3.6. Суммирование погрешностей измерений. Оценка результатов косвенных измерений

Суммированием погрешностей называют определение расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оцен­кам ее составляющих.

Если составляющие погрешности подчиняются разным зако­нам распределения и их количество велико, то их суммирование с выявлением функции многомерного распределения представ­ляет неразрешимую задачу.

На практике суммирование заключается, как правило, в опре­делении среднего квадратического отклонения результиру­ющей погрешности по известным составляющих погрешностей. При этом используют ряд упрощений и допущений. Мы приведем лишь основные формулы и правила, которые могут найти приме­нение в строительной практике.

Простейшим случаем, при котором возникает необходимость суммирования погрешностей, является нахождение искомой ве­личины как суммы нескольких составляющих (например, большой длины по частям). Если при этом системати­ческие погрешности при измерениях исключены и коэффициент корреляции между составляющими погрешностями отсутствует, то можно утверждать, что

(3.15)

Если суммируемых составляющих более пяти, то можно утвер­ждать, что распределение случайной погрешности суммы будет близко к нормальному. Для построения доверительного интервала в этом случае можно применить функцию Лапласа.

Если при определении составляющих погрешностей использу­ют измерительные средства с известными предельными погреш­ностями, заданными из условия трех сигм , и при измере­ниях не вносятся дополнительные методические погрешности, то справедлива формула:

(3.16)

Погрешность суммы в этом случае не выйдет за пределы полу­ченного значения с вероятностью 0,997.

Приведенные формулы используются при расчете допуска за­мыкающего звена размерных цепей в системе обеспечения гео­метрической точности в строительстве.

Другая наиболее часто встречающаяся функциональная зави­симость, используемая при косвенных измерениях, выражается уравнением:

(3.17.)

Где — безразмерный коэффициент.

В этом случае относительное среднеквадратическое отклонение

(коэффициент вариации) результирующей величины опреде­ляется по формуле:

.

(3.18)

При суммировании составляющие погрешности могут значи­тельно отличаться по величине. Наименьшие из них иногда не влияют на точность определения суммарной погрешности и, сле­довательно, ими можно пренебрегать с целью упрощения вы­числений. Для этой цели устанавливают критерий ничтожно ма­лой погрешности, т.е. правило, позволяющее исключать ее из расчета.

Наиболее часто используют следующее правило: наименьшую случайную погрешность можно не учитывать, если ее среднеквад­ратическое отклонение в три раза меньше, чем любой из ос­тавляемых погрешностей.