Решение

Число 511 можно представить в виде 511=7×73. Из этого следует, что многочлены 9-ой степени могут принадлежать помимо показателя 511 к показателю 73. Число неприводимых многочленов 9-ой степени, принадлежащих к показателю 73 равно:

Образующие циклотомических классов ,соответствующих корням этих многочленов, составляют числа, кратные j=Из Примечания находим, что им соответствуют следующие многочлены 9-ой степени:

7 1231 А и двойственный многочлен 1145,

21 1027 А и двойственный многочлен 1641,

35 1401 С и двойственный многочлен 1003,

77 1511 С и двойственный многочлен 1113.

Записать эти многочлены в обычном виде предлагается самостоятельно.

4.5. Упражнение№ 5

4.5.1. Построитьпорождающую и проверочную матрицу укороченного циклического кода (10,5) с порождающим многочленом g(x)= 1+х²+х⁵.

Решение

Код (10,5) с порождающим многочленом g(x)=1+x²+x⁵ является укороченным кодом Хемминга, т.к. многочлен 1+х²+х⁵ – примитивный многочлен, принадлежащий показателю 31.В таблице неприводимых многочленов он указан условной записью 1 45 Е.

Наиболее простое решение задачи состоит в построении генератора элементов поля GF(2⁵) и нахождении десяти первых значений степеней примитивного корня. Их двоичное представление даст столбцы проверочной матрицы в канонической форме:

H=[α⁰, α¹, α², α³, α⁴, α⁵, α⁶, α⁷, α⁸, α⁹],

где αⁱ – элемент поля GF(2⁵).

Затем по проверочной матрице по известным правилам найдем порождающую матрицу. Она также получится в канонической форме.

Генератор элементов поля GF(2⁵), построенный на основе примитивного многочлена 1+х²+х⁵ , и содержимое ячеек памяти на десяти тактах работы представлены на нижеприведенном рисунке. Там же показаны матрицы, характеризующие код.

4.6. Упражнение № 6

4.6.1. Построить код Рида-Соломона (7.4) над полем GF(2³)

Решение

Находим порождающий многочлен по теореме Безу

g(x) = (x+α)(x+α²)(х+α³) = (x²+α²x+αx+α³)(x+α³) = =х³+α²х²+αх²+α³х+α³х²+α⁵х+ α⁴х +α⁶ =

= х³+(α+α²+α³ )х+(α³+α⁴+ α⁵ )х +α⁶ =х³+α⁶х²+αх+α⁶ и по формуле Виета

g₃ =1, g₂ = α+α²+α³ = α⁶ , g₁ = α α² + α α³ + α²α³ = α³+α⁴+ α⁵ = α, g₀ = αα²α³= α⁶.

Итак, g(x) = х³+α⁶х²+αх+α⁶ .

Для построения порождающей и проверочной матриц воспользуемся приемом, примененным в 4.5.1. Строим генератор элементов GF(2³) по виду g(x).

Записав в крайнюю слева ячейку памяти «1», выполним 7 сдвигов до получения в ячейках регистра исходной последовательности 1 0 0. Содержимое ячеек памяти регистра на первых семи тактах работы схемы соответствует строкам транспонированной проверочной матрицы кода. Последние четыре строки данной матрицы соответствуют столбцам порождающей матрицы этого кода, расположенных на местах избыточных элементов в канонической форме. Приписав к ним справа единичную матрицу размеров 4×4, получаем всю порождающую матрицу кода (7,4) в канонической форме.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Содержание стр.

Часть 1. Математические основы помехоустойчивого кодирования...2

Глава 1. Алгебраические системы, используемые для построения и анализа свойств групповых кодов………….........................…………..2

1.1. Основные определения……………………………………………..2

1.2. Группа, подгруппа и смежные классы…………………………….5

1.3. Кольцо, идеал и классы вычетов…………………………………..7

1.4. Поля Галуа. Мультипликативная группа поля Галуа…..............11 Глава 2. Многочлен Хⁿ-1,его корни и неприводимые сомножители..16

2.1.Связь между корнями Хⁿ-1 и элементами поля GF(q)……………16

2.2.Минимальные многочлены и их свойства………………………...22

2.3. Свойства минимальных многочленов над полем GF(p)………...23

2.4. Разложение хⁿ-1 на неприводимые сомножители……...………...24

2.5. Алгоритм разложения Хⁿ+1 на неприводимые сомножители…..29

Литература к части 1……………………………………………………32

Часть 2. Упражнения и задачи………...……………………………….33 Глава 3. Содержание упражнений по теме «Циклические коды» и перечень задач к ним……………………………………………………33

3.1. Упражнение № 1……………………………………………………33

3.2. Упражнение № 2……………………………………………………34

3.3. Упражнение № 3……………………………………………………36

3.4. Упражнение № 4……………………………………………………38

3.5. Упражнение № 5……………………………………………………39

3.6. Упражнение № 6……………………………………………………40