Дуплякин В.М. Статистический анализ

1.3. Обобщённая теорема Чебышева

Теорема П.Л.Чебышева обобщается на более сложный случай независимых опытов в переменных условиях, а именно когда закон распределения случайной величины Х от опыта к опыту изменяется.

величин X1, X2, ... , Xn с различными в каждом опыте математическими ожиданиями mx1, mx2 ,...,mxn и дисперсиями Dx1, Dx2 ,..., Dxn .

Кроме того предполагается, что все дисперсии ограничены сверху одним и тем же

В такой постановке обобщённая теорема Чебышева сводится к следующему: "При возрастании числа независимых опытов n в переменных условиях среднее арифметическое наблюдаемых значений величин X1, X2, ... , Xn сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий".

где ε и δ − произвольные малые положительные числа.

Доказательство.

Рассмотрим величину Y = 1 ån Xi . n i=1

Найдём для этой величины математическое ожидание и дисперсию, пользуясь известными

теоремами о числовых характеристиках

10

что и представляет собой доказательство обобщённой теоремы Чебышева.

1.4. Теорема Маркова

Эта теорема представляет собой наиболее общий случай закона больших чисел в следующей формулировке:

"Если имеются статистически зависимые случайные величины X1, X2, ... , Xn для совокупности которых при неограниченном увеличении числа опытов n → ∞ соблюдается

вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий".

Марков Андрей Андреевич (1856-1922) – ближайший ученик П.Л.Чебышева, который внес особенно большой вклад в становление и развитие теории случайных процессов, специфическая разновидность которых вошла в

современную математическую литературу как так называемые марковские процессы и до сих пор широко используется при исследовании и моделировании систем массового обслуживания.

* Напомним, что две случайные величины являются статистически зависимыми, если закон распределения одной из них зависит от того какое значение приобрела другая из рассматриваемых величин. Статистическая

зависимость включает в себя как частный случай функциональную зависимость и поэтому является более широким понятием.

11

Формализованное оформление теоремы Маркова выглядит следующим образом

Доказательство.

Рассмотрим среднее арифметическое наблюдаемых значений Y = 1 ån Xi . n i=1

Найдём для этой величины математическое ожидание и дисперсию, пользуясь известными

что и требовалось доказать.

1.5. Теорема Я. Бернулли*

Известная теорема Якоба Бернулли устанавливает связь между частотой появления наблюдаемого события и его вероятностью:

"При неограниченном увеличении числа независимых опытов в постоянных условиях,

т.е. при , n → ∞ частота события А, а именно p* сходится по вероятности к его истинной вероятности p ".

* Якоб Бернулли (Jakob Bernoulli, 1654-1705) – знаменитый швейцарский математик.

12

Частота случайного события p* здесь, как это принято в теории вероятностей,

понимается в виде отношения числа опытов m благоприятствующих появлению данного события к общему числу опытов n , т.е.

результату и Xi2 = 1, если i − й опыт закончился с интересующим нас результатом.

Как и для всякой дискретной величина, её распределение характеризуется статистическим рядом, который в данном случае имеет вид

Математическое ожидание величины Xi в отдельно взятом опыте вычисляется как

n

åXi

13

Согласно теореме П.Л.Чебышева при независимых опытах в постоянных условиях среднее арифметическое сходится по вероятности к математическому ожиданию, что в

нашем случае записывается следующим образом

Именно это и требовалось доказать.

Следует подчеркнуть особое значение теоремы Я.Бернулли для решения вероятностных задач, т.к. именно эта теорема обосновывает возможность оценки вероятностей интересующих нас на практике событий, исходя их обработки наблюдений независимых опытов в постоянных условиях.

1.6. Теорема Пуассона*

При изменяющихся условиях опыта так же имеет место устойчивость частоты появления события, что формулируется в тереме Пуассона:

"Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы, но при этом используется обобщённая теорема Чебышева, применяя которую необходимо убедиться в ограниченности дисперсий.

Обобщённая теорема Чебышева декларирует сходимость по вероятности среднего

арифметического наблюдаемых значений величин X1, X2, ... , Xn к среднему

арифметическому их математических ожиданий при независимых опытах в переменных условиях и ограниченности дисперсий

где ε и δ − произвольные малые положительные числа.

* Simeon Denis Poison (1781-1840) – выдающийся французский математик и физик, известное распределение

которого и в настоящее время широко используется в теории массового обслуживания при моделировании потоков событий.

14

Применительно к частоте события на основании обобщённой теоремы Чебышева можно записать

Таким образом, что бы доказать сходимость частоты события к его вероятности, в

данном случае нужно доказать ограниченность дисперсий статистических оценок

Доказав ограниченность дисперсии статистических оценок вероятности, мы тем самым доказали теорему Пуассона, которая имеет принципиальное значение для практики, поскольку часто вероятностные методы используются для исследования явлений, которые физически не могут много раз повторяться в одинаковых условиях. При меняющихся условиях вероятности рассматриваемых событий сильно зависят этих условий. Устойчивость частот выражается здесь в том, что частота события приближается к средней вероятности.

