- •Глава 1:введение в анализ.
- •–Область определения функции. –область значения функции.
- •Параграф 3: последовательность.
- •Параграф 4: предел последовательности.
- •Параграф 5. Предел действительной функции одного действительного переменного
- •Параграф 6: бесконечно малые величины.
- •Параграф 9: теоремы о пределах.
- •Параграф 10: одностороние пределы слева и справа точки .
- •Параграф 11: предел функции на бесконечности.
- •Параграф 12: замечательные пределы.
- •Параграф 13: сравнение бесконечно маЛых.
- •Параграф 14. Классификация точек разрыва
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Глава 1:введение в анализ.
ПАРАГРАФ 1:МНОЖЕСТВА.
Понятие множества – первичное понятие, не определяемое через более простые.
Слова: совокупность, семейство, набор – его синонимы.
Примеры множеств: множество студентов в аудитории, множество преподавателей на кафедре, множество автомобилей на стоянке и пр.
Первичными понятиями также являются понятия элемента множества и отношения между элементами множества.
Условимся обозначать множества заглавными буквами: A, B, C, X, Y, …, а их элементы – строчными: a, b, c, x, y, …
Опр1. Множество называется конечным, если оно состоит из определённого конечного числа элементов. В противном случае оно называется бесконечным.
Например, множество студентов в аудитории конечно, а множество натуральных чисел или множество точек внутри отрезка бесконечно.
Опр2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым.
Опр3. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Пример. А={1, 3, 5}, B={5, 1, 3} A=B.
Т.е. понятие множества не подразумевает того или иного порядка следования элементов.
Опр4. Множество Х называется подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х является элементом множества Y (при этом, вообще говоря, не любой элемент множества Y является элементом множества X).
Например, множество апельсинов O является подмножеством множества фруктов F , а множество натуральных чисел N является подмножеством множества вещественных чисел R.
Считают, что каждое множество является подмножеством самого себя. Пустое множество является подмножеством любого множества.
Опр5. Любое непустое подмножество В множества А, не равное А, называется собственным подмножеством.
Опр. 6: Суммой множеств (объединением) – называют множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств.
–объединение множеств.
Общий элемент указывается один раз.
Опр. 7: Пересечением множеств (произведением) называется множество, каждый элемент которого принадлежит данным множествам.
–пересечение.
Опр. 8: Разностью множеств и называют множество, каждый элемент которого принадлежит и не принадлежит .
Промежутки.
Вся ось – множество вещественных чисел.
–замкнутый промежуток – сегмент.
–открытый промежуток (интервал).
–полузамкнутый.
РАЗЛИЧНЫЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ.
1. Первичное множество
N = {1, 2, 3….} – (применяются для счета предметов) множество натуральных чисел.
2. {0, 1, 2, 3, 4…} – множество целых неотрицательных чисел.
3. Z = {0, ±1, ±2…} – множество целых чисел.
4. Q = {p/q} – рациональное множество чисел, где P Î Z, q = N.
Во множестве Q возможны все 4 арифметических действия, за исключением деления на нуль.
Множество иррациональных чисел – множество чисел, которые изображаются бесконечными не периодичными десятичными дробями.
Множество вещественных чисел (действительных) – множество, являющееся объединением Q и иррациональных чисел.
R – множество вещественных чисел.
R = Q È {иррациональные числа}.
Свойства вещественных чисел:
Упорядоченность.
Для любых двух вещественных чисел верно одно и только одно соотношение:
Плотность:
Между двумя любыми не равными вещественными числами лежит бесконечное множество других вещественных чисел.
Неограниченность:
Каким бы не было вещественное число , всегда существует точка , что , и всегда существует , что .
Несчетность.
Вещественные числа нельзя занумеровать, т. к. их больше натуральных ( поддается нумерации.)
Непрерывность.
Опр. 9: Множество называется ограниченным с верху, если существует его верхняя граница (число, которое не меньше всех чисел множества А)
Если существует верхняя граница хоть одна, то существует бесчисленное множество верхних границ.
Опр. 10: Наименьшей из верхних границ, ограничивающих с верху числовое множество , называется его точной верхней границей.
Обозначается: (supremum)
Опр. 11: Множество называется ограниченным снизу, если существует его нижняя граница в (число, которое не больше всех чисел множества ).
Если существует хотя бы одна нижняя граница, то существует бесчисленное множество нижних границ.
Опр. 12: Наибольшая из нижних границ, ограниченного снизу числового множества , называют точной нижней границей.
Обозначается: (infimum).
Опр. 13: Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.
Формулировка свойства непрерывности множества вещественных чисел.
Если числовое множество ограниченно сверху, то оно имеет точную верхнюю границу.
Если числовое множество ограниченно снизу, то оно имеет точную нижнюю границу.
Важнейшую роль в математическом анализе играет понятие окрестности точки числовой оси.
Опр 14. δ -окрестностью точки x0 называют интервал длиной 2δ с центром в точке x0
Опр15. Проколотой δ -окрестностью точки называется окрестность этой точки, из которой исключена сама точка x0
ПАРАГРАФ 2: ФУНКЦИЯ
Опр. 1: Переменная величина называется функцией аргумента , если каждому рассматриваему значению из некоторого множества соответствует единственное значение из множества .