj = Aj Cos(!jt) + Bj Sin(!jt)

Следовательно общее решение поставленного уравнения при заданных граничных условиях

Для задачи Коши, если задан начальный профиль струны g(x) = u(x; 0), очевидно выполняется соотношение

То есть Aj есть коэффициенты разложения начального профиля струны в ряд Фурье. Аналогично можно показать, что коэффициенты Bj связаны с разложением в ряд Фурье функции распределения начальных скоростей в струне q(x)

Для неоднородного гиперболического уравнения, описывающего вынужденные колебания струны с закрепленными концами

@2u = v2 @2u + f(x; t) @t2 @x2

Следует поступить аналогично предыдущему способу, только дополнительно разложив f по базису собственных функций оператора p^2.

X

j

27

Уравнения математической физики

Приравнивая к нулю каждое слагаемое, можно перейти к обыкновенному неоднородному линейному дифференциальному уравнению, которое решается методом Лагранжа. Решение системы методом Лагранжа приводит к частному решению для Cj

Чтобы получить полное решение, необходимо к частному прибавить общее решение, которое было получено в предыдущей задаче

Решение u также является суммой общего решения однородного уравнения и частного решения Y неоднородного уравнения

Подстановка в этот интеграл выражений для fj и j приводит к другой его форме

00

t l

Z Z

= G(x; t; ; )f( ; )d d

0 0

Функция G называется функцией Грина первого рода. Функция Грина, как несложно видеть интегральное ядро оператора, дающего частное решение уравнения по его правой части.

Для неоднородного уравнения с неоднородными условиями с граничными условиями на концах

Решение можно представить как сумму некоторой основной функции и вспомогательной , для которой граничные условия полагаются однородными; тогда решение для определяется уже описанным методом. Уравнение перепишется

28

Уравнения математической физики

Для вспомогательной функции решение следует искать вида

Так как = u , начальные условия для вспомогательной функции

(x; 0) = g(x) (x; 0)

(0; t) = (t) (0; t) = 0(l; t) = (t) (l; t) = 0

Самое простое решение, удовлетворяющее последним двум условиям, можно определить

следующим образом

(x; t) = (t) + xl [ (t) (t)]

Тогда начальные условия и уравнение для становятся явными и задача сводится к предыдущей.

Метод применим и для уравнений параболического типа, например для уравнения тепло-

проводности

@u = a2 @2u = a2p^2u @t @x2

Со следующими начальными условиями

u(x; 0) = g(x) u(0; t) = 0 u(l; t) = 0

Собственные функции оператора p^2 для данных граничных условий уже были найдены выше. Уравнение с разделенными переменными

X

j

Тогда если обозначить !j = apj, то выражение для коэффициентов

dCj = !2dt

Cj j

Поэтому окончательно решение принимает вид

Коэффициенты, как и в предыдущей задаче, являются коэффициентами разложения начальных условий в ряд Фурье.

X

g(x) = Aj j

j

29