3.4. Полюс или нуль в начале координат.

На рис. 24,б показаны модуль и фаза передаточной функции с нулем в начале координат H(p) = p.

Стрелка, соответствующая этому числу, расположена вдоль оси jω для всех частот. Поэтому для положительных ω модуль М равен ω, а угол ψ постоянен и равен + 90°.

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики для этого случая показана на рис.25,а и 25,б. Фазовый угол постоянен, а график логарифма модуля в зависимости от логарифма частоты является прямой линией с наклоном (т. е. тангенсом угла наклона) +1.

Исследуем аналитическое выражение для |H(jω)|,чтобы показать, почему график модуля имеет такой вид. Подставляем jω вместо p в выражение H(p) = p и определяем модуль. Получаем |H(jω)| = ω. Отсюда видно, что lg |H(jω)| = (l)*lgω.

а)

б)

Рис.25,а и б Амплитудно-частотная и частотнофазовая характеристики для нуля в начале координат

Из выражения lg |H(jω)|=(l)*lgω видно, что lg |H(jω)| пропорционален lgω. Следовательно, в двойном логарифмическом масштабе зависимость будет линейной. Кроме того, в выражении записана единица в скобках, чтобы подчеркнуть, что эта прямая имеет наклон + 1. (Ниже могут встретиться прямые с различными наклонами.)

Из графика амплитуды для нуля в начале координат следует и другое важное свойство двойного логарифмического масштаба: логарифмические координаты нигде не достигают нуля, т. е. прямая линия с наклоном +1 проходит в обоих направлениях до бесконечности.

Амплитудно-фазовая характеристика для полюса в начале координат также проста. Пусть H(p)=1/p. Обратимся снова к рис. 24,б. В данном случае следует иметь ввиду, что длина стрелки входит в знаменатель, а вклад в полный угол равен – ψ .

Отсюда для передаточной функции получаем

|H(jω)|=1/M=1/ω; arg |H(jω)|= - ψ = -90°

Частотные характеристики для этого случая приведена на рис.26.

Постоянство фазового угла и здесь не требует объяснений, а зависимость модуля исследуем более подробно.

Рис.26 Частотные характеристики для полюса в начале координат.

Взяв логарифм модуля, получим lg |H(jω)| = lg1/ω= (-l)*lgω.

Видно, что логарифм амплитуды пропорционален логарифму частоты и наклон равен (-1). Отметим здесь обратную зависимость между полюсом и нулем. Амплитуда для нуля пропорциональна ω⁺¹, и наклон его графика в двойном логарифмическом масштабе равен +1, а амплитуда для полюса пропорциональна ω ^-1, и наклон его графика равен (-1). Аналогично фаза для полюса противоположна по знаку фазе для нуля.

3.5. Полюс или нуль на действительной оси.

Рассмотрим амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики для полюсов, расположенных на действительной оси. Затем обобщим полученные результаты на нули, используя обратную зависимость между полюсом и нулем.

Ярким примером системы с полюсом на действительной оси является фильтр низких частот. Передаточная функция H(p) = 1/(1 + pRC) имеет один полюс p = - 1/RC. |H(jω)|=1/,arg H(jω) = –arctg (ωRC).

Диаграмма нулей и полюсов для этой схемы показана на рис.27.

На нём показаны три стрелки, соответствующие трем разным частотам. Для самых низких частот (вблизи ω₁) модуль М фактически постоянен и угол ψ близок к нулю. При увеличении частот модуль начинает неограниченно расти, а угол увеличиваться, стремясь в пределе к +90°. Границу между областями нижних частот и верхних частот можно примерно провести при ω=1/RC (в окрестности ω₂ на рис.27). Для частот ниже 1/RC модуль М слабо зависит от частоты, а для частот, много больших 1/RC, модуль М изменяется примерно пропорционально частоте.

Рис. 28 Диаграмма полюсов и нулей

Следует иметь в виду, что изменения М отражаются на знаменателе |H(jω)|, а изменения фазы равны ψ. Поэтому можно сделать вывод, что для одиночного полюса в точке 1/RC амплитуда примерно постоянна для ω<<1/RС и пропорциональна 1/ω для ω>1/RС, а фаза близка к нулю для ω<<1/RС и со­ставляет около 90° для ω >1/RC.

Те же результаты, можно получить из анализа выражений |H(jω)| и arg H(jω). Рассматривая сначала выражение для амплитуд, видим, что, если ωRC<<l, амплитуда примерно равна 1. Если же ωRC>>l, этот член преобладает в знаменателе и амплитуда примерно равна 1/ωRC. Эти два крайних случая для изменения частоты и соответствующие приближенные значения амплитуды определяют ее асимптотическое поведение:

Низкочастотная асимптота: ωRC <<1, |H(jω)| = 1;

Высокочастотная асимптота: ωRC>> 1, |H(jω)| = 1/ωRC

Первая из этих асимптот, соответствующая низким частотам, представляет собой постоянную величину, как это и должно быть в резистивной цепи. Вторая асимптота, соответствующая высоким частотам, ведет себя аналогично тому, как если бы полюс находился в начале координат. Поэтому можно ожидать, что для достаточно высоких частот график |H(jω)| в зависимости от ω в двойном логарифмическом масштабе будет иметь наклон -1. Эти асимптоты исключительно удобны для определения примерной формы амплитудно-частотной характеристики.

Отметим, что асимптоты сопрягаются на частоте ω = l/RC. Она также соответствует по величине положению полюса и называется частотой полюса передаточной функции.

На рис.27 вычерчены обе асимптоты в двойном логарифмическом масштабе, сопрягающиеся на частоте полюса. Также показана точная зависимость |H(jω)| от ω. Наибольшие отклонения асимптот от точной зависимости наблюдаются на частоте полюса. Оценим величину отклонения асимптоты от точного решения. Если ω = 1/RC, амплитуда равна = 0,707, или в децибелах |H(jω)| = 20 lg= -10lg2 = -3 ДБ.

Следовательно, на частоте полюса модуль меньше на 3 дБ. Обычно частотные границы систем определяются по уменьшению уровня частотной характеристики на 3 дБ ниже некоторого определенного заранее. Можно довольно быстро построить график амплитудно-частотной характеристики с одним полюсом, если учесть, что низкочастотная асимптота представляет ее постоянной до частоты полюса, а потом высокочастотная асимптота — убывающей с наклоном -1. Затем на граничной частоте наносится точка на 3 дБ (или в 0,707 раза) ниже низкочастотной асимптоты. На частотах в 2 раза выше и в 2 раза ниже частоты f_p погрешность асимптотической аппроксимации составляет -12 дБ. Соединяя показанные на рис.30 точки плавной кривой можно очень быстро построить АЧХ. Такие построения весьма полезны при оценке характеристик цепей.

Рис.27 Амплитудно-частотная характеристика для одиночного полюса в точке

p= -1/RC.

Аналогично можно оценить изменения фазы с частотой. Для очень низких частот модуль частотной характеристики постоянен. Так как постоянство амплитуды соответствует поведению резистивной цепи, можно ожидать, что фаза на низких частотах примерно равна нулю.

Поскольку изменение амплитуд на высоких частотах аналогично изменению амплитуд для полюса в начале координат, можно ожидать, что на достаточно высоких частотах угол будет близок к –90°. Точная кривая для зависимости фазы от частоты показана на рис.28, где приведены также асимптоты, используемые при проведении быстрых оценок.

Для частот ниже 1/10 частоты полюса фазовый угол близок к нулю, а для частот, в 10 раз превышающих частоту полюса, примерно равен –90°. На частоте полюса (ωRС = 1) фаза определяется как –arctg 1, который равен –45°. Ломаная линия кусочно-линейной аппроксимации фазо-частотной характеристики (рис. 32) использует все эти особенности. Она равна нулю до 1/10 частоты полюса, плавно убывает, проходя через –45° на частоте полюса, до –90° при частотах f ≥ 10f_p и далее остается постоянной.

Это приближение к точной кривой имеет погрешность не более 7° во всей области частот и очень удобно для быстрой оценки поведения цепей.

На рис.29(а,б) приведены частотные характеристики для нуля, находящегося на отрицательной части действительной оси.

Рис.28 Фазочастотная характеристика для одиночного полюса в точке p=-1/RC.

Рис.29 (а) Амплитудно-частотная характеристика для нуля, находящийся на отрицательной части действительной оси.

Рис.29 (б) Фазо-частотная характеристика для нуля, находящийся на отрицательной части действительной оси.

Предполагается, что нуль расположен в точке p_a = – 2πf_z. Отметим, что амплитудная и фазовая характеристики для нуля идентичны характеристикам для полюса, за исключением того, что каждая кривая является перевернутой. Амплитуда постоянна для частоты, соответствующей положению нуля, а затем растет с наклоном +1, тогда как фаза равна нулю на низких частотах, проходит через +45° на частоте нуля и на высоких частотах становится постоянной, равной +90°.