Дуплякин В.М. Статистический анализ
.pdf
Задаваемое значение абсолютной погрешности дисперсии |
D связано |
с левой |
границей доверительного интервала соотношением D1 = D* − D. |
Отсюда с |
учётом |
формулы (8.6) получим |
|
|
|
D (n −1) |
= D - D . |
(8.7) |
|
χ 2 |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Вводя относительную погрешность ε = D/D* , из последнего соотношения получим |
|||
|
n = (1 − ε)χ21 + 1 . |
(8.8) |
|
Значения χ21 берутся по таблицам Пирсона П.7 в зависимости от r = (n − 1) |
|
||
и p1 = (1 − β)/2 , β − где доверительная вероятность.
Достаточно сложное решение уравнения (8.8) относительно числа опытов n представлено графически на рисунке 8.2.
Рис. 8.2 – К планированию оценки дисперсии
Из приведенных рассуждений видно, что, определяя объём выборки необходимый для оценки дисперсии, получаем, однозначное решение, задаваясь относительной, а не абсолютной погрешностью.
90
Если рассматриваемая случайная величина, для которой планируется определение дисперсии, распределена по закону, отличному от нормального, то приведенная методика может приводить к существенным ошибкам.
Возвратившись к абсолютной погрешности дисперсии D , отметим, что её планирование намного сложнее. При необходимости контроля этой величины можно предложить следующее решение.
Задавшись некоторой относительной погрешностью ε, найдём потребное число опытов n. Затем, после выполнения этих опытов, определим статистическую оценку Dx* (смотри раздел 4.1.1) и на основании формулы (8.7) вычислим абсолютную погрешность
D = D (1− |
n −1 |
) , |
(8.9) |
|
|||
x |
χ2 |
|
|
|
1 |
|
|
выбрав значение χ21 по таблицам Пирсона П.7 в зависимости от r = (n−1) и p1 = (1−β)/2 .
Убедившись, что полученное значение абсолютной погрешности D нас удовлетворяет, считаем выполненное число опытов достаточным. В противном случае проводятся дополнительные опыты.
Пример. Необходимо определить число опытов, которое позволит получить оценку дисперсии случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, с относительной погрешностью 15% при доверительной вероятности 0,90.
Воспользовавшись графиком на рисунке 8.2, получим n = 200. Из того же графика видно, что, при планировании вдвое меньшего числа опытов n = 100, с принятой доверительной вероятностью 0,90 возможное значение относительной погрешности увеличивается до 20%.
Сопоставляя полученный результат с приведенным ранее примером планирования оценки математического ожидания можно убедиться, что, выполнив определённое число опытов и получив статистические оценки математического ожидания и дисперсии, мы всегда
получаем оценку дисперсии с гораздо меньшей точностью по сравнению с точностью оценки математического ожидания для этой же выборки.
91
8.3. Планирование оценивания вероятности наблюдаемых событий
Обратимся к приближённому построению доверительного интервала вероятности наблюдаемых событий Jβ(p) = (p1; p2), рассмотренному в разделе 6.3.
Границы доверительного интервала определяются с помощью распределения Стьюдента в виде
p = p m t |
β |
|
p (1- p ) |
|
, |
|
|||||
1,2 |
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
p* − частота появления события (статистическая вероятность), tβ − параметр распределения Стьюдента, определяемый по доверительной вероятности β и числа опытов n−1.
где |
(8.10) |
таблице П.4 для заданной
Погрешность оценки вероятности на основании формулы (8.10) определяется как
ε = tβ |
|
p (1- p ) |
|
. |
(8.11) |
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
Решение уравнения (8.11) относительно числа опытов n весьма затруднительно, так как от n зависит параметр tβ. Поэтому обратимся к приближённому решению, записав уравнение (8.11) в виде
n - A×tβ2 = 0 , (8.12)
где A = p (1- p )/ε 2 .
Решение уравнения (8.12) для заданных значений параметра А представлено графически на рисунке 8.3.
Чтобы воспользоваться графиками на рисунке 8.3, следует для заданной погрешности ε и принятой величины частоты события p* вычислить значение параметра А. Затем, непосредственно, из графика для соответствующей доверительной вероятности определяется необходимое число опытов n.
Очевидным неудобством в данном случае является необходимость предварительной оценки частоты события p*.
92
Рис. 8.3 – К планированию оценивания вероятности
Отклонение распределения рассматриваемой случайной величины от нормального закона распределения в данной задаче большого значения не имеет, так как частота события по закону больших чисел имеет распределение, приближающееся при увеличении числа опытов к нормальному закону.
