ЭММ и ПМ - 2009

Задача, состоящая в нахождении вектора Y (y1, y2 , ..., ym ), для которого достигается минимальное значение функции

называется двойственной по отношению к задаче (7)–(9). Переменные двойственной задачи yi в экономической литерату%

ре получили различные названия: учетные, неявные, теневые, объективно обусловленные оценки, или двойственные оценки, или «цены» ресурсов.

Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач.

Прямая задача: какое количество продукции X (x1, x2 , ..., xn ) надо произвести, чтобы при заданных значениях стоимости едини% цы продукции сj (j = 1, n), объемах имеющихся ресурсов bi (i = 1, m) и нормах расходов aij максимизировать выпуск продукции в сто% имостном выражении.

Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каж% дого из ресурсов Y (y1, y2 , ..., ym ), чтобы при заданных величинах bi, сj , и aij минимизировать общую оценку затрат на всю продукцию?

Каждая из задач двойственной пары фактически является само% стоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой задачи.

12

Правила составления двойственной задачи:

1)если целевая функция исходной задачи формулируется на максимум, то целевая функция двойственной задачи — на минимум

(и наоборот), при этом в двойственной задаче на максимум все не% равенства в функциональных ограничениях имеют вид ( ), в зада% че на минимум — вид ( );

2)матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица АT в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием;

3)число переменных в двойственной задаче равно числу функци% ональных ограничений исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи — числу переменных в исходной;

4)коэффициентами при неизвестных в целевой функции двой% ственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи — коэффициенты при неизвестных в целевой функции ис% ходной;

5)каждому ограничению одной задачи соответствует переменная

другой задачи, номер переменной совпадает с номером ограничения. При этом ограничению, записанному в виде неравенства , соответ% ствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая переменная двойственной задачи может прини% мать как положительные, так и отрицательные значения.

Связь между оптимальными решениями исходной и двойствен% ной задач может быть установлена на основе теорем двойственно% сти [1, 8, 16, 18, 20].

К специальным задачам линейного программирования относят транспортную задачу и задачу о назначениях.

Транспортная задача — задача наиболее эффективного перемеще% ния ресурсов из одного пункта в другой — относится к двухиндек% сным задачам линейного программирования, так как в результате

решения задачи необходимо найти матрицу Х с компонентами xij. Постановка задачи. В т пунктах (поставщики A1, A2, …, Am), со% средоточено некоторое количество однородного продукта, которое

обозначим аi (i = 1, 2, ..., т). Данный продукт потребляется в п пун% ктах (потребителях) В1, В2, …, Вn; объем потребления равен bj (j =

=1, 2, ..., п). Расходы на перевозку единицы продукта из пункта Ai

14

ременных, то есть переменные могут принимать значения 0 или 1. Характерным примером этого случая является задача о назначени% ях. Задача о назначениях — это распределительная задача, в кото% рой для выполнения каждой работы требуется один и только один ресурс (один человек, одна автомашина и т.д.), и каждый ресурс может быть использован на одной и только одной работе. Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи. Зада% ча о назначениях имеет место при распределении людей на должно% сти или работы, автомашин на маршруты, водителей на машины, групп по аудиториям, научных тем по научно%исследовательским лабораториям и т.п.

Постановка задачи. Имеется n видов работ и n исполнителей этих работ. Известны экономические оценки эффекта Cij , i 1,n, j 1,n от назначения i%го исполнителя на j й вид работ. Требуется так рас% пределить исполнителей по видам работ, чтобы суммарный эффект от назначений был максимальным.

ЭММ. Введем необходимые обозначения, пусть

xij — факт назначения или неназначения ресурса Ai на работу Bj. Тогда математически задачу о назначениях можно записать в виде:

n n

cij xij max, i 1 j 1

n

xij 1, j 1, n (накаждуюработудолженбытьназначенисполнитель),

i 1

n

xij 1, i 1,n (все исполнители должны получить назначение),

j 1

1

xij 0 (i, j).

