Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TT_v2.0.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2015

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 1919

Дополнительные и справочные материалы

Функции плотности и распределения вероятностей

Функция распределения некой непрерывной случайной величины ti :

F (t)=P(ti<t)

Вероятность наступления случайного события в момент ti равна нулю:

P= t →0 t	t	=0
lim

F (t) называют ещё интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Производная от F (t) называется плотностью распределения: f (t)= dFdt(t )=F ' (t)

∞

∫ f (t)dt =1

−∞

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

110

Вероятность попадания случайной величины ti на участок dt равна: f (ti) dt

Дискретная случайная величина описывается распределением вероятностей Pi

∞

∑ Pi=1

i=0

<<< Вернуться к чтению лекции

	Теорема Бернулли. Распределение Пуассона
	Теорема Бернулли:		n независимых опытов, в каждом из которых
	Если производится
событие A появляется с вероятностью P , то вероятность того, что событие
A	появится ровно K		раз выражается формулой:
Pn ,K =CnK pK qn−K			n!
Где	q=1− p ; CnK =			- число сочетаний групп.
		K ! (n−K )!

	Так как вероятность		Pn ,K	по форме представляет собой члены

разложения бинома Ньютона (q+ p)n , то распределение вероятностей Pn ,K называется биноминальным распределением. В ТТС выражение Pn ,K называют формулой Бернулли, а распределение вероятностей — распределением Бернулли. Подробнее — учебник Венцель, 61 с.

Бернулли — семья швейцарских математиков. Теорема Якоба Бернулли — (1650-1700). Братья Якоб, Иоганн; их дети Николай, Даниил; и их внуки — Иоганн, Якоб.

Распределение Бернулли при K → ∞ переходит в распределение Пуассона. Пуассон Симеон Дени (1781-1840) — французский физик и математик.

<<< Вернуться к чтению лекции

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

111

Подробное доказательство второй формулы Эрланга

Обозначим через Pi( γ>t) условную вероятность того же неравенства в предположении, что вызов застал систему в состоянии i . Так как ожидание возможно лишь в случае, когда в момент поступления вызова в системе заняты все линии, то по формуле полной вероятности имеем:

∞

P (γ>t)=∑ Pi Pi (γ>t)

i=v

Величины Pi

мы уже определяли. Определим

Pi(γ>t) .

λ0

λv

xv+1

...

vv+1

vv+2

vv+1=vv+2=...=v β

– параметр потока освобождений.

Pi(γ>t) можно

рассматривать как вероятность того, что за время t

после появления вызова

произойдёт не более чем i−v

освобождений. Если обозначить через qr (t)

вероятность того, что за время

произойдёт ровно

освобождений, то:

i−v

Pi (γ>t )=∑qr (t)

, i v .

r=0

Так как в модели длительность занятия подчиняется показательному закону распределения, то поток освобождений — простейший, с параметром

v β		. Для простейшего потока вероятность того, что за время t произойдёт
точно				r освобождений определится из выражения:
(см. вывод первой формулы Эрланга на одной из предыдущих лекций —
	=Y		i
P				P		)
i		i!			0
q0 (t)				– вероятность того, что после занятия всех v линий за время t не

освободится ни одна линий.

Вероятность освобождения одной линии:

F 2 (t)=P(tв<t)=1−e−βt

Вероятность того, что одна линий не освободится:

1−F 2(t)=e−β t

Вероятность того, что не освободится ни одна из v линий (не освободится и первая, и вторая...):

q0 (t )=(e−β t )v=e−β v t

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

112

Отсюда:

i−v

Pi (γ>t )=∑e−β v t (v β t)

И:

r=0

i−v

∞

P (γ>t)=∑ Pi Pi (γ>t)=∑ Pi ∑e−β v t (v β t)

i=v

r =0

i−v

(v )

Подставим вместо

Pi=

Y v

∞

Y v

Y i−v

i−v

−β v t (v β t )r Y v

−β v t ∞

Y i−v i−v

(v β t)r

P (γ>t)=

∑

0 ∑

∑

(v )

