- •В. Г. Шершнев математический анализ
- •Часть I. Дифференциальное исчисление
- •Оглавление
- •Календарно-тематический план Распределение часов по темам и видам работ
- •Глава I. Введение в математический анализ
- •1.1. Множества
- •1.1.1. Определение множества
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Свойства операций над множествами
- •1.1.4. Декартово произведение множеств
- •1.1.5. Модуль числа, его свойства
- •1.1.6. Грани числовых множеств
- •1.1.7. Счетные и несчетные множества
- •1.2. Функции, их классификация
- •1.3. Предел последовательности
- •1.4. Предел функции
- •1.4.1. Определение предела функции
- •1.4.2. Геометрический смысл предела
- •1.4.3. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции
- •1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1.5.1. Определение бесконечно малой и бесконечно большой функций
- •1.5.2. Свойства бесконечно малых функций
- •1.6. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции
- •1.7. Теоремы о пределах (свойства пределов)
- •1.8. Замечательные пределы
- •1.8.1. Первый замечательный предел
- •1.8.2. Второй замечательный предел
- •1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях
- •1.9. Сравнение бесконечно малых функций
- •1.10. Непрерывность функции в точке и на отрезке
- •1.10.1. Определение непрерывности функции
- •1.10.2. Действия над непрерывными функциями
- •1.10.3. Непрерывность элементарных функций
- •1.10.4. Свойства непрерывных функций
- •1.10.5. Точки разрыва функций
1.4. Предел функции
1.4.1. Определение предела функции
Пусть имеется функция с областью определенияD и множеством значений Е. Пусть существует точка , являющаяся предельной для множестваD.
Говорят, что х стремится к , если можно в областиD выбрать бесконечное число различных последовательностей i N стремящихся к .
Пусть любой последовательности значений независимой переменной , стремящейся к, соответствует последовательностьзначений функции(), стремящаяся к некоторому значению. Тогда говорят о пределе функции.
Определение предела функции по Гейне. Число b называется пределом функции при(), если любой последовательности, (), стремящейся к, соответствует последовательность значений функции, стремящаяся кb.
Определение предела функции по Коши (на языке ). Число b называется пределом функции при(), если для любого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что если значение х принадлежит -окрестности числа , то значение функциипринадлежит-окрестности числа b.
Кратко с помощью кванторов можно записать
.
Пример 1.1. Доказать, что .
Используем последнее соотношение из определения предела функции по Коши. Так как ,b = 5, а = 1, то
.
Отсюда следует, что для любогосуществуеттакое, что если, то. Это и подтверждает справедливость соотношения.
Аналогично данному примеру докажем еще три предела.
Пример 1.2. Доказать, что , гдеС = const.
.
Пример 1.3. Доказать, что .
.
Пример 1.4. Доказать, что .
.
Для случая, когда определение предела формулируется следующим образом.
Определение предела функции при . Число b называется пределом функции при(), если для любого положительного числа существует такое положительное число N, зависящее от , что если значение >N, то значение функции принадлежит-окрестности числа b ().
Кратко с помощью кванторов можно записать
.
Аналогично могут быть сформулированы определения предела функции при и, а именно
;
.
1.4.2. Геометрический смысл предела
На рис. 6 изображены окрестности ив случае предела
.
Рис. 6
На рис. 7 для случая предела изображена-окрестность числа b и такое числоN(), что если x > N(), то соответствующие значения функции попадают в -окрестность числа b и не покидают ее никогда.
Рис. 7
1.4.3. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции
|
называется правосторонним пределом функции f(x) в точке или пределом справа. |
|
называется левосторонним пределом функции f(x) в точке или пределом слева. |
Теорема 1.1. Для того, чтобы существовал предел функции , необходимо и достаточно чтобы существовали односторонние пределы функции равные между собой, т. е.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Необходимость. Пусть существует предел. Тогда для любого > 0 существует окрестность такая, чтохзначение
f(x) независимо от того стремитсях к слева (x < ) или справа (x > ). Следовательно, существуют и односторонние пределы.
Достаточность. Пусть существуют равные между собой односторонние пределыи. Тогда в случае для любого > 0 существует окрестность такая, что x>значениеf(x) . Также в случаедля того же > 0 существует окрестность такая, что x < значениеf(x) . Тогда для заданного значения > 0 при ,хзначение функцииf(x) независимо от тогоx > илиx < , т. е. пределсуществует.