Пример. При выполнении 100 опытов получено 25 благоприятных исходов рассматриваемого события, поэтому полученная частота события принимается в качестве его
вероятности
p = 10025 = 0,25 .
Можно ли с доверительной вероятностью β=0,90 утверждать, что полученная оценка имеет абсолютную погрешность менее 0,10 ?
По формуле (8.12) вычислим A = 0,25×(1- 0,25) / 0,12 =18,75 .
На рисунке 8.3 для β = 0,90 находим n = 55. Потребное число опытов оказалось меньше 100, поэтому полученная оценка вероятности обладает желаемой точностью.
93
8.4. Планирование оценивания вероятности редких событий
Допустим, что планируется наблюдение редких событий, которые при проведении опытов могут ни разу не реализоваться. В разделе 8.4 рассматривалось построение доверительного интервала для такого случая и показано, что его левая граница равна нулю,
то есть Jβ(p)=(0 ; p2) .
Отсутствие результата при проведении заданного числа опытов в данном случае позволяет назначить верхнее возможное значение вероятности события p2.
Рассмотрим обратную задачу, определения необходимого числа безрезультативных опытов, проведение которых позволяет назначить верхнюю границу вероятности редкого события с доверительной вероятностью β. Непосредственно из формулы (6.15) следует
решение этой задачи в виде
n = |
lg(1−β ) |
|||
|
|
|
. |
|
lg(1− p |
2 |
) |
||
|
|
(8.13) |
||
Пример. Требуется определить, сколько безрезультативных опытов следует запланировать, чтобы с вероятностью 0,95 назначить верхнее значение вероятности рассматриваемого события равное 0,05.
По формуле (8.13) получаем
n = lg(1−0,95) = 58,4 ≈ 58 . lg(1−0,05)
Смысл этого результата заключается в том, что если при выполнении 58 опытов рассматриваемое событие не реализуется ни разу, то с вероятностью 0,95 можно принять максимальное возможное значение вероятности данного события равное 0,05.
94
ПРИЛОЖЕНИЕ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица П.1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Нормальное распределение |
F(x) = P(X < x) = |
|
|
|
òexp(- t |
|
)dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π −∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
F (x) |
x |
|
F (x) |
x |
F (x) |
x |
|
|
|
|
F (x) |
|||||||||||
0,00 |
0,50000 |
0,76 |
|
0,77637 |
1,52 |
|
|
0,93574 |
|
|
2,28 |
|
|
|
0,98870 |
||||||||
0,02 |
0,50798 |
0,78 |
|
0,78230 |
1,54 |
|
|
0,93822 |
|
|
2,30 |
|
|
|
0,98928 |
||||||||
0,04 |
0,51595 |
0,80 |
|
0,78814 |
1,56 |
|
|
0,94062 |
|
|
2,32 |
|
|
|
0,98983 |
||||||||
0,06 |
0,52392 |
0,82 |
|
0,79389 |
1,58 |
|
|
0,94295 |
|
|
2,34 |
|
|
|
0,99036 |
||||||||
0,08 |
0,53188 |
0,84 |
|
0,79955 |
1,60 |
|
|
0,94520 |
|
|
2,36 |
|
|
|
0,99086 |
||||||||
0,10 |
0,53983 |
0,86 |
|
0,80511 |
1,62 |
|
|
0,94738 |
|
|
2,38 |
|
|
|
0,99134 |
||||||||
0,12 |
0,54776 |
0,88 |
|
0,81057 |
1,64 |
|
|
0,94950 |
|
|
2,40 |
|
|
|
0,99180 |
||||||||
0,14 |
0,55567 |
0,90 |
|
0,81594 |
1,66 |
|
|
0,95154 |
|
|
2,42 |
|
|
|
0,99224 |
||||||||
0,16 |
0,56356 |
0,92 |
|
0,82121 |
1,68 |
|
|
0,95352 |
|
|
2,44 |
|
|
|
0,99266 |
||||||||
0,18 |
0,57142 |
0,94 |
|
0,82639 |
1,70 |
|
|
0,95543 |
|
|
2,46 |
|
|
|
0,99305 |
||||||||
0,20 |
0,57926 |
0,96 |
|
0,83147 |
1,72 |
|
|
0,95728 |
|
|
2,48 |
|
|
|
0,99343 |
||||||||
0,22 |
0,58706 |
0,98 |
|
0,83646 |
1,74 |
|
|
0,95907 |
|
|
2,50 |
|
|
|
0,99379 |
||||||||
0,24 |
0,59483 |
1,00 |
|
0,84134 |
1,76 |
|
|
0,96080 |
|
|
2,52 |
|
|
|
0,99413 |
||||||||
0,26 |
0,60257 |
1,02 |
|
0,84614 |
1,78 |
|
|
0,96246 |
|
|
2,54 |
|
|
|
0,99446 |
||||||||
0,28 |
0,61026 |
1,04 |
|
0,85083 |
1,80 |
|
|
0,96407 |
|
|
2,56 |
|
|
|
0,99477 |
||||||||
0,30 |
0,61791 |
1,06 |
|
0,85543 |
1,82 |
|
|
0,96562 |
|
|
2,58 |
|
|
|
0,99506 |
||||||||
0,32 |
0,62552 |
1,08 |
|
0,85993 |
1,84 |
|
|
0,96712 |
|
|
2,60 |
|
|
|
0,99534 |
||||||||
0,34 |
0,63307 |
1,10 |
|
0,86433 |
1,86 |
|
|
0,96856 |
|
|
2,62 |
|
|
|
0,99560 |
||||||||
0,36 |
0,64058 |
1,12 |
|
0,86864 |
1,88 |
|
|
0,96995 |
|
|
2,64 |
|
|
|
0,99585 |
||||||||
0,38 |
0,64803 |
1,14 |
|
0,87286 |
1,90 |
|
|
0,97128 |
|
|
2,66 |
|
|
|
0,99609 |
||||||||
0,40 |
0,65542 |
1,16 |
|
0,87698 |
1,92 |
|
|
0,97257 |
|
|
2,68 |
|
|
|
0,99632 |
||||||||
0,42 |
0,66276 |
1,18 |
|
0,88100 |
1,94 |
|
|
0,97381 |
|
|
2,70 |
|
|
|
0,99653 |
||||||||
0,44 |
0,67003 |
1,20 |
|
0,88493 |
1,96 |
|
|
0,97500 |
|
|
2,72 |
|
|
|
0,99674 |
||||||||
0,46 |
0,67724 |
1,22 |
|
0,88877 |
1,98 |
|
|
0,97615 |
|
|
2,74 |
|
|
|
0,99693 |
||||||||
0,48 |
0,68439 |
1,24 |
|
0,89251 |
2,00 |
|
|
0,97725 |
|
|
2,76 |
|
|
|
0,99711 |
||||||||
0,50 |
0,69146 |
1,26 |
|
0,89617 |
2,02 |
|
|
0,97831 |
|
|
2,78 |
|
|
|
0,99728 |
||||||||
0,52 |
0,69847 |
1,28 |
|
0,89973 |
2,04 |
|
|
0,97932 |
|
|
2,80 |
|
|
|
0,99744 |
||||||||
0,54 |
0,70540 |
1,30 |
|
0,90320 |
2,06 |
|
|
0,98030 |
|
|
2,82 |
|
|
|
0,99760 |
||||||||
0,56 |
0,71226 |
1,32 |
|
0,90658 |
2,08 |
|
|
0,98124 |
|
|
2,84 |
|
|
|
0,99774 |
||||||||
0,58 |
0,71904 |
1,34 |
|
0,90988 |
2,10 |
|
|
0,98214 |
|
|
2,86 |
|
|
|
0,99788 |
||||||||
0,60 |
0,72575 |
1,36 |
|
0,91308 |
2,12 |
|
|
0,98300 |
|
|
2,88 |
|
|
|
0,99801 |
||||||||
0,62 |
0,73237 |
1,38 |
|
0,91621 |
2,14 |
|
|
0,98382 |
|
|
2,90 |
|
|
|
0,99813 |
||||||||
0,64 |
0,73891 |
1,40 |
|
0,91924 |
2,16 |
|
|
0,98461 |
|
|
2,92 |
|
|
|
0,99825 |
||||||||
0,66 |
0,74537 |
1,42 |
|
0,92220 |
2,18 |
|
|
0,98537 |
|
|
2,94 |
|
|
|
0,99836 |
||||||||
0,68 |
0,75175 |
1,44 |
|
0,92507 |
2,20 |
|
|
0,98610 |
|
|
2,96 |
|
|
|
0,99846 |
||||||||
0,70 |
0,75804 |
1,46 |
|
0,92785 |
2,22 |
|
|
0,98679 |
|
|
2,98 |
|
|
|
0,99856 |
||||||||
0,72 |
0,76424 |
1,48 |
|
0,93056 |
2,24 |
|
|
0,98745 |
|
|
3,00 |
|
|
|
0,99865 |
||||||||
0,74 |
0,77035 |
1,50 |
|
0,93319 |
2,26 |
|
|
0,98809 |
|
|
3,20 |
|
|
|
0,99931 |
||||||||
Примечание: для отрицательных аргументов |
|
|
F(− |
|
x |
|
) = 1− F(+ |
|
x |
|
) . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
95
Таблица П.2.
Критерий согласия Колмогорова. Значения β=Р (λ)
|
λ |
|
|
|
|
Сотые доли λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 3 |
0,99999 |
0,99998 |
0,99995 |
0,99991 |
0,99983 |
0,9997 |
0,99949 |
0,99917 |
0,99872 |
0,99807 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 4 |
0,99719 |
0,99603 |
0,99452 |
0,99262 |
0,99027 |
0,9874 |
0,98400 |
0,97998 |
0,97532 |
0,96998 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 5 |
0,96394 |
0,95719 |
0,94969 |
0,94147 |
0,93250 |
0,9228 |
0,91242 |
0,90134 |
0,88960 |
0,87724 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 6 |
0,86428 |
0,85077 |
0,83678 |
0,82225 |
0,80732 |
0,7920 |
0,77636 |
0,76042 |
0,74422 |
0,72781 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 7 |
0,71124 |
0,69453 |
0,67774 |
0,66089 |
0,64402 |
0,6271 |
0,61036 |
0,59363 |
0,57700 |
0,56050 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 8 |
0,54414 |
0,52796 |
0,51197 |
0,49619 |
0,48063 |
0,4653 |
0,45026 |
0,43545 |
0,42093 |
0,40668 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 9 |
0,39273 |
0,37907 |
0,36571 |
0,35266 |
0,33992 |
0,3274 |
0,31536 |
0,30356 |
0,29206 |
0,28087 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 0 |
0,27000 |
0,25943 |
0,24917 |
0,23922 |
0,22957 |
0,2202 |
0,21114 |
0,20236 |
0,19387 |
0,18566 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 1 |
0,17772 |
0,17005 |
0,16264 |
0,15550 |
0,14861 |
0,1419 |
0,13556 |
0,12939 |
0,12345 |
0,11774 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2 |
0,11225 |
0,10697 |
0,10190 |
0,09703 |
0,09235 |
0,0878 |
0,08357 |
0,07944 |
0,07550 |
0,07171 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 3 |
0,06809 |
0,06463 |
0,06132 |
0,05815 |
0,05513 |
0,0522 |
0,04949 |
0,04686 |
0,04435 |
0,04196 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 4 |
0,03968 |
0,03751 |
0,03545 |
0,03348 |
0,03162 |
0,0298 |
0,02815 |
0,02655 |
0,02503 |
0,02359 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 5 |
0,02222 |
0,02092 |
0,01969 |
0,01852 |
0,01742 |
0,0163 |
0,01539 |
0,01446 |
0,01357 |
0,01274 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 6 |
0,01195 |
0,01121 |
0,01051 |
0,00985 |
0,00922 |
0,0086 |
0,00808 |
0,00756 |
0,00707 |
0,00661 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. 7 |
0,00618 |
0,00577 |
0,00539 |
0,00503 |
0,00469 |
0,0043 |
0,00408 |
0,00380 |
0,00354 |
0,00330 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 8 |
0,00307 |
0,00285 |
0,00265 |
0,00247 |
0,00229 |
0,0021 |
0,00198 |
0,00186 |
0,00170 |
0,00158 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 9 |
0,00146 |
0,00136 |
0,00126 |
0,00116 |
0,00108 |
0,0010 |
0,00092 |
0,00085 |
0,00079 |
0,00073 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, 0 |
0,00067 |
0,00062 |
0,00057 |
0,00053 |
0,00048 |
0,0004 |
0,00041 |
0,00038 |
0,00035 |
0,00032 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, 1 |
0,00030 |
0,00027 |
0,00025 |
0,00023 |
0,00021 |
0,0001 |
0,00018 |
0,00016 |
0,00015 |
