8.3.2. Необходимое условие глобального экстремума

Лемма. Система уравнений ,,имеет решения при любых значениях , если векторылинейно независимы.

Доказательство леммы приводится в приложении 3. ■

Следствие. Если система векторов линейно независима, то найдется такой вектор, что

(). (1)

Доказательство. Из леммы следует, что система уравнений

()

имеет решение , которое удовлетворяет условию (1). ■

Теорема 8.10 (необходимое условие глобального экстремума функции). Функция определена на множестве

, .

Функции ипри любом дифференцируемы в точке глобального экстремума функции,. Тогда система векторов

, ;,

где , линейно зависима.

Доказательство от противного, т.е. пусть система векторов

, ;

линейно независима. Из следствия к лемме следует, что найдется такой вектор , что

, , (,,).

Так как мерный векторудовлетворяет условию

,

то из свойства градиента следует, что можно построить такое число , что при всех

. (2)

Так как мерный векторудовлетворяет условию

, , (,),

то можно построить такое число (теорема 6.9), что при всехточка

(3)

Обозначим символом . Тогда при всехусловия (2) и (3) справедливы, что противоречит определению глобального экстремума. ■

8.3.3. Метод Лагранжа отыскания

глобальных экстремумов

В этом пункте будет изложен метод Лагранжа для отыскания глобальных экстремумов функции на множестве

,

где непрерывны на всем пространстве, функцииипри

любом дифференцируемы на множестве,.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что вводится вспомогательная функция

,

которая называется функцией Лагранжа, а неизвестные — множители Лагранжа. Отыскание глобального экстремума функциисводится к нахождению критических точек функции Лагранжа.

Теорема 8.10. Если — глобальный экстремум функции на множестве ,то найдется такой ненулевой набор чисел , что точка является решением системы уравнений

(4)

Доказательство. Из теоремы 8.10 следует, что система векторов

, ,…,, , , (5)

линейно зависима, где . Следовательно, найдется такой ненулевой набор чисел, что равенство

(6)

является истиной.

Полагая при всех, разложение (6) перепишем в виде

(7)

Из равенства (7) следует, что -я координата вектора, находящегося в левой части равенства (7) равна нулю при любом. Так как-я координата линейной комбинации векторов равна сумме их-х координат, то из равенства (7) имеем

, . (8)

Левая часть равенства (8) равна частной производной функции Лагранжа по переменной в точке, поэтому из равенства (7) следует

, . (9)

Второе уравнение системы (4) в точке имеет вид

. (10)

Последнее равенство является истиной: , если, если же, то. Итак, равенство (10) справедливо при любом.

Из равенств (9) и (10) следует, что точка является решением системы уравнений (4) и числа образуют ненулевой набор. ■

Замечание. Теорема 8.10 справедлива также и тогда, когда функция определена на множестве

.

В этом случае функция Лагранжа имеет вид:

. ▲

Из теоремы 8.10 вытекает следующий алгоритм отыскания глобальных экстремумов функции на множестве.

1. Доказать, что функция на множествеимеет глобальный экстремум.

2. Преобразовать неравенства, задающие множества к виду.

3. Построить функцию Лагранжа и систему уравнений (4).

4. Найти все решения системы уравнений (4), у которых значения неизвестных не все равны нулю.

5. Решения, системы (4), найденные в пункте 4, укоротить, отбросив значения неизвестных , и выбрать среди них те, которые принадлежат множеству.

6. Вычислить значения функции на решениях, отобранных в пункте 5. Решения, на которыхпринимает наибольшее и наименьшее значения являются точками глобального экстремума функции.

Примеры. Найти глобальные экстремумы функции на множестве.

1. , .

Решение. Так как множество замкнуто (теорема 4.9) и ограничено:,, то функцияимеет глобальные экстремумы на множестве. Функция Лагранжа имеет вид

.

Напишем систему уравнений, решением которой являются глобальные экстремумы функции :

(11)

Если , то из первого уравнения системы (11), что. Следовательно, присистема уравнений (11) не имеет решений, у которых значения неизвестныхне равны нулю одновременно.

Если же , то систему (11) можно переписать в виде

(12)

Система уравнений (12) имеет два решения

, , .

Укороченная система решений имеет вид: , . Эти точки принадлежат множеству.

Так ,, то— точка глобального минимума (максимума) и,.

2. , .

Решение. Множество замкнуто (теорема 4.9) и ограничено:,, . Следовательно, функция имеет глобальные экстремумы на множестве. Функция Лагранжа имеет вид

.

Напишем систему уравнений, решением которой являются глобальные экстремумы функции :

(13)

Если , то системa уравнений (13) имеет вид

, ,, . (14)

Так как набор неизвестных ,должен быть ненулевым, то. Значит, произвольное решение системы (14) имеет вид: . Укороченное решение не принадлежит множеству.

Если же , то введем новую переменнуюи перепишем систему уравнений (13) в виде

(15)

Если в системе уравнений (15) неизвестное , т.е., то система примет вид

, , ,. (16)

Произвольное решение системы (16) имеет вид: . Укороченная точка будет принадлежать множеству, если, т.е. если. Итак, приполучили решения и системы (15), укороченные точки которых

,

принадлежат множеству .

В случае преобразуем систему уравнений (16), заменив первое уравнение разностью первого и третьего уравнений,

(17)

Система уравнений (17) имеет четыре типа решений

,,,.

Укороченные точки

,,,

принадлежат множеству .

Найдем значения функции на точках,,, , и:

, ,.

Итак, точки и— точки глобального минимума функции, а точкии— точки глобального максимума функции. Значение глобальных экстремумов функции равны:,. ●

Задачи

Найти точки глобального экстремума функции на множестве.

1. ,.

2. ,.

3. ,.

4. ,.

5. ,.

6. ,.

7. ,.

Ответы

1. ,.

2. ,.

3. ,.

4. ,.

5. ,.

6. ,.

7. ,.

170