Самоподобные процессы для чайников

Давайте поговорим о брокколи.

Это такой овощ, богатый витаминами и веществами с антивирусными, антибактериальными и антиканцерогенными свойствами. Еще, вдохновляясь этим овощем, можно сделать крутой костюм и показать человека в таком костюме по первому каналу угадайте какой страны:

Рис. 1. Мужик в костюме брокколи

(спасибо Мише за ссылку на ЭТО)

А еще у брокколи есть родственник со смешным названием «романеско». Родственник выглядит космически:

Рис. 2. Капуста романеско в разных ракурсах

Отвлечемся от овощей.

В 1904 году шведский математик Нильс Фабиан Хельге фон Кох описал одну смешную кривую. Вот она:

Рис. 3. Кривая Нильса Фабиана Хельге фон Коха

Строится эта милая кривая следующим образом:

0.Берем отрезок.

1.Делим его на три части.

2.Среднюю часть заменяем равносторонним треугольником за вычетом этой самой трети отрезка.

3.С каждым из полученных отрезков проделываем шаги 0–3. До бесконечности.

Иллюстрированно первые три итерации выглядят как-то так:

Рис. 4. Первые три итерации кривой Нильса Фабиана Хельге фон Коха Отвлечемся от шведского математика и его фантазии.

В рамках работы над своей диссертацией я исследую трафик в беспроводных сенсорных сетях. И узнаю, что он во многих случаях оказывается самоподобным. Вот таким, примерно:

Рис. 5. Таинственный самоподобный трафик

Теперь «внимание, вопрос». Что объединяет родственника брокколи по имени романеско, кривую, описанную шведским математиком, и самоподобный трафик?

Рис. 6. Капуста романеско, кривая Нильса Фабиана Хельге фон Коха, самоподобный трафик

Правильный ответ: части всех этих объектов подобны целому. По-умному это называется — фракталы.

Ну, с кривой Коха все ясно, она так и строится. Возьмите каждый из полученных отрезков и проделайте с ним то же, что проделывали со всем объектом. Логично, в таком случае, что часть кривой будет аналогична всей кривой. Ну, если эту всю кривую слегка округлить, например:

Рис. 7. Первые три итерации кривой Нильса Фабиана Хельге фон Коха. Терпите, она мне очень нравится

Брокколи. Романеско, в смысле. Вы посмотрите на это нежно-зеленое инопланетное существо! Каждый его маленький пупырышек — такой же конусообразный, как и большие пупырышки, из маленьких состоящие. Прекрасный же совершенно фрактал!

Рис. 8. Нежно-зеленое инопланетное существо

С самоподобным трафиком дела обстоят несколько сложнее. Дело в том, что романеско и фантазия кривая Коха — это регулярные фракталы. Точные. Часть объекта точно повторяет целое. Ну, если романеско покусает какая-нибудь гусеница — будет уже не точно, конечно. Но природой и романеско задуман как точный фрактал.

Колдуем дальше. Берем первые 20 точек исходного процесса. Усредняем исходный же процесс через каждые 25 точек, чтобы получить опять 20 точек. Смотрим:

И опять — не идентичные графики получились, но весьма похожие.

Масштабируем дальше, на этот раз берем первые 10 точек процесса (спонсор масштабирования компания Mazda. Zoom-zoom). И усредняем через каждые 50 точек, получая на выходе только 10 значений:

И снова мы видим ту же картину. Часть процесса не идентична абсолютно усреднённому целому процессу. Но весьма его напоминает. Частотный спектр на глаз — похож, Размах амплитуд — тоже.

Чтобы вы поверили, что я вас не обманываю, я покажу вам такие же масштабирования и усреднения для процесса, значения которого абсолютно независимы друг от друга, то есть совершенно случайного процесса без всяких фрактальных свойств.

Вот этот прекрасный процесс: