Дуплякин В.М. Теория игр

Выполняя "заметание" серией параллельных отрезков проведённых с некоторым шагом в единичном квадрате, как это показано на рис. 14.7, выявим область возможных решений рассматриваемой задачи. Обратим внимание на то, что точка Нэш-оптимальности оказалась внутри заметаемой области, что вполне закономерно.

Построив серию "заметаемых" отрезков, следует найти точки их пересечения и провести через эти точки огибающую линию, которая будет нелинейной границей области возможных решений.

150

Рис. 14.7 – Построение огибающей заметаемых линий

В конечном итоге, убрав заметаемые отрезки, построим область возможных решений, как в смешанных, так и в чистых стратегиях, представив её на рис. 14.8.

151

Выявление Парето-множества решений в смешанных стратегиях иллюстрируется на рис. 14.9. Следует отметить, что две точки, соответствующие выбору чистых стратегиях, а именно точки М3 и М4 непосредственно примыкают к множеству Парето-оптимальных решений в чистых стратегиях.

152

Рис. 14.9 – Парето-множество решений в смешанных стратегиях

Если рассматривать Парето-оптимальность только в чистых стратегиях, то она достигается в трёх точках: М1, М3, М4. Если же рассматривать Парето- оптимальность как в чистых, так и в смешанных стратегиях, то точка М1 перестаёт принадлежать Парето-множеству.

153

15. МАКСИМИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ ПОВТОРЯЮЩИХСЯ БИМАТРИЧНЫХ ИГР

Повторение биматричных игр позволяет реализовать траектории выбора стратегий, обеспечивающие повышение результативности игроков по сравнению с одноходовым вариантом.

15.1.Игра "Семейный спор"

15.1.1.Доминирование. Решение по Нэшу. Парето-оптимальность

Рассмотрим возможности повышения результативности на известном

примере игры "Семейный спор". В этой игре предполагается, что некая семейная пара (скорее всего молодожёны) пытается найти наилучшие варианты распределения свободного времени: совместное посещение театра или футбола, или те же варианты, но порознь. Естественно, что каждый из игроков Р1 – "ОН", Р2 – "ОНА" имеет свою шкалу предпочтений и соответственно степень удовлетворения, т.е. налицо игровая задача с конфликтом интересов и выбором оптимальных стратегий. Платёжная матрица выигрышей этой игры, где мерой

выигрыша является субъективная оценка полезности или степени удовлетворении, приведена на рис. 15.1.

Рис. 15.1 – Платёжная матрица игры "Семейный спор"

Сначала выполним анализ доминирования строк или столбцов платёжной матрицы, как это показано на рис. 15.2. Убеждаемся, что в представленной матрице нет ни доминирующих строк, ни столбцов, поэтому отсутствует оптимальное равновесие в доминирующих стратегиях.

Как видно из графического анализа, представленного рис. 15.2, в двух игровых ситуациях "1" и "4" имеет место равновесие по Нэшу.

154

Рис. 15.2 – Графический анализ доминирования

Схематично выбор стратегий оптимальных по Парето оформляется следующим образом

Рис. 15.3 – Формализованный выбор Нэш-оптимальных стратегий

Сравнивая найденные Нэш-оптимальные стратегии, убеждаемся в их зеркальной симметрии и как следствие этого в том, что в одноходовом варианте данная игра несправедливая, т.к. один игрок всегда получает больше другого.

Рассмотрим нахождение Парето-множества оптимальных решений данной игры, предполагая, что согласованное поведение игроков в принципе может дать возможность увеличить их выигрыши.

В данном случае, как видно из рис. 15.4, Парето-множество совпадает с множеством Нэш-эффективных решений, поэтому согласованное поведение игроков здесь не даёт выигрыша ни одному из них по сравнению и Нэш- оптимальным выбором стратегий. Игра остаётся несправедливой.

15.1.2. Решение в смешанных стратегиях

Найдём оптимальные по Нэшу решения в смешанных стратегиях.

Вследствие симметрии предпочтений игроков оптимальные смеси стратегий являются как бы зеркально симметричными.

156

Оценим средние возможные результаты игры при случайном перемешивании стратегий с найденными оптимальными по Нэшу пропорциями.

Средний выигрыш первого игрока при равновесии по Нэшу составляет

Средний выигрыш второго игрока при равновесии по Нэшу равен

Анализируя полученные результаты, отметим главное:

При найденной оптимальной смеси стратегий игра становится справедливой.

С помощью статистического имитационного моделирования убедимся в сходимости средних результатам к полученным теоретическим значениям средних выигрышей. Результаты статистического имитационного моделирования выполненного на ЭВМ и представленные на рис. 15.5 – 15.8,

подтверждают сходимость средних результатов игроков именно к полученным теоретическим значениям, но скорость сходимости весьма невелика. Как видно из приведенных данных, безусловная устойчивая сходимость наблюдается после числа повторений игры n > 400 , хотя при рассматриваемой

статистической имитации хорошее совпадение с теоретическими расчётами наблюдается при n = 50, что можно считать случайным совпадением.

157

1

Рис. 15.5 – Сходимость среднего выигрыша игрока Р1

158

Очевидно, что скорость сходимости данной игры к справедливой игре при выборе оптимальной смеси стратегий невелика настолько, что реальные игроки вряд ли дождутся впечатления о том, что выбираемые ими смеси стратегий

оптимальны и скорее всего будут использовать равновероятный случайный выбор стратегий.

159