Федеральное агентство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций

им. проф. М. А. Бонч-Бруевича»

Е.В.Чурносов

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Методические указания к проведению лабораторных работ

Санкт-Петербург

2012

1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N1

Оптимизация системы распознавания корреспонденции

Цель работы: оптимизация настройки системы распознавания индекса корреспонденции на основе методологии математического планирования эксперимента (МП).

Y₁

Y₂

Рис.1.Объект исследования

Объект исследования – это система, включающая в себя совокупность входных настроечных параметров (x₁,x₂) и выходных, результирующих характеристик (y₁,y₂).

Настроечные параметры (воздействующие факторы):

X₁ – разрешающая способность фотосчитывателя. Выбрана на двух предельных уровнях: максимальном – 150 ед. на дюйм и минимальном -50 ед. на дюйм.

X₂ - продолжительность экспозиции: Выбрана на двух предельных уровнях: 0,1 и 0,5 сек.

Выходные характеристики:

Y₁ – производительность системы (количество обработанной корреспонденции за минуту).

Y₂ – процент сбоев.

Задача работы: рассчитать такое сочетание величин входных настроечных параметров, которое обеспечит: максимальную производительность системы при заданном предельном количестве сбоев – 5%.

Далее работа должна проводиться в 4 этапа.

Первый этап - планирование и проведение двухфакторного эксперимента. С этой целью величины настроечных параметров приведены к одному масштабу (нормированы), а именно: все максимальные величины равны 1 (единице), а минимальные величины - -1(минус единице).

В данном случае построен двухфакторный план первого порядка, представленный в табл. 1.

Таблица 1

План и результаты эксперимента

Номер опыта	Величины факторов	Результаты
	X1 X2	Y1	Y2
1 2 3 4	-1 -1 -1 1 1 -1 1 1	190 210 75 95 170 180 56 76	28 22 2 4 4 6 1 2

Примечание: каждый опыт дублирован 2 раза

Второй этап: построение полиномиальной модели, количественно описывающей зависимость результатов эксперимента от комбинированного влияния исследуемых факторов.

Модель строится на основе метода множественной регрессии. Используем с этой целью статистический пакет “Статистика”. В электронную таблицу данные вводятся в соответствии со схемой, представленной в табл.2.

Таблица 2

Схема введения данных в электронную таблицу в

пакете ‘Статистика’

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

190 75 170 56 210 95 180 76

28 2 4 1 22 4 6 2

Примечание: третья колонка представляет собой произведение первых двух (x₁x₂).Это необходимо для оценки эффекта взаимодействия факторов.

В результате программа “Множественная регрессия” вычисляет следующие параметры: общую оценку значимости модели (p), величина которой не должна превышать значение 0,05 и коэффициенты модели (b), каждый из которых является оценкой соответствующего влияния (b₀ – постоянная составляющая, b₁и b₂ – оценки влияния факторов x₁и x₂, b₁₂ – оценка эффекта взаимодействия исследуемых факторов.

Оценка значимости модели: p <0,05 (модель статистически значима).

Коэффициенты модели:

Первая модель (производительность):

B₀ = 131,5; p<0,05 - коэффициент значим.

B₁ = -11; p=0,07 (p>0,05) – коэффициент не значим.

B₂ = -56; p<0,05 (p<0,05) – коэффициент значим.

B_1-2= 1,5; p=0,7 (p>0,05) – коэффициент не значим.

Модель 1: y = 131,5 - 11x₁ – 56x₂ + 1,5x₁x₂ .

Вторая модель (процент сбоев):

B₀ = 8,6; p<0,05 - коэффициент значим.

B₁ = -5,4; <0,05 - коэффициент значим.

B₂ = -6,4; p<0,05 (p<0,05) – коэффициент значим.

B_1-2= 4,6; <0,05 - коэффициент значим.

Модель 2: y = 8,6 – 5,4x₁ – 6,4x₂ + 4,6x₁x₂ .

Третий этап: графическое представление моделей.

С этой целью используется система “Matlab-6,5”.

Первая модель:

>> [X,Y]=meshgrid(-1:0.2:1,-1:0.2:1);

>>Z=131.5 -11*X.^1.-56*Y.^1.+1.5*X.^1.*Y.^1.;

>>[C,h]=contour(X,Y,Z); clabel(C,h)

Для второй модели изменяются только величины коэффициентов во второй строке.

Дорисовка осей (стрелок с обозначениями) и обозначения значений факторов в натуральных единицах осуществляется с помощью меню.

Ниже представлены обе модели в графическом виде с помощью линий равного уровня. Возле каждой линии отмечена соответствующая величина функции отклика (y).

Рис.1. Графическое представление зависимости производительности системы

(y₁) от комбинированного воздействия исследуемых факторов.

Из рисунка следует, что максимальная производительность (около200 писем) имеет место при минимальных величинах факторов. При этом наибольшее влияние оказывает продолжительность экспозиции (x₂). о чем свидетельствует и соотношение величин коэффициентов в модели по абсолютной величине (b₂=-56>b₁=-11).

Рис.2. . Графическое представление зависимости процента сбоев

(y₂) от комбинированного воздействия исследуемых факторов.

На рисунке видно, что минимальный процент сбоев имеет место при максимальных величинах факторов.

Четвертый этап: оптимизация системы.

В качестве целевой функции (F) выбирается величина производительности системы: F = y₁→ max, а на величину процента сбоев накладывается ограничение: y₂ <= 5. Необходимо найти такое сочетание величин факторов (x₁ и x₂), которое обеспечит выполнение указанных условий.

Используется графический метод. С этой целью линия равного уровня, определяющая заданную границу процента сбоев (y=5), переносится из рис.2 в рис.1. В результате формируется комплексный рис.3. Из него следует, что оптимум настройки соответствует точке со следующими координатами: x₁=150ед., x₂=0,1сек. При такой настройке системы обеспечивается производительность системы 175 писем при проценте сбоев не превышающем 5. Большая производительность возможна только при большем проценте сбоев, что в данном случае будет противоречить заданным ограничениям.

Рис.3.Графический метод оптимизации системы.

Задание: в соответствии с приведенным примером оптимизировать систему, результаты спланированного эксперимента с которой представлены ниже:

Таблица 3

План и результаты эксперимента

яяНомер опыта	Величины факторов	Результаты
	X1 X2	Y1	Y2
1 2 3 4	-1 -1 -1 1 1 -1 1 1	190 210 85 100 170 180 65 86	28 22 2 4 4 6 1 2

Примечания: 1) каждый опыт дублирован 2 раза; 2) для задания различных вариантов возможно изменение результатов эксперимента (Y₁ и Y₂).