0,00014 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, 2 |
0,00013 |
0,00011 |
0,00010 |
0,00010 |
0,00009 |
0,0000 |
0,00007 |
0,00007 |
0,00006 |
0,00006 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 3 |
0,00005 |
0,00005 |
0,00004 |
0,00004 |
0,00004 |
0,0000 |
0,00003 |
0,00003 |
0,00002 |
0,00002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, 4 |
0,00002 |
0,00002 |
0,00002 |
0,00001 |
0,00001 |
0,0000 |
0,00001 |
0,00001 |
0,00001 |
0,00001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96
|
|
|
|
|
|
Распределение Пирсона χ2 |
|
|
|
|
Таблица П.3 |
||||
p |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
15 |
16 |
17 |
18 |
|
25 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0001 |
29,881 |
31,827 |
33,725 |
35,557 |
37,365 |
39,131 |
40,873 |
42,575 |
|
44,260 |
45,926 |
47,559 |
49,185 |
|
60,136 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0010 |
24,321 |
26,124 |
27,877 |
29,588 |
31,264 |
32,909 |
34,527 |
36,124 |
|
37,698 |
39,252 |
40,791 |
42,312 |
|
52,619 |
0,01 |
18,475 |
20,090 |
21,666 |
23,209 |
24,725 |
26,217 |
27,688 |
29,141 |
|
30,578 |
32,000 |
33,409 |
34,805 |
|
44,314 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
14,067 |
15,507 |
16,919 |
18,307 |
19,675 |
21,026 |
22,362 |
23,685 |
|
24,996 |
26,296 |
27,587 |
28,869 |
|
37,652 |
0,10 |
12,017 |
13,362 |
14,684 |
15,987 |
17,275 |
18,549 |
19,812 |
21,064 |
|
22,307 |
23,542 |
24,769 |
25,989 |
|
34,382 |
0,15 |
10,748 |
12,027 |
13,288 |
14,534 |
15,767 |
16,989 |
18,202 |
19,406 |
|
20,603 |
21,793 |
22,977 |
24,155 |
|
32,282 |
0,20 |
9,803 |
11,030 |
12,242 |
13,442 |
14,631 |
15,812 |
16,985 |
18,151 |
|
19,311 |
20,465 |
21,615 |
22,760 |
|
30,675 |
0,25 |
9,037 |
10,219 |
11,389 |
12,549 |
13,701 |
14,845 |
15,984 |
17,117 |
|
18,245 |
19,369 |
20,489 |
21,605 |
|
29,339 |
0,30 |
8,383 |
9,524 |
10,656 |
11,781 |
12,899 |
14,011 |
15,119 |
16,222 |
|
17,322 |
18,418 |
19,511 |
20,601 |
|
28,172 |
0,35 |
7,806 |
8,909 |
10,006 |
11,097 |
12,184 |
13,266 |
14,345 |
15,421 |
|
16,494 |
17,565 |
18,633 |
19,699 |
|
27,118 |
0,40 |
7,283 |
8,351 |
9,414 |
10,473 |
11,530 |
12,584 |
13,636 |
14,685 |
|
15,733 |
16,780 |
17,824 |
18,868 |
|
26,143 |
0,45 |
6,800 |
7,833 |
8,863 |
9,892 |
10,920 |
11,946 |
12,972 |
13,996 |
|
15,020 |
16,042 |
17,065 |
18,086 |
|
25,222 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,50 |
6,346 |
7,344 |
8,343 |
9,342 |
10,341 |
11,340 |
12,340 |
13,339 |
|
14,339 |
15,338 |
16,338 |
17,338 |
|
24,337 |
0,55 |
5,913 |
6,877 |
7,843 |
8,812 |
9,783 |
10,755 |
11,729 |
12,703 |
|
13,679 |
14,656 |
15,633 |
16,611 |
|
23,472 |
0,60 |
5,493 |
6,423 |
7,357 |
8,295 |
9,237 |
10,182 |
11,129 |
12,078 |
|
13,030 |
13,983 |
14,937 |
15,893 |
|
22,616 |
0,65 |
5,082 |
5,975 |
6,876 |
7,783 |
8,695 |
9,612 |
10,532 |
11,455 |
|
12,381 |
13,310 |
14,241 |
15,174 |
|
21,752 |
0,70 |
4,671 |
5,527 |
6,393 |
7,267 |
8,148 |
9,034 |
9,926 |
10,821 |
|
11,721 |
12,624 |
13,531 |
14,440 |
|