∑

P e

i=v

v! (v )

r=0

i=v

r=0

Изменим порядок суммирования. Учитывая, что:

∞

i−v

∞

∑ bi−v

∑ ar=∑ ar ∑ bi−v

i=v

r =0

r=0

i=v+r

∞

i−v

∑bi−v

∑ ar=b0 a0+b1 (a0+a1)+b2 (a0+a1+a2)+...+b∞ (a0+a1+...+a∞)

i=v

r=0

∞

∑ar

∑ bi−v=a0 (b0+b1+...+b∞)+a1 (b1+b2+... b∞)+...+a∞ (b∞)

r=0 i=v+r

Получим:

i−v

∞

P (γ>t)=Y

P0 e−β v t ∑ (v β t) ∑

=...

r=0

i=v+r

(v )

Каждое слагаемое последней сумму

(Yv )r

умножим и разделим на

постоянную величину:

Y i−(v+r)

Y v

−β v t

∞

(v β t)r

∞

...=

∑

(v )

=...

P e

r=0

(v )

i=v+r

Обозначая

i−(v+r )=x , получим:

∞

i−(v+r)

∞

...=i=∑v+r

(Yv )

=∑x=0

(Yv )

1−

∞

i−v

P (γ>0)=∑ Pi

Так как

i=v

;

(v )

0 и учитывая, что

и Y =λ tср :

Y v

∞

...=

P0 e−β v t ∑

(λ t)

=P (γ>0) e−β v t eλ t=P(γ>0) e(λ−β v) t =...

r=0

1− v

...=P (γ>0) e−β (v−Y ) t=P(γ>t )

<<< Вернуться к чтению лекции

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

β= 1

tср

113

	Оглавление
Введение. Предмет и задачи теории телетрафика........................................................		1
Раздел 1. Потоки вызовов
1.1	Способы определения и задания потоков вызовов...............................................................	6
1.2	Основные свойства потоков вызовов.....................................................................................	9
1.3	Основные характеристики потоков вызовов.......................................................................	11
1.4	Простейший поток вызовов и его свойства.........................................................................	12
1.5	Математическое ожидание и дисперсия простейшего потока вызовов............................	15
1.6	Закон распределения промежутков между вызовами простейшего потока.....................	19
1.7	Длительность обслуживания. Поток освобождений..........................................................	24
1.8	Простейшая классификация потоков...................................................................................	27
Раздел 2. Телефонная нагрузка
2.1	Определения телефонной нагрузки.....................................................................................	30
2.2	Основные параметры нагрузки............................................................................................	33
2.3	Концентрация телефонной нагрузки....................................................................................	37
2.4	Способы распределения нагрузки........................................................................................	39
2.5	Оценка результатов измерения нагрузки. Понятие о доверительной вероятности
и доверительном интервале........................................................................................................		43
Раздел 3. Методы расчёта пропускной способности полнодоступных
включений в однозвенных коммутационных системах с потерями
3.1	Обслуживание простейшего потока вызовов (вывод первой формулы Эрланга)...........	46
3.2	Дифференциальные уравнения Эрланга..............................................................................	48
3.3	Стационарный режим. Распределение Эрланга..................................................................	54
3.4	Потери в полнодоступном пучке при обслуживании простейшего потока вызовов......	57
3.5	Рекуррентная формула Эрланга............................................................................................	59
3.6	Средняя пропускная способность линий полнодоступного пучка...................................	60
3.7	Графические зависимости между параметрами первой формулы Эрланга.....................	62
3.8	Обслуживание полнодоступного пучка потока
от ограниченного числа источников нагрузки (формула Энгсета).........................................		64
3.9	Сравнение пропускной способности полнодоступного пучка
при простейшем и Энгсетовском потоках.................................................................................		69
Раздел 4. Системы с ожиданием
4.1	Обслуживание простейшего потока вызовов полнодоступным пучком с ожиданием
при показательном распределении длительности занятия .....................................................		70
4.2	Системы с ожиданием при постоянной длительности обслуживания.............................	78
4.3	Расчёт пропускной способности управляющих устройств...............................................	81
4.4	Комбинированная система обслуживания. Ограниченное число мест для ожидания....	84
4.5	Расчёт систем с повторными вызовами...............................................................................	85

