Продовження теореми
DКантора-Бернштейна
Розглянемо темні кільця A2k+2\A2k+3:
A2k+2= g(f(A2k)) , A2k+3= g(f(A2k+1)) ,
для ін’єкції h()=g(f()): h(X)\h(Y)=h(X\Y), значить
A2k+2\A2k+3= g(f(A2k)) \ g(f(A2k+1)) = g(f(A2k \ A2k+1))
h(X)\h(Y) = h(X\Y).
Оскільки f та g – бієкції, з цього випливає:
A2k+2\A2k+3 ↔ A2k \ A2k+1
Треба довести, що A↔B (A0↔B0), але B0↔A1, тому будемо доводити, що A0↔A1
21
D
Закінчення теореми Кантора-Бернштейна
A0=D (A0\A1) (A1\A2) (A2\A3) (A3\A4) (A4\A5) …. |
|
|||||
A1=D |
|
(A1\A2) (A2\A3) (A3\A4) (A4\A5) …. |
|
|||
A0=D |
|
(A1\A2) |
|
(A3\A4) |
…… |
|
|
(A0\A |
(A2\A3) |
|
(A4\A5) …. |
|
|
A1=D |
|
(A1\A2) |
|
(A3\A4) |
….. |
|
|
(A2\A3) |
(A4\A5) |
|
(A6\A7) …. |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Наслідок теореми Кантора-Бернштейна
Відношення “менше або дорівнює” для потужностей
євідношенням часткового порядку
1.Рефлективність |A| |A| A A A
2.Антисиметричність |A| |B|, |B| |A| |A| =|B|
випливає з теореми Кантора-Бернштейна
3. Транзитивність |A| |B| |B| |C| |A| |C|
|A| |B| A B1 B
A C2 C1 C |A| |C|
|B| |C| B C1 C |
23 |
|
Континуум гіпотеза
Г.Кантор, 1887р.: «Чи вірно, що якою б не була нескінчена множина дійсних чисел, завжди
можна встановити взаємно однозначне відображення або між елементами цієї множини і послідовністю цілих чисел, або між елементами цієї множини і усіма дійсними числами?»
24
Континуум гіпотеза
A – нескінченна множина, A
|A| |A| | ||A| | |
|A| | |
25
Континуум гіпотеза
Курт Гьодель у 1940 довів, що континуум- гіпотеза не може бути доведена на основі аксіом арифметики й теорії множин.
Пол Коен у 1963 встановив, що континуум- гіпотеза не може бути спростована, виходячи з тих же аксіом арифметики й теорії множин.
26