Решение задачи о назначениях получают, как правило, с исполь% зованием электронных таблиц Excel (надстройка Поиск решения).

15

Существуют многие экстремальные задачи, которые не могут быть решены методами линейного программирования (ЛП). Зада% ча (модель) нелинейного программирования (НЛП) формулирует% ся так же, как и общая задача оптимального программирования со следующими требованиями к целевой функции (ЦФ) и допусти% мой области: целевая функция f (x1, x2 , , xn ) и (или) одна из фун% кций gi (x1, x2 , , xn ) являются нелинейными —

min(max) f (x1, x2 , , xn );

gi (x1, x2 , , xn ){ , , }bi , i 1,m;

x j 0, j 1,n.

Не существует общего универсального метода решения задач НЛП, специальные методы решения НЛП изложены в [1, 14–20]. Технология решения задач нелинейной оптимизации с помощью надстройки Поиск решения Microsoft Excel подробно рассмотрена в литературе [2, 19].

Тема 3. Экономико0математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)

В этой теме рассматриваются матричные модели межотраслево% го (МОБ) и межпродуктового балансов, основанные на балансовом методе планирования. Минимальный объем необходимого для изу% чения материала содержится в [1].

Эффективное функционирование экономики предполагает нали% чие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель неко% торой продукции, а с другой — как потребитель продуктов, выраба% тываемых другими отраслями. В рамках курса изучается наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса (модель Леонть% ева, или модель затраты — выпуск).

Алгебраическая теория анализа «затраты — выпуск» сводится к системе линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции. ЭММ межот% раслевого стоимостного баланса позволяет определить объемы ва% ловой или конечной продукции.

17

Вмодели временнóго ряда принято выделять две основные со% ставляющие: детерминированную (систематическую) и случайную.

Под детерминированной составляющей временнóго ряда y1, y2, ..., yn понимают числовую последовательность, элементы которой вычис%

ляются по определенному правилу как функция времени t. Случай ная компонента (t) — это составная часть временнóго ряда, остав% шаяся после выделения систематических компонент, она является обязательной компонентой любого временнóго ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению.

Требования к исходной информации для моделирования времен% ны´ х рядов изложены в [1]. В зависимости от вида связи между ком% понентами временнóго ряда может быть построена либо аддитив% ная модель, либо мультипликативная модель [1]. Этапы построения прогноза по временны´ м рядам перечислены в [1, 2].

Основная цель статистического анализа временны´ х рядов — изу% чение соотношения между закономерностью и случайностью в фор% мировании значений уровней ряда, оценка количественной меры их влияния. Закономерности, объясняющие динамику показателя

впрошлом, используются для прогнозирования его значений в бу% дущем, а учет случайности позволяет определить вероятность от% клонения от закономерного развития и его возможную величину.

Входе предварительного анализа определяют соответствие име% ющихся данных требованиям, предъявляемым к ним математичес% кими методами (сопоставимости, полноты, однородности и устой% чивости); строится график динамики и рассчитываются основные динамические характеристики (приросты, темпы роста, темпы при% роста, коэффициенты автокорреляции). К процедурам предвари% тельного анализа относятся:

 выявление аномальных наблюдений;  проверка наличия тренда;  сглаживание временны´ х рядов;

 расчет показателей развития динамики экономических про% цессов.

Так как наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, то необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Поэтому процедура выявления аномальных наблюдений является обязательной процедурой этапа предвари%

18

тельного анализа данных. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные критерии, например, метод Ирвина [1, 2].

Следующая процедура этапа предварительного анализа данных — выявление наличия тенденций в развитии исследуемого показате% ля. Тенденция прослеживается не только в увеличении или умень% шении среднего текущего значения временнóго ряда, но она прису% ща и другим его характеристикам: дисперсии, автокорреляции, кор% реляции с другими показателями и т.д. Тенденцию среднего визу% ально можно определить из графика исходных данных. Процедура проверки наличия или отсутствия неслучайной (и зависящей от времени t) составляющей состоит в статистической проверке

гипотезы о неизменности среднего значения временнóго ряда.