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

114

Раздел 5. Однозвенные неполнодоступные включеня с потерями

5.1	Основные характеристики НПД включений.......................................................................	93
5.2	Типы НПД включений и выбор их структуры....................................................................	97
5.3	Идеально-симметричные неполнодоступные схемы.......................................................	103
5.4	Формула Эрланга для идеальной НПД схемы (третья формула Эрланга).....................	104
5.5	Приближённые методы расчёта пропускной способности НПД схем...........................	107
Дополнительные и справочные материалы
Функции плотности и распределения вероятностей..............................................................		110
Теорема Бернулли. Распределение Пуассона..........................................................................		111
Подробное доказательство второй формулы Эрланга............................................................		112

Важная информация:

Оцифровка материала по курсу «Теория телетрафика» производится напрямую с предоставляемых Пшеничниковым А. П. рукописных листов формата А4, написанных ещё в предыдущем тысячелетии. В связи с этим, возможны неточности и ошибки по сравнению с материалом, непосредственно читаемым на лекциях. Электронный вариант предоставляется исключительно для удобства усвоения материала и содержимое не претендует на то, чтобы являться единственно-возможным вариантом лекций и источником данных и сведений по курсу «Теория телетрафика» при подготовке к выполению курсовых работы/проектов, а также при ответе на экзамене. Поэтому пользователь, опираясь при ответах на вопросы во время экзамена или выполения курсовых работ/проектов, берёт всю ответственность за возможные последствия исключительно на себя.

Несмотря на то, что на данный момент времени есть договорённость о распространении материала в конечном виде (в формате .pdf), исходный файл не распространяется ни при каких условиях, до полной проверки содержимого оцифрованного материала лично Пшеничниковым А. П. и исправлением всех ошибок и неточностей. Однако, пользователю разрешается: хранить и распространять данный pdf файл на ресурсах и сервисах, помимо strelnikov.ws; содержать конечный pdf файл на различных электронных устройствах для чтения материала; произвести печать этого pdf файла и вносить исправления и дополнения в бумажный вариант материала по своему усмотрению.

Текст и формулы набраны в ПО Libreoffice Writer, графики выполнены в ПО MS Paint. Так как оцифровка производится без использования ПО Microsoft Office, то исходников в формате .doc и .docx не существует. Из-за очень большого объёма (более сотни страниц), некоторые набранные формулы могут неотображаться. Кроме того, возможны различные орфографические и пунктуационные ошибки, о наличии которых можно сообщать для их исправления.

Публичная версия 2.0, 26.12.2011

Перейти к оглавлению>>>

strelnikov.ws

115

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 1919

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.12.2018104.45 Кб8Tema13.doc
#
22.12.201895.74 Кб11Tema14.doc
#
14.09.20192.19 Mб8teoria_torgi.doc
#
15.03.20152.99 Mб154tom1_2005_web.pdf
#
13.07.201947.57 Кб4transfer.rtf
#
15.03.20151.11 Mб83TT_v2.0.pdf
#
15.03.2015676.43 Кб1810tvims_3.pdf
#
21.04.20194.04 Mб33TYeMA_1.doc
#
28.04.20192.56 Mб18Uch_posobie_po_MSS.doc
#
15.03.201538.35 Кб99Unit_1_Convergence_in_Telecoms_and_IT.docx
#
11.06.201586.73 Кб24Verilog_posobie.docx

Дополнительные и справочные материалы

Функции плотности и распределения вероятностей

Теорема Бернулли. Распределение Пуассона

Подробное доказательство второй формулы Эрланга