X –3 –1 1 3

y 5 1 –2 –3

В первом столбце матрицы плана во всех строках стоят значения , во втором столбце значениях, в третьем значения х². Окончательно эта матрица имеет вид:

.

Система нормальных уравнений получится по формуле (8.11)

.

Определитель матрицы системы нормальных уравнений

.

; ;.

Откуда

; ;

или

.

Окончательно

.

При большом числе искомых параметров построение регрессионного урав­нения требует громоздких вычислений. В связи с этим в настоящее время по­строение регрессионных зависимостей практически всегда производится с применением ЭВМ. В этом случае удобно использовать матричный способ пред­ставления и обработки информации. Нетрудно убедиться, что матрица коэффици­ентов левых частей системы равна произведению матрицы на транспонированную матрицу:

.

(8.12)

Вектор-столбец правых частей системы нормальных уравнений равен произведению , где– вектор (8.4)

.

(8.13)

В матричных обозначениях решение системы (8.11) имеет вид

,

(8.14)

где индекс – 1 есть символ обращения матрицы; – вектор исходных пара­метров. Это соотношение и используется для нахождения параметров модели.

Отметим, что если объект имеет несколько выходных координат, то для ка­ждой выходной координаты ее зависимость от входных переменных находится отдельно.

Проверка адекватности модели

П

Рис. 8.4. Прямая и парабола, проведенные по точкам

роверка гипотезы об адекватности осуществляется путем сравнения раз­броса опытных данных относительно уравнения регрессии с величиной случай­ной ошибки эксперимента. Если разброс того же порядка, что и ошибка опыта, то его можно объяснить случайными ошибками: уравнение адекватно. Если разброс значительно больше, то он, очевидно, не сводится к ошибке опыта, а связан с неадекватностью уравнения. Уравнения нужно усложнить. Так, с помощью ме­тода наименьших квадратов на рис. 8.4 через одни и те же точки проведены прямая и парабола. Прямая неадекватна, а парабола адекватна.

Для количественной оценки вводится мера разброса данных дисперсия. Мерой разброса опытных данных относительно модели является остаточная дисперсия , равная отношению минимальной суммы квадратов отклоненийS к числу степеней свободы.

Числом степеней свободы называют разность между числом экспериментов и числом неизвестных параметров, оцениваемых на основании этих эксперимен­тов. Окончательно, выражение для остаточной дисперсии

,

(8.15)

где f число степеней свободы (;n – число экспериментов; р – число оцениваемых параметров).

Для оценки величины случайной ошибки эксперимента рассчитывают дис­персию воспроизводимости . Для этого проводят одну или несколько серий параллельных опытов; в каждой такой серии значения входных переменных от опыта к опыту не меняются. В этом случае отклонения относят к среднему значе­нию измеряемой величины. А число степеней свободы будет на единицу меньше числа параллельных опытовm.

Формула объясняется в данном случае так же, как и формула дляf при описании уравнениями: единица наименьшее число опытов, необходимое для того, чтобы составить представление о среднем значении определяемой величины

Итак

,

(8.16)

где – среднее значение у всех результатов экспериментов.

,

(8.17)

Для проверки адекватности рассчитывают дисперсионное отношение F

,

(8.18)

Если F больше некоторого критического значения, то уравнение неадекватно, если меньше, то адекватно. Критическое значение F зависит от двух чисел степеней свободы: , входящего в формулу (8.15),, входящего в формулу (8.16).

Чем меньше , тем больше критическоеF: чем меньше число степеней свободы при оценке дисперсии воспроизводимости, тем эта оценка менее точна и тем менее определенно приходится оценивать адекватность: не исключено, что даже очень большой разброс объясняется ошибкой опыта. Во всяком случае для оценки целесообразно провести не менее трех опытов ().