- •1. Формула Тейлора 2-го порядка с остаточным членом в форме Пеано для функции нескольких переменных.
- •2. Теорема о смешанных производных.
- •7.3.1. Теорема о смешанных производных
- •3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции одной переменной.
- •4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции нескольких переменных.
- •5. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
- •6. Критерий выпуклости функции. Доказательство . Следствие.
- •7. Лемма о знакопостоянной функции .
- •8. Необходимое условие глобального экстремума функции.
- •8.3.2. Необходимое условие глобального экстремума
- •9. Метод Лагранжа отыскания экстремумов (доказательство теоремы).
- •10. Лемма о системе линейных уравнений. Следствие.
- •1. Лемма о многочлене Тейлора .
- •2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •3. Вывод формулы для . Частный случай для.
- •4. Асимптоты функции.
- •5. Разложение синуса по формуле Маклорена.
- •6. Разложение косинуса по формуле Маклорена.
- •7. Условие строгой монотонности функции (1-е утверждение теоремы 8.1).Теорема
- •8. Условие нестрогой монотонности функции (2-е утверждение теоремы 8.1).
- •9. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных.
- •10. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
9. Метод Лагранжа отыскания экстремумов (доказательство теоремы).
Теорема 8.10. Если — глобальный экстремум функции на множестве ,то найдется такой ненулевой набор чисел , что точка является решением системы уравнений
(4)
Доказательство. Из теоремы 8.10 следует, что система векторов
, ,…,,,, (5)
линейно зависима, где . Следовательно, найдется такой ненулевой набор чисел, что равенство
(6)
является истиной.
Полагая при всех, разложение (6) перепишем в виде
(7)
Из равенства (7) следует, что -я координата вектора, находящегося в левой части равенства (7) равна нулю при любом. Так как-я координата линейной комбинации векторов равна сумме их-х координат, то из равенства (7) имеем
, . (8)
Левая часть равенства (8) равна частной производной функции Лагранжа по переменной в точке, поэтому из равенства (7) следует
, . (9)
Второе уравнение системы (4) в точке имеет вид
. (10)
Последнее равенство является истиной: , если, если же, то. Итак, равенство (10) справедливо при любом.
Из равенств (9) и (10) следует, что точка является решением системы уравнений (4) и числаобразуют ненулевой набор
10. Лемма о системе линейных уравнений. Следствие.
Лемма. Система уравнений , ,имеет решения при любых значениях , если векторылинейно независимы.
Доказательство. Рассмотрим матрицу , строками которой являются векторы, матрицаимеет размер. В векторно-матричной форме данная система уравнений имеет вид:,гдеРанг матрицыравен(теорема о ранге матрицы). Следовательно, ранг системы ее столбцовравен, т.е.. Так как ранг части системы векторов не превосходит ранга всей системы, то
. (1)
Векторы системы имеют размерность , поэтому
. (2)
Из равенств (1) и (2) следует, что и, значит,
(3)
Из условия (3) вытекает, что вектор разлагается по системе. Это означает, что система уравненийимеет решение, поэтому система уравнений также имеет решения. ■
ВТОРЫЕ ВОПРОСЫ (0,5 БАЛЛА)
1. Лемма о многочлене Тейлора .
Пусть функция раз дифференцируема в точке. Многочлен
(1)
называется многочленом Тейлора порядка для функции в точке.
Лемма. Если является многочленом Тейлора для функции вточке , то справедливы следующие утверждения:
Доказательство. Найдем все производные многочлена Тейлора, который запишем в виде , где,:
………………………….
…………………………..
, .
Отсюда следует, что ■