15

2. ВЫБОРОЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА

Числовые характеристики случайных величин, получаемые опытным путём, сами являются случайными величинами. Например, среднее арифметическое при увеличении числа опытов приближается к математическому ожиданию, но всё же здесь имеет место только лишь сходимость по вероятности, а обработка конкретной выборки приводит к получению статистических оценок, включающих в себя случайные отклонения от генеральных характеристик.

Любая из выборочных оценок случайна и при её использовании возможны ошибки, поэтому желательно выбрать такие оценки искомых характеристик, что бы эти ошибки были по возможности минимальными.

2.1. Требования к выборочным оценкам

Допустим, что нас интересует некоторая характеристика a для случайной величины Х, которая в реальной задаче приобретает конкретный смысл, например, математическое ожидание, дисперсия, какой-либо начальный или центральный момент с заданным порядком, вероятность некоторого события и т.п.

Выполнено n независимых опытов и получены значения рассматриваемой случайной

величины

X1, X2 , ..., Xi ,..., Xn .

Выборочная оценка a* является функцией наблюдаемых случайных величин и

поэтому сама является случайной величиной

a* = a(X1, X2 , ..., Xi ,..., Xn ) .

Закон распределения величины a* зависит от самого a , от наблюдаемых значений

X1, X2 , ..., Xi ,..., Xn , от числа опытов n и может быть найден известными методами теории вероятностей, что представляет сложную в математическом плане задачу, но для многих практически значимых случаев имеются известные решения.

Исходя из общей постановки задач математической статистики, к выборочным оценкам a* предъявляются требования состоятельности, несмещённости и эффективности.

16

1. Состоятельность – сходимость по вероятности к истинному значению при увеличении числа опытов:

P( a* - a < ε ) >1-δ ,

(2.1)

для любых малых положительных величин ε и δ , если n ® ¥.

2. Несмещённость – отсутствие систематическое ошибки (постоянное отклонение в одну сторону), что выражается в равенстве математического ожидания выборочной оценки

истинному значению данной характеристики

3. Эффективность – минимальное рассеивание (минимальная дисперсия)

2.2. Свойства выборочных оценок математического ожидания

Рассмотрим свойства выборочных оценок математического ожидания при независимых опытах.

В качестве статистической оценки математического ожидания используем среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины Х

Тем не менее, в этом следует убедиться, проверив состоятельность, несмещённость и эффективность предлагаемой статистической оценки дисперсии.

2.2.1. Состоятельность – поскольку речь об оценке математического ожидания,

декларируется следующим образом

Это свойство выборочных оценок математического ожидания фактически устанавливается теоремой Чебышева, в которой утверждается, что среднее арифметическое

наблюдаемых значений при независимых опытах в постоянных условиях сходится по вероятности к математическому ожиданию

17

Для случайной величины, которая является линейной функцией других случайных

Пользуясь теоремами о числовых характеристиках случайных величин и учитывая, что рассматриваются независимые опыты в постоянных условиях, приходим к следующим

соотношениям

Можно показать, что для нормального закона распределения приведенная статистическая оценка математического ожидания всегда будет минимальной, т.е. эффективной. Для других законов распределения это может быть и не так.

2.3. Свойства выборочных оценок дисперсии

На первый взгляд наиболее естественной оценкой, по аналогии с равновозможными дискретными случайными величинами, является статистическая дисперсия, вычисляемая как

2.3.1. Состоятельность – т.к. речь идёт об оценке дисперсии, то её состоятельность

формулируется следующим образом

для любых малых положительных величин ε и δ при неограниченном числе опытов.

Попробуем убедиться в состоятельности оценки дисперсии, обратившись к теореме

Чебышева для некоторой величины Y

18

В качестве Y возьмём второй начальный момент Y = α2x . Выборочная оценка этого

момента вычисляется как

Как видно, выборочный второй начальный момент находится как среднее арифметическое квадратов отдельных значений рассматриваемой случайной величины,

потому данная оценка сходится по вероятности к своему истинному значению по теореме Чебышева, т.е.

для любых малых положительных величин ε и δ при неограниченном увеличении числа опытов.

Можно показать, что квадрат выборочного математического ожидания сходится к квадрату истинного значения математического ожидания, т.е.

для любых малых положительных величин ε и δ при неограниченном увеличении числа опытов.

Объединяя два предыдущих неравенства в одно и выполнив перегруппировку, и

учитывая соотношения

получим следующее неравенство показывающее сходимость статистической оценки дисперсии к своему истинному значению

2.3.2. Несмещённость – а именно то, что M[Dx*] = Dx .

Выразим статистическую оценку дисперсии через оценки второго начального момента и математического ожидания