Эта процедура может быть осуществлена с помощью различных критериев [1, 2, 8]: методом Фостера%Стюарта, методом сравнения средних уровней ряда и др.

Классификация методов экономического прогнозирования свя% зана с видами прогнозных моделей [1, 2]. Модели временны´ х рядов представляют собой модели зависимости результативного признака от времени:

модели кривых роста (трендовые модели),

сезонные модели,

адаптивные модели,

модели авторегрессии и скользящего среднего.

С помощью таких моделей можно решать задачи прогнозирова% ния объема продаж, спроса на продукцию, краткосрочного прогноза процентных ставок и др.

Плавную кривую (гладкую функцию), аппроксимирующую вре% меннóй ряд, называют кривой роста. Основные этапы построения прогноза на основе временны´ х рядов с использованием трендовых моделей включают следующее:

1)предварительный анализ данных;

2)формирование набора моделей (например, набора кривых ро% ста), называемых функциями%кандидатами;

3)численное оценивание параметров моделей;

4)определение адекватности моделей;

5)оценка точности адекватных моделей;

6)выбор лучшей модели;

7)получение точечного и интервального прогнозов;

19

8) верификация прогноза.

Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

• временнóй ряд экономического показателя действительно име% ет тренд, то есть преобладающую тенденцию;

• общие условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреж% дения.

Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моде% лирования и прогнозирования экономического явления, необходи% мо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в эко% номике используются полиномиальные, экспоненциальные и S% образные кривые роста.

Предпосылки применения метода наименьших квадратов (МНК) изложены в учебном пособии [1]. В тех случаях, когда пред% посылки выполняются, оценки, полученные по МНК, будут обла% дать свойствами несмещенности, состоятельности и эффективнос% ти.

Параметры большинства «кривых роста», как правило, оценива% ются по методу наименьших квадратов (МНК), то есть подбирают% ся таким образом, чтобы график функции «кривой роста» распола% гался на минимальном удалении от точек исходных данных.

При построении кривых роста предпочтение, как правило, отда% ется простым моделям, допускающим содержательную интерпрета%

где a0 и a1 — параметры модели, а t = 1, 2,…, n. Параметр а0 задает на% чальные условия развития, параметр а1 определяет скорость или интенсивность развития.

Математически критерий оценки параметров модели по МНК записывается в виде:

t 1

Для нахождения минимума функции двух переменных S (a0, a1) следует взять частные производные по a0 и a1, а затем приравнять их нулю. В результате получим так называемую систему нормаль%

20

ных уравнений:

Решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, получим расчетные формулы для оценки параметров линейной трендовой модели:

где t и y — средние значения моментов наблюдения и уровней ряда, соответственно.

Оценку качества модели следует изучать по материалам парагра% фа 5.2 [1]. Модель считается хорошей со статистической точки зре% ния, если она адекватна и точна. Проверка адекватности модели реальному явлению является важным этапом прогнозирования социально%экономических процессов. Для этого исследуют ряд ос% татков t yt yˆt , то есть отклонения расчетных значений от фак% тических данных. Наиболее важными свойствами остаточной ком% поненты являются независимость последовательных уровней ряда остатков, их случайность и соответствие нормальному закону рас пределения, а также равенство нулю математического ожидания ос% татков. Проверка этих свойств осуществляется с помощью соответ% ствующих статистических гипотез [1, 2]. Для адекватной модели производят оценку точности модели. В качестве показателя точно% сти можно выбрать: среднеквадратическое отклонение от тренда, среднюю относительную ошибку аппроксимации, максимальную по абсолютной величине ошибку, коэффициент детерминации R 2.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интер% вальные прогнозы. Точечный прогноз на основе временны´ х моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответству% ющего значения фактора времени, то есть t = n + 1, n + 2, ..., n + k.

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относи%