20,867 |
0,70 |
4,671 |
5,527 |
6,393 |
7,267 |
8,148 |
9,034 |
9,926 |
10,821 |
|
11,721 |
12,624 |
13,531 |
14,440 |
|
20,867 |
0,80 |
3,822 |
4,594 |
5,380 |
6,179 |
6,989 |
7,807 |
8,634 |
9,467 |
|
10,307 |
11,152 |
12,002 |
12,857 |
|
18,940 |
0,85 |
3,358 |
4,078 |
4,817 |
5,570 |
6,336 |
7,114 |
7,901 |
8,696 |
|
9,499 |
10,309 |
11,125 |
11,946 |
|
17,818 |
0,90 |
2,833 |
3,490 |
4,168 |
4,865 |
5,578 |
6,304 |
7,041 |
7,790 |
|
8,547 |
9,312 |
10,085 |
10,865 |
|
16,473 |
0,95 |
2,167 |
2,733 |
3,325 |
3,940 |
4,575 |
5,226 |
5,892 |
6,571 |
|
7,261 |
7,962 |
8,672 |
9,390 |
|
14,611 |
0,99 |
1,239 |
1,647 |
2,088 |
2,558 |
3,053 |
3,571 |
4,107 |
4,660 |
|
5,229 |
5,812 |
6,408 |
7,015 |
|
11,524 |
0,9990 |
0,599 |
0,857 |
1,152 |
1,479 |
1,834 |
2,214 |
2,617 |
3,041 |
|
3,483 |
3,942 |
4,416 |
4,905 |
|
8,649 |
0,9999 |
0,300 |
0,463 |
0,661 |
0,889 |
1,145 |
1,428 |
1,734 |
2,060 |
|
2,408 |
2,774 |
3,156 |
3,556 |
|
6,709 |
97
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tβ |
|
|
|
|
Распределение Стьюдента. Значения tβ , удовлетворяющие равенству |
β = 2òSn-1(t)dt |
Таблица П.4 |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n-1 |
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,001 |
0,01 |
0,05 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
|
0,90 |
|
0,99 |
0,999 |
7 |
0,0012989 |
0,012988 |
0,064989 |
0,130293 |
0,263167 |
0,40154 |
0,54911 |
0,71114 |
0,89603 |
1,11916 |
1,41492 |
|
1,89458 |
3,49948 |
5,40807 |
|
8 |
0,0012926 |
0,012931 |
0,064700 |
0,129708 |
0,261921 |
0,39947 |
0,54593 |
0,70639 |
0,88889 |
1,10815 |
1,39682 |
|
1,85955 |
3,35538 |
5,04137 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
0,0012886 |
0,012886 |
0,064477 |
0,129253 |
0,260956 |
0,39787 |
0,54348 |
0,70272 |
0,88340 |
1,09972 |
1,38303 |
|
1,83311 |
3,24984 |
4,78089 |
|
10 |
0,0012847 |
0,012850 |
0,064298 |
0,128890 |
0,26018 |
0,39659 |
0,54153 |
0,69981 |
0,87906 |
1,09306 |
1,37218 |
|
1,81246 |
3,16926 |
4,58676 |
|
11 |
0,0012824 |
0,012822 |
0,064152 |
0,128594 |
0,25956 |
0,39555 |
0,53994 |
0,69744 |
0,87553 |
1,08767 |
1,36343 |
|
1,79588 |
3,10582 |
4,43688 |
|
12 |
0,0012795 |
0,012797 |
0,064031 |
0,128347 |
0,25903 |
0,39469 |
0,53862 |
0,69548 |
0,87261 |
1,08321 |
1,35622 |
|
1,78229 |
3,05454 |
4,31784 |
|
13 |
0,0012778 |
0,012777 |
0,063928 |
0,128139 |
0,25859 |
0,39396 |
0,53750 |
0,69383 |
0,87015 |
1,07947 |
1,35017 |
|
1,77093 |
3,01228 |
4,22093 |
|
14 |
0,0012756 |
0,012759 |
0,063840 |
0,127961 |
0,25821 |
0,39333 |
0,53655 |
0,69242 |
0,86805 |
1,07628 |
1,34503 |
|
1,76131 |
2,97685 |
4,14031 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
0,0012744 |
0,012744 |
0,063764 |
0,127806 |
0,25788 |
0,39279 |
0,53573 |
0,69120 |
0,86624 |
1,07353 |
1,34061 |
|
1,75305 |
2,94673 |
4,07279 |
|
16 |
0,0012733 |
0,012731 |
0,063698 |
0,127671 |
0,25760 |
0,39232 |
0,53501 |
0,69013 |
0,86467 |
1,07114 |
1,33676 |
|
1,74588 |
2,92079 |
4,01487 |
|
17 |
0,0012722 |
0,012719 |
0,063639 |
0,127552 |
