- •А.С. Березина, л.Н. Гавришина, а.Г. Седых математический анализ: дифференциальное исчисление
- •Оглавление
- •Ведение
- •1 Понятие функции
- •2 Предел функции
- •2.1 Понятие предела функции
- •2.2 Правила вычисления пределов
- •2.3 Непрерывность функции
- •3 Производная функции
- •3.1 Понятие производной и дифференциала
- •3.2 Правила дифференцирования
- •4 Использование производных для исследования функций
- •4.1 Возрастание, убывание функции. Точки экстремума
- •4.2 Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба
- •4.3 Асимптоты графика функции
- •4.4 Общая схема исследования функции
- •5 Применение производной в экономических задачах
- •5.1 Предельные показатели в экономике
- •5.2 Понятие эластичности
- •5.3 Оптимальное значение экономических функций
- •6 Функция двух переменных
- •6.1 Частные производные. Градиент
- •6.2 Экстремум функции двух переменных
- •6.3 Условный экстремум функции двух переменных
- •7 Варианты контрольной работы
- •9 Контрольные вопросы для зачета
- •Что нужно уметь:
- •10 Контрольный тест для самопроверки
- •11 Задачи для самостоятельного решения
- •11.1 Понятие функции
- •11.2 Предел функции
- •11.3 Непрерывность функции Исследовать на непрерывность функцию , найти точки разрыва и указать характер разрыва.
- •11.4 Производная функции
- •11.5 Приложение производной
- •11.6 Применение производной в экономике
- •11.7 Функция многих переменных
- •Список литературы
- •Математический анализ: дифференциальное исчисление
- •650992, Г. Кемерово, пр. Кузнецкий, 39
6.3 Условный экстремум функции двух переменных
Пусть необходимо найти экстремум функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=0.
Функция z=f(x,y) называется целевой функцией.
Первый метод решения – метод подстановки, применяется, когда из уравнения g(x,y)=0 можно выразить переменную y=φ(x) и подставить ее в целевую функцию. Таким образом, решение сводится к нахождению экстремума функции одной переменной.
Второй метод – метод множителей Лагранжа, используется, когда нельзя явно выразить y из условия g(x,y)=0. В этом случае, для решения вводится новая функция Лагранжа.
,
где λ – неопределенный множитель, новая переменная.
Затем находится экстремум этой функции от трех переменных.
Решая эту систему, получают значения критической точки условного экстремума функции z=f(x,y).
После этого определяется максимум или минимум функции z=f(x,y) в этой точке по смыслу задачи.
Пример 6.3.
Найти экстремумы функции при условии.
Решение.
Выразим переменную у из условия и подставим в функцию:
; .
Получим функцию одной переменной. Найдем ее экстремум.
; ,.
Так как вторая производная , то найденная точка - точка минимума.
Следовательно, функция имеет условный минимум в точке, который равен.
Пример 6.4. На 2 товара - Кириешки () и чипсы () Сергей тратит в месяц 120 руб. Определить оптимальный выбор, если его функция полезности.
Решение.
Необходимо найти максимум функции при условии. Воспользуемся функцией Лагранжа.
.
Найдем частные производные от функции Лагранжа:
Решаем полученную систему.
.
Таким образом, оптимальный выбор составит 4 ед. Кириешки и 8 ед. чипсов, при этом оптимальное значение функции полезности составит 49152.
7 Варианты контрольной работы
Вариант 0
1. Вычислить предел функции
а) ; |
б) ; |
в) . |
2. Вычислить производную функции
a) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
3. Исследовать функцию и построить график .
4. На 2 товара - кириешки (руб.) и чипсы (руб.) Сергей тратит в месяц 120 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности.
Вариант 1
1. Вычислить предел функции
а) ; |
б) ; |
в) ; |
2. Вычислить производную функции
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
3. Исследовать функцию и построить график .
4. На 2 товара - колбасу (руб.) и сыр (руб.) Сергей тратит в месяц 300 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности.
Вариант 2
1. Вычислить предел функции
а) ; |
б) |
в) . |
2. Вычислить производную функции
а); |
б) ; |
в) ; |
г). |
3. Исследовать функцию и построить график .
4. Средняя семья тратит 30 долл. в месяц на рыбу и хлеб. Цена рыбы - 5 долл., цена батона хлеба- 1 долл. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности имеет вид:.
Вариант 3
1. Вычислить предел функции
а) ; |
б) ; |
в) |
2. Вычислить производную функции
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
3. Исследовать функцию и построить график .
4. На 2 товара - компакт-диски (руб.) и аудиокассеты (руб.) Влад тратит в год 1000 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности.
Вариант 4
1. Вычислить предел функции
а); |
б); |
в). |
2. Вычислить производную функции
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
3. Исследовать функцию и построить график .
4. За месяц студент расходует на апельсины и бананы 100 рублей. Цена одного апельсина 5 р, а цена одного банана2 р. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезностиu=10ху.
Вариант 5
1. Вычислить предел функции
а) ; |
б) ; |
в) . |
2. Вычислить производную функции
а); |
б); |
в); |
г) |
|
|
3. Исследовать функцию и построить график .
4. На 2 товара – видеокассеты и аудиокассеты Олег тратит еженедельно 50 руб. Цена видеокассеты 15 руб., цена аудиокассеты
5 руб. Определить набор кассет, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности u = 2xy.
Вариант 6
1. Вычислить предел функции
а) ; |
б) ; |
в) . |
2. Вычислить производную функции
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
3. Исследовать функцию и построить график .
4. На два товара – молоко и хлеб Иван тратит 200 ден. ед. в месяц. Цена молока – 20 ден. ед., хлеба – 15. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .
Вариант 7
1. Вычислить предел функции
а); |
б) ; |
в) . |
2. Вычислить производную функции
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
3. Исследовать функцию и построить график .
4. Ольга тратит еженедельно 200 руб. на бананы и пепси-колу. Цена 1 кг бананов –30 руб., 1 л пепси – 20 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .
Вариант 8
1. Вычислить предел функции
а); |
б); |
в) |
2. Вычислить производную функции
а) ; |
б) ; |
г) ; |
г) . |
3. Исследовать функцию и построить график .
4. На 2 товара - мясо (руб.) и сыр (руб.) Оля тратит в месяц 3000 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности.
Вариант 9
1. Вычислить предел функции
а) ; |
б) ; |
в) . |
2. Вычислить производную функции
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
3. Исследовать функцию и построить график .
4. На 2 товара - яблоки (руб.) и сливы (руб.) Оксана тратит в месяц 500 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности.
8 Методические указания для выполнения
контрольной работы
Пример 8.1. Вычислить предел функции .
Решение. В данном примере имеем неопределенность вида .
Преобразуем выражение:
В результате преобразований получили неопределенность вида . Для вычисления предела разделим оба многочлена наx в старшей степени, то есть на, получим
Здесь учитывается, что .
Ответ:.
Пример 8.2. Вычислить предел функции .
Решение. Подставляяполучим неопределенность:
.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни квадратных уравнений:
.
.
Получим:
.
Сократим на общий множитель и получим
.
Ответ:
При решении примера 2 можно было воспользоваться правилом Лопиталя:
Пример 8.3. Вычислить предел функции .
Решение. Подставляяполучим неопределенность:
.
Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение:
В результате получаем
Здесь учитывается второй замечательный предел .
При решении примера 8.3 можно было дважды воспользоваться правилом Лопиталя:
Пример 8.4. Вычислить производную функции
.
Решение. Преобразуем иррациональные и дробные выражения, используя формулы
:
.
Воспользуемся правилами нахождения производной и таблицей производных, получим:
Ответ:
Пример 8.5. Вычислить производную функции .
Решение. Воспользуемся правилом нахождения производной от произведения двух функций
.
Производная функции определяется по таблице производных, а для определения производной функциивоспользуемся правилом нахождения производной от сложной функции.
.
В итоге получим
.
Ответ: .
Пример 8.6. Вычислить производную функции .
Решение.
Воспользуемся правилом нахождения производной от частного двух функций и таблицей производных
Ответ:
Пример 8.7. Вычислить производную функции .
Решение.
Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции и таблицей производных.
Обозначим ,, тогда получим.
Ответ:
Пример 8.8. Исследовать функцию и построить график
.
Решение.
1) Функция определена при всех значениях кроме, то есть в интервалах.
2) График функции пересекает ось Ох в точках, в которых, так как дискриминант данного квадратного уравнения, то точек пересечения с осьюОx у данной функции нет.
С осью Оу функция пересекается при , тогда. Таким образом точка (0;2) – точка пересечения с осьюОу.
3) Вертикальной асимптотой является прямая , так как
,.
Найдем наклонную асимптоту :
Таким образом, - наклонная асимптота.
4) Проверим четность, нечетность функции:
.
Так как , то функция не является ни четной, ни нечетной, поэтому у графика нет симметрии ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.
5) Найдем интервалы возрастания, убывания и точки экстремума функции.
Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную:
Найдем критические точки, прировняв производную к нулю:
.
Критические точки и. Эти точки разбивают область определения функции на четыре интервала:.
Определим знаки производной на этих интервалах:
, ,
, .
Рассмотрим результаты исследования в таблице.
-2 |
(-1;0) |
0 | ||||
+ |
0 |
- |
- |
0 |
+ | |
возрастает |
-2 |
убывает |
убывает |
2 min |
возрастает |
6) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба функции.
Для определения критических точек вычислим вторую производную:
Итак, не обращается в нуль ни в одной точке, следовательно, точек перегиба нет.
Определим знаки второй производной в области определения функции:
,
Построим таблицу:
- |
+ | |
7) На основании полученных данных строим график функции (рисунок 8.1).
Рисунок 8.1 - График функции |
Пример 8.9. На 2 товара по ценам иСергей тратит в месяц 120 руб. Определить оптимальный выбор, если его функция полезности.
Решение. Найдем максимум функции при условии. Выразим из условия переменнуюx и подставим ее в функцию полезности: ,.
В результате получили функцию одной переменной. Найдем ее производную и приравняем ее к нулю.
.
Критические точки и. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала:.
Определим знаки производной на этих интервалах:
- |
+ |
- |
Получили, что - точка максимума,. Таким образом, оптимальный выбор товаров составит 4 ед. и 8 ед.