17.3. Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводников

Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике:

(17.5)

Однородным называется участок цепи, в котором не действуют сторонние силы.

Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления служит Ом, равный сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении 1В течет ток в 1 А.

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника .

где  - длина проводника, S - площадь поперечного сечения,  - зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества.

Величина обратная сопротивлению называется проводимостью

Для большинства металлов удельное сопротивление растет с температурой приблизительно по линейному закону.

где  - удельное сопротивление при 0°С, t - температура в градусах Цельсия,  - постоянный коэффициент, численно равный примерно 1/273.Закон Ома можно записать в дифференциальной форме. Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV с образующими, dlпараллельными вектору плотности тока  в данной точке (рис. 17.2). Через поперечное сечение dS цилиндра течет ток силой  . Напряжение, приложенное к цилиндру, равно  , где Е - напряженность поля в данном месте. Сопротивление цилиндра  . Подставив эти значения в уравнение (17.5), получим

Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора  . Поэтому направления векторов  и  совпадают. Таким образом, можно написать

(17.6)

17.4. Закон Ома в интегральной форме

Для любой точки внутри проводника напряженность  результирующего поля равна сумме напряженности поля кулоновских сил и поля сторонних сил  . Подставляя в (17.6), получим

Умножим скалярно обе части на вектор  , численно равный элементу  длины проводника и направленный по касательной к проводнику в ту же сторону, что и вектор плотности тока 

Так как скалярное произведение совпадающих по направлению векторов  и  , равно произведению их модулей, то это равенство можно переписать в виде

С учетом 

Интегрируя по длине проводника  от сечения 1 до некоторого сечения 2 и учитывая, что сила тока во всех сечениях проводника одинакова, получаем

(17.7)

Интеграл  численно равен работе, совершаемой кулоновскими силами при перенесении единичного положительного заряда с точки 1 в точку 2. В электростатике было показано, что

Таким образом, где  и  - значение потенциала в т.1 и т.2.

Интеграл, содержащий вектор  напряженности поля, сторонних сил, представляет собой эдс  , действующей на участке 1-2

(17.9)

Интеграл

(17.10)

равен сопротивлению участка цепи 1-2.

Подставляя (17.10), (17.9) и (17.8) в (17.7), окончательно получим

(17.11)

Последнее уравнение выражает собой закон Ома в интегральной форме для участка цепи, содержащего эдс и формулируется следующим образом: падение напряжения на участке цепи равно сумме падений электрического потенциала на этом участке и эдс всех источников электрической энергии, включённых на участке.

При замкнутой внешней цепи сумма падений электрических потенциалов и эдс источника равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника и во всей внешней цепи где  или  Отсюда

(17.12)