0,25735 |
0,39190 |
0,53438 |
0,68919 |
0,86328 |
1,06903 |
1,33338 |
|
1,73961 |
2,89823 |
3,96511 |
|
18 |
0,0012710 |
0,012709 |
0,063587 |
0,127446 |
0,25712 |
0,39153 |
0,53382 |
0,68836 |
0,86205 |
1,06717 |
1,33039 |
|
1,73406 |
2,87844 |
3,92174 |
|
19 |
0,0012699 |
0,012699 |
0,063540 |
0,127352 |
0,25692 |
0,39120 |
0,53331 |
0,68762 |
0,86095 |
1,06551 |
1,32773 |
|
1,72913 |
2,86094 |
3,88332 |
|
20 |
0,0012687 |
0,012691 |
0,063499 |
0,127267 |
0,25674 |
0,39091 |
0,53286 |
0,68695 |
0,85996 |
1,06402 |
1,32534 |
|
1,72472 |
2,84534 |
3,84956 |
|
21 |
0,0012682 |
0,012683 |
0,063461 |
0,127190 |
0,25658 |
0,39064 |
0,53246 |
0,68635 |
0,85907 |
1,06267 |
1,32319 |
|
1,72074 |
2,83137 |
3,81930 |
|
22 |
0,0012676 |
0,012677 |
0,063426 |
0,127120 |
0,25643 |
0,39039 |
0,53209 |
0,68581 |
0,85827 |
1,06145 |
1,32124 |
|
1,71714 |
2,81876 |
3,79223 |
|
23 |
0,0012670 |
0,012670 |
0,063395 |
0,127056 |
0,25630 |
0,39017 |
0,53175 |
0,68531 |
0,85753 |
1,06034 |
1,31946 |
|
1,71387 |
2,80734 |
3,76764 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
0,0012665 |
0,012665 |
0,063366 |
0,126998 |
0,25617 |
0,38997 |
0,53144 |
0,68485 |
0,85686 |
1,05932 |
1,31784 |
|
1,71088 |
2,79695 |
3,74537 |
|
25 |
0,0012659 |
0,012660 |
0,063339 |
0,126944 |
0,25606 |
0,38978 |
0,53115 |
0,68443 |
0,85624 |
1,05838 |
1,31635 |
|
1,70814 |
2,78744 |
3,72514 |
|
26 |
0,0012653 |
0,012654 |
0,063315 |
0,126895 |
0,25595 |
0,38961 |
0,53089 |
0,68404 |
0,85567 |
1,05752 |
1,31497 |
|
1,70562 |
2,77872 |
3,70666 |
|
27 |
0,0012653 |
0,012650 |
0,063292 |
0,126849 |
0,25586 |
0,38945 |
0,53065 |
0,68369 |
0,85514 |
1,05673 |
1,31370 |
|
1,70329 |
2,77068 |
3,68949 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
0,0012642 |
0,012646 |
0,063271 |
0,126806 |
0,25577 |
0,38930 |
0,53042 |
0,68335 |
0,85465 |
1,05599 |
1,31253 |
|
1,70113 |
2,76326 |
3,67392 |
|
29 |
0,0012642 |
0,012642 |
0,063252 |
0,126767 |
0,25568 |
0,38916 |
0,53021 |
0,68304 |
0,85419 |
1,05530 |
1,31143 |
|
1,69913 |
2,75639 |
3,65952 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
0,0012636 |
0,012639 |
0,063234 |
0,126730 |
0,25561 |
0,38903 |
0,53002 |
0,68276 |
0,85377 |
1,05466 |
1,31042 |
|
1,69726 |
2,74998 |
3,64598 |
|
|
|
|
|
|
|
|
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица П.4 (продолжение) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tβ |
|
|
|
Распределение Стьюдента. Значения tβ , удовлетворяющие равенству |
β = 2òSn-1(t)dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n-1 |
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,001 |
0,01 |
0,05 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
|
0,90 |
0,99 |
0,999 |
31 |
0,0012636 |
0,012635 |
0,063217 |
0,126695 |
0,25553 |
0,38891 |
0,52984 |
0,68249 |
0,85337 |
1,05406 |
1,30946 |
|
1,69552 |
2,74404 |
3,63347 |
32 |
0,0012631 |
0,012632 |
0,063201 |
0,126662 |
0,25546 |
0,38880 |
0,52966 |
0,68223 |
0,85300 |
1,05350 |
1,30857 |
|
1,69389 |
2,73849 |
3,62183 |
33 |
0,0012631 |
0,012629 |
0,063185 |
0,126632 |
0,25540 |
0,38869 |
0,52950 |
0,68200 |
0,85265 |
1,05298 |
1,30774 |
|
1,69236 |
2,73329 |
3,61091 |
34 |
0,0012625 |
0,012626 |
0,063171 |
0,126603 |
0,25534 |
0,38859 |
0,52935 |
0,68177 |
0,85232 |
1,05249 |
1,30695 |
|
1,69092 |
2,72839 |
3,60073 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
0,0012619 |
0,012623 |
0,063158 |
0,126577 |
0,25528 |
0,38850 |
0,52921 |
0,68156 |
0,85201 |
1,05202 |
1,30621 |
|
1,68957 |
2,72381 |
3,59112 |
36 |
0,0012619 |
0,012621 |
0,063145 |
0,126551 |
0,25523 |
0,38841 |
0,52908 |
0,68137 |
0,85172 |
1,05158 |
1,30551 |
|
1,68830 |
2,71948 |
3,58210 |
37 |
0,0012619 |
0,012618 |
0,063134 |
0,126527 |
0,25518 |
0,38833 |
0,52895 |
0,68118 |
0,85144 |
1,05116 |
1,30485 |
|
1,68709 |
2,71541 |
3,57366 |
38 |
0,0012619 |
0,012616 |
0,063122 |
0,126504 |
0,25513 |
0,38825 |
0,52883 |
0,68100 |
0,85118 |
1,05077 |
1,30423 |
|
1,68595 |
2,71157 |
3,56566 |
39 |
0,0012614 |
0,012614 |
0,063112 |
0,126482 |
0,25508 |
0,38817 |
0,52871 |
0,68083 |
0,85093 |
1,05040 |
1,30364 |
|
1,68488 |
2,70791 |
3,55809 |
40 |
0,0012614 |
0,012612 |
0,063101 |
0,126462 |
0,25504 |
0,38810 |
0,52861 |
0,68067 |
0,85070 |
1,05005 |
1,30308 |
|
1,68385 |
2,70446 |
3,55096 |
41 |
0,0012608 |
0,012610 |
0,063092 |
0,126443 |
0,25500 |
0,38803 |
0,52850 |
0,68052 |
0,85048 |
1,04971 |
1,30254 |
|
1,68288 |
2,70118 |
3,54426 |
42 |
0,0012608 |
0,012608 |
0,063083 |
0,126423 |
0,25496 |
0,38797 |
0,52840 |
0,68038 |
0,85026 |
1,04939 |
1,30203 |
|
1,68195 |
2,69807 |
3,53772 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
0,0012608 |
0,012605 |
0,063065 |
0,126389 |
0,25488 |
0,38785 |
0,52822 |
0,68011 |
0,84987 |
1,04879 |
1,30109 |
|
1,68023 |
2,69229 |
3,52578 |
46 |
0,0012602 |
0,012602 |
0,063050 |
0,126357 |
0,25482 |
0,38774 |
0,52805 |
0,67986 |
0,84951 |
1,04825 |
1,30023 |
|
1,67866 |
2,68701 |
3,51487 |
48 |
0,0012597 |
0,012599 |
0,063035 |
0,126328 |
0,25476 |
0,38763 |
0,52790 |
0,67964 |
0,84917 |
1,04775 |
1,29944 |
|
1,67722 |
2,68221 |
3,50497 |
50 |
0,0012597 |
0,012597 |
0,063022 |
0,126302 |
0,25470 |
0,38754 |
0,52776 |
0,67943 |
0,84887 |
1,04729 |
1,29871 |
|
1,67591 |
2,67779 |
3,49595 |
52 |
0,0012597 |
0,012594 |
0,063010 |
0,126277 |
0,25465 |
0,38746 |
0,52763 |
0,67924 |
0,84859 |
1,04687 |
1,29804 |
|
1,67469 |
2,67373 |
3,48766 |
54 |
0,0012591 |
0,012592 |
0,062999 |
0,126254 |
0,25460 |
0,38738 |
0,52751 |
0,67906 |
0,84833 |
1,04648 |
1,29743 |
|
1,67357 |
2,66999 |
3,47995 |
56 |
0,0012591 |
0,012590 |
0,062988 |
0,126232 |
0,25455 |
0,38730 |
0,52740 |
0,67890 |
0,84809 |
1,04612 |
1,29685 |
|
1,67252 |
2,66651 |
3,47296 |
58 |
0,0012585 |
0,012587 |
0,062979 |
0,126213 |
0,25451 |
0,38723 |
0,52729 |
0,67874 |
0,84786 |
1,04578 |
1,29632 |
|
1,67155 |
2,66329 |
3,46627 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
0,0012585 |
0,012586 |
0,062970 |
0,126195 |
0,25447 |
0,38717 |
0,52720 |
0,67860 |
0,84765 |
1,04547 |
1,29582 |
|
1,67065 |
2,66027 |
3,46015 |
99