17

Определение предела функции

Число называетсяпределомфункциипри, если для любого сколь угодно малогонайдется, такое что для всех значений, удовлетворяющих неравенству, выполнено неравенство.

При этом пишут или. В символах математического анализа определение может быть записано так:

.

Выше приведено определение для случая конечных значений и. Оно может быть переделано для случаев, когдаилиобращаются в бесконечность. При этом соответствующие неравенства должны быть заменены на неравенства типа, если,,если,, еслии т.п.

Переменная величина называетсябесконечно малой величинойпри, если.

Пусть , где– конечные числа,– любое конечное число или бесконечность.

Теоремыо пределах:

1. .

2. .

3. Если .

4. Пусть – конечное число. Тогда:

а)

б)

в) .

5. Пусть , тогда. ●

Функция называетсянепрерывнойв точке, если она определена в этой точке и. Для непрерывной функции возможен переход к пределу под знаком функции.

Предельные переходы, содержащие нуль или бесконечность, при кратко можно записать так:

, (1)

где выражение, заключенное в квадратные скобки, понимается как предельное значение. Выражения вида:

, (2)

─ называются неопределенностями, что означает, что нельзя дать ответ, используя правила (1), Например, рассмотрим три функции:при. Отношение любых двух функций из указанных трех приводит к неопределенности. Однако, пределы этих отношений различны, например:

,,.

Неопределенности (2) всегда можно перевести из одной в другую. Кроме указанных выражений неопределенностями являются предельные выражения:

.

При вычислении пределов сначала подставляется предельное значение переменной. Если выполнены условия теорем, то сразу получаем ответ. Если при подстановке получается неопределенность, то следует предварительно преобразовать выражение, а затем подставить предельное значение.

Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10..

11. .

12. .

13.

В примерах 1─3,6─8 можно сразу записать ответ. В остальных примерах первая подстановка приводит к неопределенности, поэтому: сначала проводим преобразование. Так в примере 13 мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение, что позволило затем сократить дробь. Обратите внимание, что выражение , и это позволило вынести множительза знак предела.

Проанализировав решения примеров 9–11, замечаем, что при вычислении пределов типа , приходим к пределу отношения членов со старшими степенями. Окончательный ответ зависит от соотношения степеней. Аналогичная ситуация и для выражений, содержащих дробные степени или радикалы.

Например, вычисляя , приходим к неопределенности. Выбрав в числителе и знаменателе слагаемые со старшими степенями. получаем решение:

.

2. Односторонние пределы

Если , оставаясь больше (или меньше), то такие пределы называютсяодносторонними пределами или пределами справа (слева). Стремление переменной к предельному значению слева будем записыватьпри стремлении справа, а сами предельные значения функцииили. Приилитакже имеем односторонние пределы:и. Сравните два предела

,.

Как указано в первом разделе: функция называетсянепрерывнойв точке, если она определена в этой точке и. Если функция не является непрерывной в точке, то говорят, что функция имеет разрыв в точке. Разрывы функции имеют три типа и связаны с поведением функции слева и справа от точки разрыва.

1. Устранимый разрыв. Существуют левосторонний и правосторонний пределы, оба предела конечны, равны между собой, а функция не определена в точке:

.

2. Разрыв первого рода(скачок). Существуют левосторонний и правосторонний пределы, оба предела конечны, но они не равны между собой.

3. Разрыв второго рода. Один из пределов или оба обращаются в бесконечность или не существуют.

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

Пример 1. Исследовать поведение функциина границе ее области определения.

Решение..

Определим пределы функции в граничных точках и при:

Пример 2.Исследовать поведение функциина границе ее области определения.

Решение..

Определим пределы функции в граничных точках и при. Заметим, что каждая из точекграничной точкой является дважды. Поэтому в этих точках вычислим односторонние пределы: